2022年高考三角函数试题的统计与分析

张美钰 胡典顺

【摘 要】 以2022年高考全国甲卷、全国乙卷、新高考Ⅰ卷等9套试卷的三角函数试题为研究对象，从题型分值、知识内容、难度水平、基本技能、数学核心素养五个方面进行统计分析.发现：三角函数试题在2022年高考题型结构稳定，分值占比升高，内容注重基础理解和知识交叉，综合题型增多，难度水平提升，主要考查理解、推理、运算等基本技能，重点关注学生的数学运算、逻辑推理、数学抽象等核心素养.基于此给出教学建议：回归教材教学，注重知识本质；合理平衡难度，构建知识体系；灵活运用知识，坚持素养导向.

【关键词】 2022年高考；三角函数；试题分析

1 问题提出

三角函数是高中数学函数主题中的内容，作为描述周期运动、解决实际问题的初等函数模型，以完整的知识体系启发学生思维，发展核心素养，是结合其它知识考查学生综合运用能力的良好载体.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称“课程标准”）对三角函数的学习要求为：“在用锐角三角函数刻画直角三角形中边角关系的基础上，借助单位圆建立一般三角函数的概念，体会引入弧度制的必要性；用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的周期性、奇偶性 （对称性）、单调性和最大（小）值等性质；探索和研究三角函数之间的一些恒等关系；利用三角函数构建数学模型，解决实际问题.”［1］

2022年高考三角函数试题遵循课程标准要求，在强化基础考查的同时突出核心素养，体现了“价值引领、素养导向、能力为重、知识为基”［2］的命题理念，推进了新高考教育评价体系的进一步改革.本文将针对题型分值、知識内容、难度水平、基本技能、数学核心素养5个方面进行统计分析，给出三角函数的教学建议，以期适应新高考改革的命题走势.

2 研究框架

2.1 题型分值

三角函数在高考试卷中的分数占比体现考核价值与重要程度，本文对比了其在2021年与2022年9套试卷（全国甲卷文理科、乙卷文理科、新高考Ⅰ卷、新高考Ⅱ卷、北京卷、浙江卷及天津卷）的分值情况，并对2022年各题型分值分布进行统计.

2.2 知识内容

根据课程标准及高考考查知识点分布，将三角函数模块所含内容进行知识点划分及编码，如表1所示.其中，用A1表示三角函数（正弦、余弦、正切）定义，B2表示三角函数周期性.试题中涉及的其他领域知识点不属于三角函数研究范围，统计时单独列出.

2.3 难度水平

根据SOLO理论，通过研究个体解答题目时需要回忆的知识点及具备的联系运用各知识点的能力，可以判断学生顺利解决题目思维所处的水平，进而得到试题的能力层次和难度系数［3］.基于此，本文将高考试题的难度水平分为四个层次：单一结构层次（U）、多元结构层次（M）、关联结构层次（R）、抽象拓展结构层次（E），难度系数依次升高.现以乙卷理科第11题为例，进行题目难度水平的分析与判定说明.

（乙卷理科第11题）双曲线C的两个焦点为F1，F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与C的两支交于M，N两点，且cos∠F1NF2=35，则C的离心率为（  ）.

A.52       B. 32

C. 132     D. 172

分析 该题将三角函数与双曲线结合，考查的知识点有三角函数求值、诱导公式、两角和的正弦公式、正弦定理及双曲线定义.通过画图，借助几何直观锁定两个关键三角形，由已知条件联系三角函数公式求解未知角的三角函数值，进而结合正弦定理和双曲线定义求解.考查学生牢固记忆知识点和巧妙联系的解题能力，对学生数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养提出较高要求.因此，该题属于抽象拓展结构层次，难度水平较高.

2.4 基本技能

基本技能是获得知识的前提，也是从知识掌握到数学能力形成与发展的中间环节［4］，关于数学技能的研究较少，现有相关文献对基本技能的划分有两种，第一种分为心智技能与动作技能，第二种分为知识型技能、法则型技能和方法型技能［5］［6］.基于心智技能形成的原型定向、操作、内化三阶段模型和动作技能外显可见的特征，本文结合课程标准中学业质量水平在知识技能上的质量描述，概括提出学生在解答高中阶段数学试题时应具备的基本技能，见表2.

