基于案例教学的“线性代数”课程教学创新与研究

冯杰 杨慧 董连春

摘 要：“线性代数”在工程技术及国民经济的许多领域都有着广泛的应用，为学生学好后续专业课程起到关键作用。但目前的《线性代数》教材内容以及教师教授过程，更侧重于数学知识本身，而忽略了知识的实践应用，使得学生在学习过程中感到枯燥乏味，从而导致学生对这门课失去兴趣和学习动力，教学效果差。本文以讲授矩阵特征值特征向量为例，首先在“线性代数”教学中融入课程思政元素，在传授知识的同时立德树人，增强学生的民族自豪感和认同感。同时通过案例分析的教学方法引出并讲授所学知识点，反过来再用所学知识解决实际问题，从而帮助学生更好地理解掌握所学知识，调动学生学习的积极性，提高学生分析和解决问题的能力，最终达到提高课程教学质量和教学效果的目的。

关键词：案例教学；课程思政；线性代数

“线性代数”属于大学数学专业基础课程，也是非数学类专业的学生参加硕士研究生“数学”考试的一门必考课程，其理论方法在工程技术与国民经济的许多领域都有着广泛的应用。对于非数学专業学生的“线性代数”教学，教师应更侧重于知识的应用实践，减少理论证明。但目前的《线性代数》教材内容重点更多的是数学知识本身，例题习题围绕理论知识展开，很少涉及对知识的应用。加之“线性代数”非常抽象，课时安排又少，每次课时间短内容多，常常让学生感到枯燥难懂，学起来吃力，很快对这门课失去学习兴趣和学习动力。而数学知识前后衔接很紧密，如果前面没学懂，后面就更不懂了，于是进入恶性循环，导致整学期这门课也没学到太多内容。

我们在“线性代数”的教学中融入相关知识点的课程思政元素，在传授知识的同时立德树人，增强学生的民族自豪感和认同感，激发学生的学习兴趣，实现全方位育人的教学目标。对于相关的数学知识点教学，由实际应用案例引出，通过学习相关知识，反过来再解决实际问题。当学生最后用所学理论知识解决了实际问题后，学生能体会到很大的成就感。案例教学既有助于帮助学生更好地理解掌握所学知识，又能充分调动学生的学习积极性，提高学生分析和解决实际问题的能力，最终达到提高课程教学质量与教学效果的目的。下面我们以“线性代数”课程中的特征值与特征向量为例，展示如何在教学中融合课程思政内容和案例教学。

一、“线性代数”中特征值与特征向量的思政元素

中国科学院院士、中国工程院院士、哈尔滨工业大学刘永坦教授在20世纪80年代成功创建了我国第一部新体制远距离雷达实验系统，全面验证了远距离探测理论体系和方法，实现了我国对海探测能力的跨越式发展。新体制雷达可以远距离探测海上目标的位置和方向，实现全天时、全天候、远距离海空立体探测，是捍卫我国疆土的国防重器。由于突出的贡献，刘永坦院士于2018年荣获国家最高科学技术奖。

新体制雷达的工作原理涉及信号处理的各个领域，而在信号处理领域中，“线性代数”中矩阵的特征值和特征向量是一个非常重要而又基础的知识点。没有“线性代数”的内容作为基础，是不可能学好信号处理这门专业课程的。“荣获国家最高科学技术奖是一种无上的光荣，这份殊荣不仅仅属于我个人，更属于我们的团队，属于这个伟大时代所有爱国奉献的知识分子。”刘永坦院士的爱国奉献情怀让我们钦佩，顽强拼搏打造大国重器的精神值得我们每一个人学习。

课堂上，我们通过介绍刘永坦院士的事迹，不仅使学生认识到“矩阵的特征值和特征向量”这一基础知识点的重要性，而且使学生坚定了好好学习文化知识，为中国特色社会主义事业努力奋斗开拓创新的信念。

