Möbius几何中的多分量Camassa-Holm方程

2023-05-26 06:18慧,
宁波大学学报(理工版) 2023年3期
关键词:宁波大学尖峰孤子

覃 慧, 王 宝

Möbius几何中的多分量Camassa-Holm方程

覃 慧, 王 宝*

(宁波大学 数学与统计学院, 浙江 宁波 315211)

研究了一般Möbius几何中的曲线流, 证明了一类多分量的Camassa-Holm方程等价于Möbius几何中的一个不变曲线流, 此方程是两分量Camassa-Holm方程的多分量推广, 也可以看成是一类多分量KdV系统的对偶可积系统. 最后得到了此方程的一个退化情形的尖峰孤子解.

不变曲线流; Möbius几何; Camassa-Holm方程; 多分量Camassa-Holm系统; 尖峰孤子解

本文在文献[12]的基础上把Möbius几何的李代数形式进一步推广, 证明一个(1++)分量的KdV方程和(1++)分量的Camassa-Holm方程可以从这一般Möbius几何中的曲线流中得到. 利用伸缩变换进一步研究这个多分量Camassa-Holm方程的柯西问题, 最终得到一个退化情形的尖峰孤子解.

1 一般Möbius几何中的可积方程

2006年, Sanders等[9]研究了以下李代数确定的Möbius几何中的曲线流,

文献[12]从Sanders等[9]的工作出发, 提出研究由更一般的李代数

引入Lorentz群

和Möbius群

将式(3)代入式(4), 得到以下方程:

显然, 方程有以下解:

对此方程组可求得如下解:

2 (1+n+r)分量CH方程的尖峰孤波解

代入方程(7)得到以下方程:

本节将研究方程(8)柯西问题

注意到

且满足条件

的表达式是方程(9)的全局弱解.

另一方面, 由式(10)有

直接计算得

因此, 将式(18)代入式(15), 式(19)代入式(16), 式(20)代入式(17), 并使用式(22)~(27)可以得到式(11). 定理证明完毕.

3 结论

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A multi-component Camassa-Holm equation arising from Möbius geometry

QIN Hui, WANG Bao*

( School of Mathematics and Statistics, Ningbo University, Ningbo 315211, China )

In this paper, we study curve flows in general Möbius geometry, and prove that a class of multi-component Camassa-Holm equations are equivalent to an invariant curve flow in Möbius geometry, which is a multi-component generalization of the two-component Camassa-Holm equation, and can also be regarded as a dual integrable system of a class of multi-component KdV systems. We also obtain a peaked solution for a degradation case of multi-component Camassa-Holm equations.

invariant curve flow; Möbius geometry; Camassa-Holm equation; multi-component Camassa-Holm system; peaked solution

O29

A

1001-5132(2023)03-0043-07

2022−11−08.

宁波大学学报(理工版)网址: http://journallg.nbu.edu.cn/

覃慧(1996-), 女, 广西桂平人, 在读硕士研究生, 主要研究方向: 可积系统. E-mail: qhwbatg@163.com

通信作者:王宝(1990-), 男, 河北保定人, 讲师, 主要研究方向: 可积系统. E-mail: wangbao@nbu.edu.cn

(责任编辑 韩 超)

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