为了研究框架的一致性，将一道题目考查的基本技能水平按照解题使用的技能个数分为三个层次，见表3.由于理解为必备技能，故将使用2～3个技能设置为水平一.基于此，对2022年高考三角函数试题涉及的基本技能及水平进行判断和统计分析.

2.5 数学核心素养

本文依据课程标准提出的六大数学核心素养及素养表现三水平，基于喻平从知识学习层面的划分，采用数学核心素养评价指标框架［7］统计分析2022年高考三角函数试题素养在知识理解、知识迁移、知识创新水平上的表现.通过量化赋值，探究不同核心素养的考查程度，对试卷进行比较分析，以便更加有针对性地对三角函数展开教学与学习，以新高考Ⅰ卷第6题为例进行赋值说明.

（新高考Ⅰ卷第6题）记函数f（x）=sinωx+π4+b（ω>0）的最小正周期为T.若2π3<T<π，且y=f（x）的图象关于点3π2，2中心对称，则fπ2=（  ）.

Ａ.1   B. 32   C. 52   D. 3

赋值说明：该题是一道5分的选择题，主要考查三角函数的图象及性质.学生需要明确问题情境是先求参数再求值，知道解析式中参数含义，对新的对称点进行简单推理，结合范围进行运算得到结果.本题主要考查数学运算、逻辑推理和数学抽象素养，赋值为：MA1－1.5、LR1－1.5、MO2－2，分别代表本题考查了知识理解水平下的数学抽象素养、知识理解水平下的逻辑推理素养、知识迁移水平下的数学运算素养，赋值分数根据重要程度给出.

3 统计结果及分析

根据研究框架，将统计结果分为试题命制和核心素养考查两部分进行分析.

3.1 试题命制分析

在2022年9套高考试卷中，三角函数所占分数在15～28分之间，占整套试卷总分的10.0%～18.6%，平均分为20.8分.与2021年各套试卷总分情况相比如图1所示，可以看出，除新高考Ⅰ卷外，各套试卷总分均有上升.图2是2022年三角函数在各题型的分值分布情况，整体来看，题型结构为1～3道选择题，0或1道填空题，0或1道解答题，基本每套试卷至少保证了2道封闭型试题与1道开放型试题的考查，在唯一没有主观题的甲卷中，三角函数则出现在了选择和填空压轴的位置，题型结构稳定.由此可见，三角函数以相当重的分量出现在高考试卷中，考查比例有所提高，通过主观与客观相结合的方式评价学生的必备知识与技能素养，部分试题以多选题的形式发挥了提高试卷得分率的功能.天津卷的压轴选择题呈现出多选形态，体现了自命题试卷趋同于全国卷的命题趋势，是逐步推进新高考改革的表现.

根据第二部分的研究框架，对2021年和2022年三角函数试题进行知识内容、难度水平和基本技能的统计，文理科重复试题只出现1次，限于篇幅只给出2022年试题统计情况，具体内容见表4.

三角函数知识点频数分布如图3、图4所示，两年试题总体上考查图象及性质次数最多，恒等变换和解三角形次之，概念最少，2022年未出现应用题型，2021年仅涉及1道.三角函数的图象及性质主要在封闭型试题中考查，恒等变换分布较均匀，概念作为必备知识出现在各个题型中.选择题以图象及性质和恒等变换为重点，解答题较为固定，以解三角形為主要载体，结合恒等变换公式的灵活运用和周长面积考查.此外，2022年大幅增加三角函数与其它章节知识的综合考查，涉及单调性、双曲线、基本不等式以及初等函数二级结论等多个方面，学生需要掌握多个领域的基础知识和解题通法，实现从思考单一因素到兼顾多个因素的思维跨越.2022年三角函数试题情境均为数学情境，但据往年命题特点，三角函数逐渐与现实、科学及数学文化相联系，增强了应用性与创新性，课程标准也“强调数学与生活以及其他学科的联系，提升学生应用数学解决实际问题的能力，注重数学文化的渗透”［1］，教师及学生应重点关注.