二、“线性代数”中特征值与特征向量的教学设计

（一）教学内容及地位

教学内容：理解特征值与特征向量的定义，了解特征向量与差分方程之间的关系，会求方阵的特征值与特征向量。特征值与特征向量使我们了解由差分方程所描述的动力系统的长期行为或进化，如：

xk+1=Axk

此类方程可用来建立人口动态变化的数学模型以及生态问题的数学建模。事实上，很多的科学领域中都存在动力系统，因此这部分内容在实际生产生活中具有广泛应用。

设计理念：首先提出动力系统中的案例——斑点猫头鹰种群的动力学研究，引导学生思考如何建立相应的数学模型，然后通过学习矩阵特征值与特征向量来求解上述数学模型。最后让学生思考数学模型的解最终反映到实际问题中代表了什么含义，以此实现理论联系实际，将所学知识应用到社会实践中的目标。

（二）学生知识结构分析

在学习这部分内容前，学生需要学习行列式的计算、矩阵的运算与初等行变换、线性方程组的求解。

（三）教学目标

知识与技能：理解特征值与特征向量的概念，了解特征向量与差分方程之间的关系，会求方阵的特征值与特征向量，掌握将矩阵对角化的方法，了解特征值与特征向量在离散动力系统中的应用。培养学生理论联系实际，从实际问题中抽象出数学模型的能力以及动手实践的能力。通过建立理论知识与社会实践相结合的教学方式提高学生的学习动力和兴趣。

过程与方法：从斑点猫头鹰种群动力学研究案例出发，首先让学生建立相应的数学模型，然后引出本节教学内容，最后利用所学知识解决前面建立的数学模型，最后根据所得结果解释实际现象。从案例出发，引导学生主动思考如何解决实际问题，在探究的过程中获取知识并发现“线性代数”在实际应用中的重要性。

情感态度与价值：以案例为引导，激发学生主动发现问题、探究问题、获取知识、解决问题的能力，提高学生的学习兴趣和动力。

（四）教学重点

求解矩阵的特征值和特征向量。

（五）教学难点

矩阵特征值与特征向量的求解。

（六）教学过程

1.知识回顾

复习利用初等行变换求矩阵的行列式以及线性方程组的求解。

2.案例引入

斑点猫头鹰动力学。由于大面积森林乱砍滥伐导致斑点猫头鹰的栖息地快速减少，环境保护学家试图说服政府，如果不制止滥伐原始森林，猫头鹰将濒临灭绝，而伐木行业却说猫头鹰不应该被划定为“濒临灭绝动物”，因为对于伐木行业，如果政府出台政策限制伐木，预计将失去上万个工作岗位。

由此，生态学家开始对斑点猫头鹰种群进行动力学研究。猫头鹰的生命周期分为三个阶段：幼年期（1岁以前）、半成年期（1～2岁）、成年期（2岁以后）。猫头鹰在半成年期和成年期交配，开始生育繁殖。每一对猫头鹰大约需要约1000公顷的土地作为栖息地，生命周期的关键期是当幼年猫头鹰离开巢的时候，为生存进入半成年期，必须成功找到一个新的栖息地安家。问：如果按现在的速度采伐原始森林，猫头鹰是否会灭绝？如果不想让猫头鹰灭绝，我们应该怎么做？

问题已经出现，现在开始引导学生思考如何解决该问题，那就需要建立猫头鹰种群数量的变化过程。

第一步建立每年种群量的数学模型，时间k=0，1，2，…。通常假设在每个生命阶段雌雄比例为1∶1，因此我们只计算雌性猫头鹰，用xk=（ak，bk，ck）T表示第k年的种群量，其中ak，bk和ck分别表示雌性猫头鹰在幼年期、半成年期和成年期的数量。

利用人口统计学的统计数据可知，第k年里的雌性猫头鹰的平均生殖率是33%。依据目前猫头鹰的生存环境可知，幼年雌性猫头鹰只有18%的可能得以生存进入半成年期，半成年雌性猫头鹰有71%能成功进入成年期，94%的成年雌性猫头鹰能够继续生存下来进入下一年。

