初中数学实践性作业设计初探

曹伟　高晓芬

摘要：数学源于生活，高于生活，是研究数量关系和空间形式的科学。数学课程除了让学生掌握必备的基础知识和基本技能之外，更重要的是培养学生发现问题和解决问题的能力，培养学生的创新精神和实践能力。实践性作业是让不同学生获得不同数学发展的重要工具，是联系数学学科与生活实际的纽带，是将初中数学核心素养内化于心的重要渠道。

关键词：课程标准 核心素养 实践性作业

传统的数学教学，更加注重基础知识和基本技能的传授与练习，在很大程度上割裂了数学课程与生活实际的练习；学生往往处于被动的数学学习状态，以掌握解题技巧为主要目的，这无疑有悖于数学课程的设计理念。课程内容源于生活，但在很大程度上脱离学生所处的生活实际，不利于学生的理解、体验与思考，学生在数学学习的过程中直接经验的获取量较少，便很难真正处理好直接经验与间接经验的关系。初中数学实践性作业是一种以学生的学科知识为基础、以实践探索为手段、以总结内化为目的新型作业。教师在遵循《义务教育数学课程标准（2011年版）》的基础上，在每章节末尾设计实践性作业，让学生利用课后时间通过自主的实践探索完成实践性作业任务，改变以往的布置作业的方式，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型，并进行解释与应用的过程。在解决问题的过程中，实践操作的开展还可以促进学生在思维能力、情感态度和价值观等多方面获得进步和发展，学生对于数学知识及其他学科知识的整合有利于学习兴趣的激发，有利于学生综合素质的提高。笔者通过实践性作业设计的相关实例，从以下几个方面做出阐述。

一、兴趣是学习的核心动力

兴趣是最好的老师，而传统数学教学中作业的布置往往以知识点的掌握为出发点和目的，忽略了数学课程对学生能力的培养和心理状态的考量。基于此，使得数学作业的形式单一，也容易使学生处于被动完成作业的状态中。这种抱着完成任务的心态布置数学作业，对于学生能力的培养无疑是收效较低的。只有调动学生学习的积极性，将学生置于主体地位，才能有效地转被动为主动，化完成任务为乐于探索，才能在掌握知识的同时提升能力，并能让学生的精神世界更加丰满富足。实践性作业的设计要兼具趣味性和直观性。

例如，在“多边形的镶嵌”内容的教学中，设计了以下作业：（1）预习课本内容，在生活中寻找镶嵌实例，拍照展示；（2）小小设计师：请同学们设计自家地板的镶嵌方案，比一比谁的设计更棒，并在课堂教学环节，让学生展示自己的设计方案，介绍设计理念和理论基础。在学生介绍设计方案的过程中，自然领悟镶嵌定义中的关键词——无缝隙、不重合；自然呈现一种正多边形和多种正多边形进行镶嵌的案例，为后续研究多边形镶嵌中的数量关系，渗透方程思想提供了良好的切入契机，让知识的生长在学生的自然发现中水到渠成。

这一作业的难度较低，但立意比较高，以学生为主体的作业理念充分地调动了学生的学习积极性，开放的作业设计充分发挥了学生的想象力，以镶嵌为载体能提高学生对学习镶嵌中蕴含的数学原理的认识、强化应用意识、增强用数学眼光欣赏美的能力；以设计为通道，有利于培养学生的想象力和创造美的能力。

二、从生活中来到生活中去

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，数学课程的目标之一是初步学会用数学的思维方式去观察和分析社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，提高应用数学知识解决问题的能力，增强应用数学的意识。传统意义的作业对于学生而言是“高冷”的，是脱离了生活实际的，是离开了学习之后就不再需要用到的。数学实践性作业取材于生活，蕴含数学学科知识，为学生提高理论认识和解决问题的能力提供了充分的锻炼机会，有利于学生理解数学的应用价值，进而提升学生对数学学科的学习热情和兴趣。