对2021年和2022年试卷的三角函数试题所处SOLO结构层次进行判定分析，由于题目数量繁多具体过程不再一一列出，绘制难度水平题量分布雷达图，如图5.可以看到2022年较2021年U水平减少，M、E水平增多，R水平题量稳定，符合三角函数出现在压轴题位置的现状，难度适当提升，但也使得更多学生可以上手求解压轴题，揭下其不可靠近的“神秘面纱”，发挥了试题的评价作用.三角函数这一本来在高考中稳定拿分的知识模块，在2022年有所改变，送分题减少，难度水平从简单、中等转变为中等、中上等，更加注重学生对基础知识的理解和灵活运用.涉及其他领域知识的复合型题目增多，考查学生完整知识体系，聚焦学生的关键能力和核心素养.三角函数已经不再是一成不变的拿分“堡垒”，试题逐渐破除套路，改变分布结构，注重知识整合，建构完整体系［8］，是教师和学生不可掉以轻心的“重头戏”.

绘制基本技能应用频数条形图和水平题量分布图，如图6、图7所示.可以看出，三角函数题目求解涉及的基本技能水平主要为水平一和水平二，即每道题用到的技能个数不多于5个.其中，理解、推理、运算技能使用次数最高，符合三角函数自身具有抽象性和计算性的特点，作图技能和识图技能考查学生数形结合思想方法的运用，突出三角函数图象的作用，建模求解技能体现在函数、不等式等模型的应用上，是学生解决复合问题的关键.

3.2 核心素养考查分析

将2022年题目赋值结果进行整理，计算六大核心素养在知识理解、知识迁移、知识创新水平赋分汇总占三角函数总分的权重，得到表5.以MA2在甲卷理科中的权重0.05为例，由该卷数学抽象在知识迁移水平的考查分1分除以三角函数总分20分计算得出.综合来看，三角函数主要考查数学运算、逻辑推理、数学抽象核心素养，在部分题目中对直观想象和数学建模有所涉及.

由图8可以看到，数学运算和逻辑推理在知识迁移上的考查多于知识理解，数学抽象和数学建模则相反，直观想象持平.三角函数知识体系自身并不复杂，更多倾向于提升学生的运算能力和公式变换的推理能力，所以在运算推理方面对学生提出更高要求，而数学抽象和数学建模是对学生理性思维和应用能力考查的体现，在三角函数中倾向于简单运用，有一定掌握即可.直观想象在数形结合的题目中出现，数据分析在三角函数内容中不涉及.各类素养对知识创新水平的考查都很少，体现了高考强化基础考查、突出关键能力的命题特点.

2022年各套试卷中三角函数体现的素养分布如图9所示，可以看到，甲卷考查的素养类型最为全面，且考查比例较为均匀，是学生全面发展在核心素养层面的良好体现.乙卷与新高考Ⅰ卷均涉及四种素养的考查，是综合考虑难度水平与合理评价标准的良好命题方式.浙江卷与其余试卷的侧重点有所不同，对于逻辑推理的考查占比最大，更加关注学生数学思维的表现与提升，而其余试卷则重点关注学生的运算能力，这为各地区关于三角函数教学与学习的重点提供参考.

核心素养的落实是立德树人的根本要求，三角函数承担着培育数学核心素养的重要作用.学生对三角函数概念和公式进行理解记忆，构建刻画事物周期变化的数学模型，有利于发展数学抽象核心素养；合理选择三角恒等变换公式，灵活处理，正确计算，落实逻辑推理和数学运算素养；解题常用数形结合思想，通过图形、图象在头脑中建构三角形相关元素的动态联结和函数图象的变化特征，发展直观想象核心素养.

4 结论与建议

4.1 结论

2022年高考三角函数题型结构良好，在总题量中分值占比升高，难题增多，中等偏上的题目占大多数.全国卷文理科部分题目相同，难度差距缩小.三角函数打破通常只出现在简单、中档题的命题规律，减少了“送分题”.内容考点注重基础知识的理解和不同章节知识的综合运用，考查学生通性通法的掌握，体现能力思维.三角函数针对数学运算、逻辑推理、数学抽象素养进行重点考查，对运算和推理能力提出高要求，涉及直观想象和数学建模素养.2022年高考是针对“死记硬背”“题海战术”的一次反套路化出题，彰显出三角函数在高考评价中的重要作用.