根据以上已有数据引导学生建立第k+1年和第k年猫头鹰数量之间的关系模型。同学们首先想到的是下列方程组：

ak+1=0.33ckbk+1=0.18akck+1=0.71bk+0.94ck

根据矩阵的乘法，可以将上述方程组改写成矩阵方程：

xk+1=ak+1bk+1ck+1=000.330.180000.710.94akbkck=Axk

其中A=000.330.180000.710.94。

上述數学模型实际是形式为：xk+1=Axk的差分方程，称为离散线性动力系统，因为它描述的是系统随时间推移的变化过程。现在，问题转化为求解上述差分方程。

在建立差分方程过程中，培养学生数学建模的能力，激发学生继续学习的兴趣和主动性，由此引出本节的教学内容。

3.特征值与特征向量

定义A为n阶方阵，若存在数λ和非零向量x使Ax=λx，则称λ为A的特征值，x称为对应于λ的特征向量。

下面我们根据矩阵特征值与特征向量的定义构造差分方程xk+1=Axk（k=0，1，…）的解。

假设n阶方阵A的一个特征向量为x0和它对应的特征值为λ0，令xk=λk0x0（k=1，2，…），则上式为差分方程xk+1=Axk（k=0，1，…）的解，因为Axk=A（λk0x0）=λk0（Ax0）=λk0（λ0x0）=λk+10x0=xk+1。

根据矩阵的运算规律可知，形如xk=λk0x0的解的线性组合仍是差分方程xk+1=Axk的解。

因此，我们的目标就是求矩阵的特征值以及对应特征向量。根据特征值与特征向量的定义可知，一旦知道数λ为矩阵A的特征值，对应特征向量即为矩阵方程（A－λI）x=0的非平凡解，即求解齐次线性方程组。同时为了使方程个数等于未知量个数的齐次线性方程组有非平凡解，充要条件是系数矩阵的行列式为零。因此可得求解特征值的方法：

定理：数λ为n阶方阵A的特征值的充要条件是λ是特征方程det（A－λI）=0的根。

求解矩阵特征值与特征向量的一般步骤为：

（1）求特征方程det（A-λI）=0的所有根包括实根和复根，根据n阶多项式理论可知，n阶特征方程det（A-λI）=0必有n个根，记为λ1，λ2，…，λn。在求行列式det（A－λI）时，需要利用行列式的性质化简行列式det（A－λI）为三角形行列式。

（2）对于每个特征值λi（i=1，…，n），求解矩阵方程（A-λiI）x=0的所有非平凡解为对应特征值λi的特征向量。

下面回到最开始的斑点猫头鹰动力学研究。

第一步：求解矩阵A=000.330.180000.710.94的特征值。

解：

det（A－λI）=det000.330.180000.710.94－λ100010001

=det000.330.180000.710.94－λ000λ000λ

=det－λ00.330.18－λ000.710.94－λ

=－λ（－λ）（0.94－λ）+0.33·0.18·0.71

=－λ3+0.94λ2+0.042174

利用MATLAB软件可计算方程det（A-λI）=-λ3+094λ2+0.042174=0的根的近似值为：

λ1=0.98，λ2=-0.02+0.21i，λ3=-0.02-0.21i为矩阵A的三个特征值。

第二步：求对应特征值的特征向量。

因为A有3个相异的特征值，故可求得对应的3个特征向量v1，v2，v3，因此差分方程xk+1=Axk（k=0，1，…）的通解为：xk=c1（λ1）kv1+c2（λ2）kv2+c3（λ3）kv3。

