“生长数学”理念下的初三应用题复习课教学研究——以“应用题求最值”为例

广东省中山市中山纪念中学(528403) 钱梦亚

复习课是初三阶段最常见的课型,通过复习课,可以使学生对之前的学习成果进行查缺补漏,形成知识体系,发展数学核心素养.初中应用题本身不但具有体验数学活动的功能,而且具有培育数学思想方法的作用.[1]应用题的教学能够使学生将自己在课堂上学习的理论知识和生活实际进行有效结合,提升学生学习兴趣.同时,应用题也是中考的重点,但是笔者在教学实践中发现,初三学生的应用题解题能力普遍不高,害怕读题,害怕解题,畏难情绪严重,在中考中得分率普遍偏低.另外,初三教师在进行应用题复习课的教学时,很容易将复习课上成新授课的再现,或者上成习题课的翻版,缺少生机.那应用题复习课怎么上出新意、上得有效呢? 用生长型架构来统领复习课的教学活动,就是一个很好的方法.

1 “生长数学”的基本理念和愿景构想

“生长数学”是江苏省特级教师卜以楼先生提出的一种初中数学教学主张.卜老师常说,要教给学生有生长力的数学,那何为有生长力的数学呢?“生长数学”中的“生长”不光是指数学知识内部的生长,也指学生数学思维的生长,更指学生思维品质、精华及数学素养的生长、升华.教师要激发学生的主观能动性,新知识的学习和理解都是基于学生原有的知识.学生学透了最基础的“元知识”,后续的知识就是在其基础上的迁移、同化、顺应和生长.生长数学必须关注好、选择好生长的种子, 数学上的种子, 就是前后一致, 逻辑连贯,一以贯之的基本的、可迁移的、可生长的“元”知识、“元”方法,通俗的来讲,就是那些“反复强化”的知识、方法和经验.数学的成长及学习如同大树的生长过程: 种子发芽,扎根、再扎根,再生长,双向促进,根深叶茂,叶茂根深[2].

生长数学理念下的复习课,不是机械地复习新授课讲过的知识,盲从地运用新授课解题的方法,而是全新地构建一个学习系统、问题链条、思维场景,让学生用新授课的探索方法去探索将要复习的知识,引导学生从另一个视角认识所要复习的知识,将复习的知识结构化,使复习课成为讲述数学思维的故事,让学生在对复习课的知识产生别有洞天的感觉后,自然地走进“一览众山小”的境地[3].

2 举例分析“生长数学”理念在初三应用题复习课中的应用

初中阶段的应用题主要有以下几个类型: 方程应用题、不等式应用题、一次函数应用题、二次函数应用题、统计应用题、几何应用题等.在近几年广东中考试题中,各种类型的应用题都有出现,应用题求最值问题几乎是年年都不缺席,其中,2019年第21 题应用题第二问考查利用不等式来求最值,2020年第23 题应用题第二问考查一次函数求最值,2021年第22 题应用题第二问考查二次函数求最值.下面以笔者在“生长数学”理念下设计的“应用题求最值”复习课为例,分析如何用生长型架构助力初三数学应用题的复习课教学.

2.1 教学环节

2.1.1 播下“种子”

引入在中考中,我们经常会遇到最值问题,大家回忆并总结一下有哪些类型?

预设生成学生回忆后发言, 互相补充, 总结出四种类型: ①求与动点、动线有关的最值问题; ②求线段和差的最值问题; ③利用函数求线段、面积等最值问题; ④在实际应用问题中求最大利润、最佳优惠方案等问题.

设计说明最值问题是每年中考中的必考题,类型多样,通过回忆讨论,让学生对最值问题进行总结分类,形成知识结构.同时引入本节课的主题——应用题求最值.

引例1已知一次函数y=2x+1,请回答以下问题:

(1)该一次函数有最值吗?

(2)当x≥1 时,讨论该一次函数的最值情况;

(3)当1 ≤x≤3 时,讨论该一次函数的最值情况.

预设生成学生通过作图、观察和讨论得到以上问题的答案,教师引导学生从特殊到一般,总结一次函数的最值情况: 一次函数y=kx+b(k≠ 0) 的自变量x的取值范围是全体实数, 图象是一条直线, 因而没有最大(小)值; 但当m≤x≤n时,一次函数的图象是一条线段,根据一次函数的增减性,就有最大(小)值.