4.2 教学建议

（1）回归教材教学，注重知识本质.

技巧速解不能解决所有题型，盲目刷题只会事倍功半，增加学生负担.高考试题常常在教材习题的基础上进行变式与提升，在提倡“双减”的今天，回归教材内容，关注知识本质，是高考体现的命题趋势，也是应对反套路化试题的最好办法.三角函数内容考点稳定，但考查方式灵活多变，突出本质，要求学生有扎实的基础知识、基本技能和良好的数学关键能力.教师应以教材为起点，研课研题，变式变形，系统化讲解各专题知识，推进单元教学设计，按照知识的本质特征和逻辑关系层层递进，精心设计题目，走在学生前面，实现稳步高效.学生在深刻把握本质和针对性练习的基础上，才能充分提升技能，领悟数学思想，在复杂多变的试题面前“拨云开雾”.

（2）合理平衡难度，构建知识体系.

高考试题新颖多变，但很少有偏题怪题，题目难度的升高体现在通性通法的融会贯通和知识体系的完整考查.根据2022年和往年命题规律，高考通常综合多个一级知识点进行出题，并会结合不同主题知识创新发散.学生需要在理解条件和推理分析后，通过已有知识经验判断该题类型和解决方法，如2022年甲卷理科11题，审题后可知是整体代入和数形结合求解参数范围的常见题型;再如新高考Ⅰ卷18题第2小问，是边角互换结合三角恒等变换公式并跨章节考查不等式的内容，要求学生熟能生巧地运用知识.这启示教师应在教学中平衡好各章节内容的深度，保证难度设计的科学合理，注意知识的广度，帮助学生构建知识体系，这样学生才能在综合题目中统筹各知识点，进行信息整合，大胆猜想，提出解题策略.

（3）灵活运用知识，坚持素养导向.

三角函数知识类型丰富，涉及公式繁多，出题变化多样，学生应以不变应万变，灵活备考.教师要指出，求值时观察已知角与目标角之间关系的重要性，传授学生拆凑拼补的配角技巧，拒绝公式的死记硬背，引导学生正逆交替、活用定理，挖掘题目背后的隐含条件.学生在长期活跃的数学解题思维中，才能逐渐学会灵活运用知识，根据问题情境作变换转化，突破三角函数问题的思维障碍，使三角函数成为高考中的得分要点.在素养导向下，教师应重点关注学生解题过程中的能力表现，审视思维缺口，引导逻辑融洽，让学生能够根据具体问题探索论证思路，而非只是套路做题.面对试题“七十二变”，自有知识和方法的“金箍棒”来应对解决.

参考文献

［1］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 教育部考试中心.中国高考评价体系（2019年版）［M］.北京：人民教育出版社，2019.

［3］ 熊红冉.SOLO理论下的高考数学试题评价研究［D］.新乡：河南师范大学，2018.

［4］ 周良金，鲁正火.谈数学技能的学习［J］.数学通报，1995（06）：13-15.

［5］ 林武.心智技能形成理论及其对运算教学的启示［J］.教育评论，2017（09）：142-145.

［6］ 孔庆燧.论数学基本技能［J］.课程·教材·教法，1992（10）：51-55.

［7］ 李子瞻，胡典顺.基于数学核心素养的新旧高考比较分析——以2021年新高考Ⅰ卷与2020年全国Ⅰ卷为例［J］.数学教育学报，2022，31（03）：26-31.

［8］ 胡茗洁，石浩楠，胡典顺.2021年高考概率与统计试題的统计与分析［J］.中学数学杂志，2022（01）：61-66.

作者简介 张美钰（1999— ），女，内蒙古呼和浩特人，研究生;主要从事数学教育研究.

胡典顺（1965— ），男，湖北孝感人，教授、博士生导师;主要从事数学课程原理、数学教学原理、数学教师教育研究.