排队问题是日常生活中经常会遇到的问题，平时总想排队时间能短一点，却很少能从数学的角度来思考这个问题。在学习一元一次不等式之后，解决排队问题的契机便出现了，向学生提出了这样的探索性问题：“观察实际生活中出现的排队现象，统计数据，运用所学知识解决如就医排队、就餐排队等问题。”引导学生从数学的角度思考等待时长、排队人数及窗口服务效率之间的不等关系。学生带着这样的问题，充分发挥了主观能动性，分别从机场出租车的排队问题、牛吃草问题、怎样排队最优等方面展开了思考与设计。以下是学生关于怎样排队最优的思考。

问题：有4辆大小不同的货车在某仓库同时等待装载货物。

（1）请给出一个方案，使得这4辆货车的总体等待裝载货物时间最少。

（2）并将问题推广到一般情况下，该如何解决呢？

解：假设这4辆车分别记为a，b，c，d，装载货物所用的时间分别为5，10，15，20，单位：分钟。

（1）当只有a，b两辆货车同时等待装载货物时：

排队情况只有2种，计算可得，按车辆a，b顺序排队时，这2辆货车的总体等待装载货物时间最少。

（2）当只有a，b，c三辆货车同时等待装载货物时：

排队情况只有6种，

计算可得，按车辆a，b，c顺序排队时，这3辆货车的总体等待装载货物时间最少。

（3）当只有a，b，c，d四辆货车同时等待装载货物时：

排队情况只有24种，计算可得，按车辆a，b，c，d顺序排队时，这4辆货车的总体等待装载货物时间最少。

由（1）（2）（3）可以看出，当有多于1辆的货车同时等待装载货物时，要使所有车辆总体等待时间最少，排队时应该将装载货物所需时间较少的车辆优先装载。所以这4辆车同时等待装载货物时，按a，b，c，d的顺序排队时，所花费的总体等待装载货物所需时间最少。

把上面的问题推广到一般情况：当有n辆车同时等待装载货物时，为使总体等待装载货物时间最少，排队时应该将装载货物所需时间较少的车辆优先装载货物。

思考题：有5个人拿着容量分别为10升、20升、30升、40升、50升的水桶同时到一个公共水龙头接水。怎么样排队能使得全体人员所用的总体时间最少？

学生在思考的过程中，以排队问题为载体，从实际问题出发，经过从特殊到一般的思考，给出了非常有建设性的意见。得出了结论：“当有n辆车同时等待装载货物时，为使总体等待装载货物时间最少，排队时应该将装载货物所需时间较少的车辆优先装载货物。”这一结论的得到，既是学生对排队问题认识的理论升华，又是数学源于生活、用于生活的鲜活案例，对于学生数学核心素养的培养具有非常重要的实践意义。

在数据的收集与整理中，教师可以布置以下作业：调查生活中常见的水资源浪费现象，估计合肥市每年浪费水资源的数量，并做出相关倡议。了解生活中的许多问题，都需要进行调查、收集数据，通过对数据的分析做出判断，体会数据中蕴含的信息。本题以数据的收集与整理为出发点，以水资源浪费为抓手，引导学生选择正确的方法收集数据，真正将数学用于生活，既提高了学生对知识本身的掌握，又让学生领略积少成多、量变产生质变的价值观认识，更有利于培养学生服务社会的大局观。

三、从内容单一到思维开放

数学抽象是核心素养之一，可以帮助学生剥离外在属性直达本质，从而实现以一变应万变。传统数学作业通常受限于教材内容和习题，使得作业内容和形式比较单一。实践性作业是采用开放的作业设计形式，可以有效扩展学生的学习内容和领域，同时给了学生自主探索和多维创造的空间，学生以抽象的本质属性为依托自主选择研究方向和呈现形式。函数是描述变化过程的重要工具，是刻画现实情境的有力武器。在一次函数模型的应用的教学中，笔者布置了以下实践作业：选择一个合适的情景问题，利用一次函数来模拟和解决。学生在分享作业的过程中充分体现了其自主性、发散性，设计的函数模型精彩纷呈。以下为六位同学的设计：

（一）华氏温度与摄氏温度

刘同学从日常生活中使用的温度计左右有两列数字引发思考，通过资料查询得到部分摄氏度与华氏度的对应值，通过列表描点作图发现华氏温度与摄氏温度完美契合了一次函数模型，从而通过待定系数法求出函数的解析式，确定关系。