引例2已知二次函数,请回答以下问题:

(1)讨论该二次函数的最值情况;

(2)当-2 ≤x≤2 时,讨论该二次函数的最值情况;

(3)当x≥2 时,讨论该二次函数的最值情况.

预设生成该二次函数化成顶点式为1,其图象的对称轴为直线x=-1.学生通过计算和作图可以发现,第(2)问当-2 ≤x≤2 时,x=-1 在-2 ≤x≤2这个范围内,函数的图象先上升、再下降;第(3)问当x≥2时,其图象在对称轴直线x=-1 的右侧,y随x的增大而减小.学生通过观察和讨论后得到引例2 的答案,教师再引导学生像引例1 一样,从特殊到一般,尝试总结二次函数的最值情况:

二次函数y=ax2+bx+c(a,b为常数且a≠0)的性质有:

①若a ＞0, 当时,y有最小值,ymin=

②若a ＜0, 当时,y有最大值,ymax=

③若规定了自变量x的取值范围,需结合函数图像具体分析.

设计说明利用一次函数、二次函数的性质求最值是应用题求最值最常见的考查类型,也是本节课的重点研究内容.两个引例中三道问题的设置层层递进,不断深入.引例1、2分别通过两个典型的例题帮助学生归纳巩固一次函数和二次函数的图象和性质,在头脑中构建知识体系,形成清晰脉络.一次函数及二次函数的性质是应用题求最值问题的“种子”,是本节生长型复习课的“元”知识.通过两个引例将“种子”播种好,后续才能生根、发芽.

2.1.2 生根发芽

例1为响应公安部号召的“珍爱生命,幸‘盔’有你”活动,某商店购进甲、乙两种头盔,其中甲种头盔的单个进价为60 元,乙种头盔的单个进价为30 元.商店计划购进甲、乙两种头盔共300 个,其中乙种头盔的数量不少于甲种头盔的2倍.甲种头盔的单个售价为80 元,乙种头盔的单个售价为45元.问商店如何进货才能使这批头盔售完后的利润最大? 最大利润是多少?

解析解: 设甲种头盔购进x个, 利润为w.根据题意,得300-x≥2x.解得x≤100.w= (80-60)x+(45-30)(300-x) = 5x+4500.∵5＞0,∴w随x的增大而增大.∴当x=100 时,w有最大值,w最大=5000.

答: 当甲种头盔购进100 个,乙种头盔购进200 个时利润最大,最大利润为5000 元.

设计说明例1 是在引例1 基础上的生长,由“乙种头盔的数量不少于甲种头盔的2 倍”得到自变量x的取值范围x≤100,再根据“总利润=单件利润×销售量”得到利润w关于x的一次函数关系式.此时就将这个应用题转化为一次函数的性质问题了.

例2某网店正在热销一款电子产品,其成本为10 元/件,销售中发现,该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足函数关系式y=-10x+300.求该款电子产品的销售单价为多少元时,每天销售利润最大? 最大销售利润是多少元?

解析解: 设该款电子产品每天的销售利润为w元.由题意,得w=(x-10)·y=-10(x-20)2+1000.∵-10＜0,∴当x=20 时,w有最大值,最大值为1000.

答: 该款电子产品的销售单价定为20 元时,每天销售利润最大,最大销售利润为1000 元.

设计说明例2 是在引例2 基础上的生长,根据题意得到销售利润关于销售单价的二次函数关系式,化为顶点式后,答案就显而易见了.

例3某水果超市以每千克20 元的价格购进一批樱桃,规定每千克樱桃的售价不低于进价又不高于40 元.经市场调查发现,樱桃的日销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系,其部分对应数据如下表所示:

每千克售价x(元)…25 30 35…日销售量y(千克)…110 100 90…

(1)求y与x之间的函数关系式;

(2)该超市要想获得1000 元的日销售利润,每千克樱桃的售价应定为多少元?

(3)当每千克樱桃的售价定为多少元时,日销售利润最大? 最大利润是多少?

解析解: (1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b.将(25, 110) , (30, 100) 代入得解得∴y与x之间的函数关系式为y=-2x+160.

(2)由题意,得(x-20)(-2x+160)=1000.解得x=30或x= 70.∵每千克售价不低于成本, 且不高于40 元, 即20 ≤x≤40,∴x=30.

答: 该超市要想获得1000 元的日销售利润,每千克樱桃的售价应定为30 元.