若初始向量x0是实向量，由于A是实矩阵，因此差分方程xk+1=Axk（k=0，1，…）的解都是实向量。

第三步：探究k→时，xk的极限行为。

由于λ1<1，|λ2|2=|λ3|2=（-0.02）2+（0.21）2=00445<1，故（λ1）k→0，（λ2）k→0，（λ3）k→0（k→

因此，对任意的初始向量x0，当k→SymboleB@

时，xk趋于零向量。很不幸，该模型预测无论最开始斑点猫头鹰数目有多少，最终都会全部灭亡。

引导学生思考：猫头鹰还有希望吗？我们需要做什么工作来改变现状，使得猫头鹰兴旺起来。显然，矩阵A在模型中起到决定性作用。如何改变矩阵中元素的取值来使得xk不趋于零向量呢？对应到实际问题，又代表了什么呢？带着问题我们回到实际模型，矩阵A中的元素18%源于如下事实：尽管有60%的幼年猫头鹰能够活下来离巢去寻找新的栖息地，但其中仅有30%的猫头鹰能活下来找到新的栖息地。森林中裸露地的面积使得猫头鹰的搜寻工作更困难和更危险，这严重影响幼年猫头鹰在寻找栖息地过程中的存活率。如果我们改变幼年猫头鹰在寻找栖息地过程中存活下来的可能性，结果会怎样呢？

例：设幼年猫头鹰在寻找栖息地过程中的存活率为50%，即矩阵A中第二行第一列的元素为0.3而不是018，用这样的矩阵模型预测猫头鹰数量的发展趋势。

解：重復上述步骤，此时矩阵A的特征值是：

λ1=1.01，λ2=-0.03+0.26i，λ3=-0.03-0.26i

对应于λ1的特征向量为v1=（10，3，31）T，对应于λ2，λ3的特征向量为v2，v3。此时，差分方程的通解为：

xk=c1（1.01）kv1+c2（λ2）kv2+c3（λ3）kv3

当k→时，（λ2）k→0，（λ3）k→0，因此xk越来越接近c1（1.01）kv1。此时，猫头鹰数量的增长率为1.01，即猫头鹰的数量会缓慢增长。同时特征向量v1展示了猫头鹰在3个年龄段数量的比例：即每31只成年猫头鹰对应大约10只幼年猫头鹰和3只半成年猫头鹰。

结论：若按目前森林乱砍滥伐的进度，猫头鹰最终会灭绝，猫头鹰是濒临灭绝动物，因此，政府要出台伐木限制，保护森林，增加猫头鹰的栖息地。由此，我们将矩阵的特征值与特征方程与离散动力系统联系起来，加深了学生对基本理论知识的理解，同时提高学生应用所学知识解决实际问题的能力，从而激发了学生们的学习热情和兴趣。

4.巩固练习

通过简单习题练习矩阵特征值与特征向量的求解，并让学生课下学习如何用数学软件求解矩阵特征值与特征向量，探究其他应用案例，并在下节课展示。

结语

“线性代数”课程属于抽象难懂的课程，但对于非数学专业学生后续学习专业知识又起到重要作用，因此如何在教学过程中提高学生的兴趣和信心，提高教学效果是广受大家关注的问题。本文将思政元素和案例教学融入“线性代数”教学中，在解决实际问题的过程中学习数学相关理论知识，让同学们认识到“线性代数”课程应用广泛，引导学生积极思考，激发学生学习的主动性，同时将知识传授和立德树人有机结合起来，实现全方位育人。

参考文献：

［1］David C.Lay，Steven R.Lay，Judi J.McDonald.Linear Algebra and its applications 5th［M］.Pearson，2015.

［2］吴赣昌.线性代数（理工类第五版）［M］.中国人民大学出版社，2020.

［3］冯霜，温永川，李金权.案例教学在金融数学专业基础课中的应用——以求解齐次线性方程组的教学为例［J］.科技风，2021（29）：1618+39.

基金项目：2020—2021年度中央民族大学校级教学改革立项项目“线性代数（工科民族实验班）”

作者简介：杨慧（1989— ），女，汉族，山东枣庄人，博士，中央民族大学理学院副教授，主要从事随机过程研究。