非常巧妙的是最后提出的问题，同学在读数时将华氏温度与摄氏温度看错，却得到了同样的结果，引导同学们解决问题。

最后查询资料，验证了推导出的公式的正确性。

（二）游戏“江南百景图”中驿站里粮草数量与采集时间的关系

谢同学在一款名为“江南百景图”的游戏中发现：每次通过驿站外出探险消耗的粮草为一份，之后会自动采集新粮草。为了更合理地安排时间，她记录了粮草份数与采集时间的关系。通过一次函数的模拟，她最终解决了问题，得出了等待粮草储存满所需要的时间。这也帮助她规划了写作业的安排，做到了劳逸结合。

（三）精英班的服装店

李同学不仅为同学们展示了关于如何解决服装店尺码与衣长的相关函数问题，还带领同学们回顾了一次函数模型的应用中解决问题的详细步骤，复习了上一节实践活动课的知识。

（四）奶茶肥宅的快乐

爱喝奶茶的鲁同学想到，只要把奶茶的净含量和价格利用一次函数来模拟就可以解决如何选择奶茶这一问题。他运用美团外卖上奶茶店的相关奶茶产品的数据进行了模拟。值得关注的是，在模拟的过程中，他发现奶茶4号不符合一次函数模型，原来是因为1号、2号、3号都是珍珠奶茶，而4号是果汁茶。这也引发同学们的思考，在利用函数模拟的过程中，可能会出现数据偏差较大的情况，这时候同学们不妨追根溯源，认真寻找问题所在。

（五）游戏材料与一次函数

傅同学爱玩游戏，但玩中有学，学中有思考。通过对“理智”与“材料”的数据整理和函数模拟，他合理推测出下一次获得材料需要花费多少“理智”。为了验证自己的模拟结果，他还进行了实际的测试，结果发现实际测试与模拟的结果误差非常小。为了纪念这一事件，他将这个解析式取名为“欧皇解析式”。

（六）作业量与完成时间

为了预估作业完成所需的时间，以做好规划，确定作业什么时候开始写。刘同学对作业量与完成时间进行了研究，利用一次函数模型进行模拟。在研究过程中，一开始采用的是正比例函数进行模拟，但发现误差较大。经过分析排查，他发现英语中的朗读背诵这一项是固定的十分钟，无法变化，故应该选择一次函数进行模拟。最终，他成功地将作业时间精简成了一个简单的函数解析式。

该作业具有很强的实践性和开放性，引导学生利用函数模型解决生活中的实际问题，以生活情境为载体，让学生充分感受数学源于生活并用于生活，有利于学生感受数学的实践价值。学生在完成作业的过程中开始用数学视角观察生活、用理性思维分析生活、用分析所得指导生活，在同理论、多角度的分析过程中，“万生一”到“一生万”的抽象以及抽象的应用能力得到有效的训练，核心素养便也在无形中得到了落实。

四、从学科孤立到学科融合

数学是用于描述客观事件的语言和工具，是自然科学和技术科学的基础。数学的学习不应该完全局限在数学知识的界域内，应该从基础阶段开始就要注重数学的应用价值的探究，注重数学结论和数学思维在其他学科中的融合应用。通过学科融合，让学生认识到，数学在其他学科学习中的巨大应用价值。

一次方程组在CT技术中有着十分重要的应用，在学习过程中引导学生联系生活实际，体会数学与自然、社会的广泛联系。本节内容设置了以下实践作业：走进医院，采访CT室专业医生，了解CT技术相关知识，并查阅资料对CT知识进行补充。通过采访、查阅了解方程知识在医学领域的具体应用，引导学生思考数学在其他学科的应用，感受数学与其他学科融合的魅力，培养学生的数学应用能力，让学生学有所用。

实践性作业的完成，促进学生以理性的数学眼光看待生活，并学会将数学作为工具解决现实生活中的问题。初中数学实践性作业既是课堂作业的补充，又是课外作业的重要组成部分，具有现实性、实践性、趣味性、綜合性、开放性等特征。对于落实课程标准要求，实现学生综合素养的发展具有重要的推动作用。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京师范大学出版社，2012.

[2]陈桂.例谈基于核心素养视角下数学实践性作业设计策略[J].数学教学通讯，2017（26）：7576.

责任编辑：唐丹丹