(3) 设超市日销售利润为w元.由题意, 得w=(x -20)(-2x+ 160) =-2(x -50)2+ 1800.∵-2＜0,∴当20 ≤x≤40 时,w随x的增大而增大.∴当x= 40 时,w取得最大值,最大值为-2×(40-50)2+1800=1600

答: 当每千克樱桃的售价定为40 元时,日销售利润最大,最大利润是1600 元.

设计说明例3 模拟了一道完整的中考应用题,第1 问需要学生读懂表格,准确列出二元一次方程组求解,第2 问需要学生列出一元二次方程并正确求解,再根据实际问题取符合条件的解;第3 问则是利用二次函数的性质求最值问题.该问自变量x有范围,且对称轴不在x的取值范围之内,求最值时学生必须考虑全面才能正确解答.该问是在例2 基础上的再生长.

2.1.3 根深叶茂

练习1端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日,端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10 元,某商家用8000 元购进的猪肉粽和用6000 元购进的豆沙粽盒数相同.在销售中,该商家发现猪肉粽每盒售价50 元时,每天可售出100 盒;每盒售价提高1 元时,每天少售出2 盒.

(1)求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价;

(2)设猪肉粽每盒售价x元(50 ≤x≤65),y表示该商家每天销售猪肉粽的利润(单位: 元),求y关于x的函数解析式并求最大利润.

解析解: (1)设猪肉粽每盒进价a元,则豆沙粽每盒进价(a-10) 元.则.解得:a= 40, 经检验a=40 是方程的解.∴a-10=30

答: 猪肉粽每盒进价40 元,豆沙粽每盒进价30 元.

(2)由题意得,当x= 50 时,每天可售100 盒.当猪肉粽每盒售x元时,每天可售[100-2(x-50)]盒.每盒的利润为(x-40).∴y= (x-40)·[100-2(x-50)] =-2x2+280x-8000, 配方得:y=-2(x-70)2+1800.∵-2＜0,∴50 ≤x≤65 时,y随x的增大而增大.∴当x=65 时,y取得最大值,最大值为-2×(65-70)2+1800=1750.

答:y关于x的函数解析式为y=-2x2+ 280x -8000(50 ≤x≤65),且最大利润为1750 元.

设计说明练习1 选自2021年广东省中考试题第22 题,对学生来说,最近的中考真题新鲜、神圣.第2 问用到二次函数的性质,对称轴不在自变量的取值范围之内,有了前面的基础,学生可独立解答此题,正确地解答也会让学生心理上更自信.以此达到给刚生根发芽的小树浇水、施肥的效果,让小树长成根深叶茂的大树.

2.2 设计反思

本课例在“生长数学”的理念下,基于学生对一次函数、二次函数性质的理解,通过由易到难、层层递进的例题,展现知识迁徙链条,凸显生长路径.具体地说,一次函数在实际问题情境中,自变量有取值范围,要根据实际情况取最值,例1是在引例1 基础上的生长;二次函数的最值要考虑图象的开口方向、对称轴的位置、问题情境中自变量的取值范围以及该范围与对称轴的关系,从引例2 到例2,再到例3,最后到练习1,是一个从播种到生长、再生长的过程.

3 结论和建议

在“生长数学”理念下,复习课要对知识进行系统整理,只有将知识系统化,才能让学生形成能力.初三复习阶段,应用题的教学应该更综合化,从无类型到有类型,从有类型到无类型.所谓有类型是指应用题中常见的类型归纳,比如工程问题、行程问题、销售问题、传播问题、增长率问题、面积问题等等,让学生掌握解决这些类型题的方法,同时对应用题有熟悉感,减少畏惧心理.但是应用题的类型是无限的,课堂上不可能列举出所有的应用题类型.所谓无类型指的就是所有类型的应用题,其本质都是找到题目中的数量关系,等量关系,建立数学模型求解.函数、方程、不等式等相关知识是我们要教给学生的“元”知识,如何找题目中的数量关系、等量关系就是我们要教给学生的“元”方法,我们应用题教学的目标就是让学生能从无类型到有类型,再从有类型到无类型,提高应用题解题能力.

用生长型架构进行复习时,要认真规划复习内容的生长路径,巧妙设计问题生长的顺序,提炼知识生长链条,揭示变化中不变的规律,彰显数学变式的魅力.另外,在进行教学设计时,要根据所复习的内容精选生长链中的例、习题,例、习题的数量原则上够用即可,练习题要有针对性和梯度的变化.