利用Tracker轨迹追踪探究小球的轨道运动

邱智宇 肖桂娜

摘    要：小球以不同初速度经过离心轨道圆环底端后，其在竖直平面内的运动情况不同。利用Tracker软件追踪并分析了小球在轨道上的运动轨迹，分别讨论了倾斜轨道的高度大于、小于、介于圆环半径倍数时小球的运动情况，并从能量角度验证了动能定理，探究了变力做功问题。这一工作也可以用来分析过山车的安全性问题。

关键词：Tracker轨迹追踪；离心轨道；动能定理；变力做功

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2023）4-0065-4

过山车是每一个大型游乐园的标志，其高速旋转与高空倒悬时的离心力让游客惊心动魄，但这种单环过山车的安全系数却很高［1］。回旋过程中，乘客由于离心力稳坐在座椅上，涉及到的圆周运动与牛顿第二定律知识值得思考［2］，分析物体运动的临界点与能量变化可探究其物理机制。Tracker是款免费视频分析和建模工具，可以应用于物理定量分析［3］。以离心轨道为研究对象，基于Tracker软件追踪小球并探究其在轨道上的不同运动情况和能量变化规律。

1    实验原理

将过山车轨道简化为半径为R的单环离心轨道，过山车视为小球［4］。小球先沿着斜面轨道加速下滑，到达单环轨道底部后冲上圆形轨道，其实物图和模型图如图1、图2所示。由于小球从不同高度下滑时获得的初动能不同，所以它在单环轨道上的运动情况也不同［5］。

小球在单环轨道上运动时，对轨道的压力FN与圆形轨道垂直。所以，只有重力G对小球做功，系统机械能守恒。

2    实验过程

2.1    实验仪器

用iPhone12的延时摄影功能录制实验视频，参数为1 080 p/240 fps。离心轨道释放段倾斜角度θ为37.874°，内侧直径D为0.126 m的单环圆形轨道，质量m为0.081 kg、直径为0.024 m的小球。

2.2    实验步骤

将实验装置与相机（iPhone12）支架水平对齐，在倾斜轨道上设置好不同的释放高度。先点击录制，然后开始实验，待小球稳定后停止录制。

将视频导入Tracker软件中，选择合适的片段设置起始帧与结束帧，并设置每一帧的时间间隔。运用定标杆设定视频中单环圆形轨道的参数，使其与实际大小吻合。选择合适的起点建立笛卡尔坐标系。

建立质点A，按住Shift键并在小球中心左击鼠标标定起点。由于小球表面是能够反射光的金属材料，因此Tracker软件能够快速识别小球所在位置进行轨迹的自动追踪。追踪完毕后，软件能直接显示小球每一帧的运动轨迹，如图4左面板中的小方框所示。软件能输出此坐标系下小球位置、速度随时间的变化（x-t、y-t和v-t），也能计算出小球的运动轨道（x-y），如图4右面板的散点连接线所示。

选定目标图像，右击鼠标选择“分析”，可直接在Tracker界面中拟合选定的数据段并得到函数解析式。也可以选取图像中的点，直接读出小球在该点时的位置、速度与加速度的数据，如图5所示。

3    实验数据分析

3.1    Tracker轨迹追踪

实验中，小球从倾斜轨道上距离水平面3R到0.25R的高度釋放。选择部分数据分析，具体表现为以下三种情况：

（1）当释放高度大于2.5R时，小球可以通过圆形轨道的顶端，轨迹的拟合方程为圆方程，拟合相关系数接近1，表明小球在竖直平面上做圆周运动，如图6所示。

（2）当释放高度介于2.5R与R之间时，小球无法通过圆形轨道顶端，当小球运动到右端点之上后，会以一定速度向下射出。图7为小球抛射后的轨迹图像，拟合函数为二次函数，表明小球脱离圆形轨道后在竖直平面内做抛体运动。

（3）当释放高度低于R时，小球无法通过圆环轨道的右端点。但小球不会从轨道上脱落，而是在速度减为0 m/s后沿轨道原路返回，最终停留在轨道最底端。小球在轨道上的运动轨迹的拟合函数解析式依然为圆形，如图8所示。

3.2    小球脱离轨道时特殊位置讨论

当释放高度H介于2.5R与R之间时，小球因无法越过圆形轨道顶端而脱离轨道，做斜抛运动，且下落后会与轨道再次发生碰撞。但当释放高度为1.41R（0.089 m）时，小球恰好落到圆环轨道底端。此时， Tracker软件可以直接读取小球在底端与脱离点的速度。软件中的量角器可测得小球脱离轨道点和圆心之间的连线与水平方向的夹角，多次测量取平均值后得到表1中的数据。

3.3    从能量角度分析小球在离心轨道上的运动

当小球在单环圆形轨道上运动时，其高度与速度时刻在变化。以轨道底端为零势能面，由不同位置处小球的高度与速度值计算出相应位置的动能与重力势能。另外，还能计算出初、末位置的动能差与重力势能，结果如表2所示。

释放高度范围为0＜H≤R时，小球不脱离圆形轨道且运动到顶端时速度为0 m/s，取该点记录其动能与重力势能；释放高度范围为2.5R≤H≤3R时，小球不脱离轨道，可达到轨道顶端，记录小球在顶端时的动能与重力势能；释放高度范围为R＜H＜2.5R时，小球运动到圆形轨道上半圆后以切向初速度做斜抛运动，取脱离时刻的动能与重力势能。由表2的数据可以看出，小球动能的变化量与重力做功的数值接近，说明小球在圆形轨道上运动时克服重力所做的功等于其初、末位置动能的变化量。但是，由于小球在轨道上运动时，引起动能变化的原因还有摩擦力做功。因此，通过对运动时能量变化的分析，可以得到摩擦力的做功情况。

4    结  论

利用Tracker软件自动追踪离心轨道上从不同高度释放的小球的轨迹与速度，并讨论了单环圆形轨道上的动能定理。这种将现代信息技术融合到物理教学中的多元化策略，提高了物理定量实验研究的精度。由实验探究可知，过山车要安全通过顶点，只要保证小车到达圆环底端时的初速度v0≥即可。例如，上海某游乐场“云霄飞车”的回环直径为31.1 m，理论上小车的初始速度达到99.34 km/h即可安全通过顶点。而过山车的实际运行速度为105.6 km/h，确保了过山车和人能安全通过顶点。此外，实验考虑到了小球在轨道上运动时摩擦力做功（变力做功）的因素，从而启发教师在教学过程中从能量与位置变化的角度分析变力做功。

参考文献：

［1］顾振兴， 董克剑. 利用视频分析软件研究“过山车”问题［J］. 物理教学，2018，40（5）：42-43，47.

［2］赵清锋. 小球在竖直圆轨道上的脱轨运动分析［J］. 中学物理教学参考，2014，43（11）：30-32.

［3］邵欣颖，程敏熙，杨博，等. 用视频分析软件Tracker研究小球在竖直平面内的圆周运动［J］. 物理教师，2019，40（6）：58-59.

［4］夏可心，郭长江.用DIS与传统实验轨道分析竖直平面内的圆周运动［J］.中学物理，2022，40（9）：60-62.

［5］陈汝冰，陈琳. 浅析竖直平面内的圆周运动［J］.物理教师，2015，36（3）：83-86.

（栏目编辑    贾伟尧）