随机扰动下车摆系统的实用轨迹跟踪

郑嘉璇　张会

摘 要：对于直流电机驱动的车摆系统，本文研究了随机扰动下参数不确定性的实用轨迹跟踪问题。基于相对运动和等效电路原理，将系统受到随机扰动的影响看作转矩或电压，通过拉格朗日方程建立受有色噪声影响的车摆系统的随机模型。采用backstepping技术、滑模技术和耦合项噪声分离技术，设计自适应backstepping滑模控制器解决系统的轨迹跟踪问题。基于随机系统的稳定性，闭环误差系统是依概率噪声到状态实用稳定（NSpS-P）的，通过调节设计参数，使得跟踪误差均方收敛到零的任意小邻域。仿真结果验证了所提出控制器的有效性。

关键词：随机模型；车摆系统；自适应backstepping跟踪；滑模控制

中图分类号：O231.3  文献标识码：A  文章编号：1673-260X（2023）02-0001-07

1 引言

在过去的几十年里，机械系统在实际的工业生产中有着广泛的应用。为了获得更好的系统性能，许多学者提出了一系列有效的控制方法，例如，滑模控制[1，2]，鲁棒控制[3]，自适应控制[4，5]等。车摆系统作为经典机械系统，被广泛应用于港口、工厂车间等场所。因此，研究车摆系统的轨迹跟踪控制在工程应用和控制理论中都具有重要意义。Mazenc等人解决了车摆系统的周期轨迹跟踪问题[6]。张安彩等人构造了车摆系统最优轨迹并设计跟踪控制律，使得快速跟踪到所构造的轨迹[7]。而上述研究都是针对确定性的车摆系统，直接将车摆系统的转矩作为控制输入。

随着随机理论的发展[8]，将随机噪声合理地引入系统的随机建模与控制中具有重要的研究意义。由于实际随机扰动的温和性，将其描述为平稳过程更为合理。随机扰动为平稳过程时，吴昭景构建了随机微分方程系统稳定性的理论框架[9]。针对崎岖路面下的汽车悬架系统，崔明月等人将粗糙路面对力的影响看作系统受噪声的干扰，建立了随机动力学模型并设计了稳定控制器[10]。另一方面，在实践过程中，基于直流电机的电压控制作为机械系统的控制输入比基于转矩的控制更加合理。针对一类随机扰动下由直流电机驱动的柔性关节机械臂，崔明月等人提出了建模和轨迹跟踪控制方案[11]。

本文研究了随机振动环境下由直流电机驱动的车摆系统的参数不确定性的实用轨迹跟踪问题。在构建车摆系统的模型时，其耗散力通常会被忽略。本文考虑由线性形式和二次形式组成的阻尼项，在对直流电动机驱动的车摆系统进行随机建模时，根据动静法和相对运动原理，将车摆系统所受到随机扰动的影响视为转矩，基于等效电路原理，将直流电动机中的热噪声描述为电压。与现有确定性情况下的跟踪控制方案相比，为了快速消除跟踪误差，结合滑模控制和自适应backstepping技术，设计实用轨迹跟踪控制器，使跟踪误差均方收敛于零的任意小邻域，闭环误差系统是依概率噪声到状态实用稳定的。

2 问题提出和系统建模

2.1 問题提出

如图1所示，本文考虑由直流电机驱动的车摆系统，系统处于随机振动的工作空间，系统参数见表1。位于皮带轮上的直流电机1为小车提供一个使其沿水平导轨向前滑动的驱动力？子1（单位N），与此同时，位于小车上的直流电机2为刚性摆和负载提供一个使其在垂直平面上摆动的扭矩？子2（单位N·m）。q1（单位m）为小车的水平位移，q2（单位rad）为刚性摆和载荷的摆动角度。？覣1（单位N）为小车受到的阻尼力，？覣2（单位N·m）为刚性摆和负载受到阻尼力矩。ij和uj分别为第j（j=1，2）个直流电机的电流和电压。由于车摆系统受到随机振动环境的影响，将随机振动描述为随机加速度[12]，即？孜1和？孜2分别表示水平方向和垂直方向上的随机加速度，是独立的平稳过程。

对于受直流电机驱动的随机车摆系统，负载质量m2和阻尼系数？籽1，？籽'1，？籽2，？籽'2是未知的，本文的目标是设计一个状态反馈跟踪控制器u=（u1，u2）T，使q=（q1，q2）T能够尽可能地跟踪到给定的二次连续可微有界的参考信号qr=，并且闭环系统中的所有信号依概率有界。

2.2 系统建模

为了简化系统模型，忽略刚性摆的质量以及刚性摆与负载之间的距离。随机车摆系统的模型将分为如下两步建立。

车摆系统受到环境中随机振动的影响，选取点O作为参考点。将？孜1和？孜2分别看作点O的水平加速度和垂直加速度。自然地，如图1所示，在点O分解？孜1和？孜2，有aO1=？孜1和aO2=？孜2sinq2。根据动静法和相对运动原理，随机振动对系统的影响可以看作是对控制力和转矩的扰动，相当于在？子1的方向上引入一个随机力？子1？孜，在？子2的方向上引入一个随机矩？子2？孜。即，？子1？孜=-m1？孜1，？子2？孜=-m2l？孜2sinq2。上述方程用矩阵形式表示为

仿真结果如图2所示。从图2可以看出，跟踪误差在一个小的零邻域内，这意味着q近似跟踪到给定的参考信号qr。与此同时，闭环系统中的所有信号都是有界的。仿真结果验证了该闭环系统控制方案的有效性。

6 结论

本文研究了直流电机驱动的随机车摆系统的自适应轨迹跟踪问题。通过拉格朗日力学原理和电磁学建立系统的随机模型。设计自适应轨迹跟踪控制器使得跟踪误差均方收敛到零的任意小邻域，并且闭环系统是NSpS-P的。仿真结果验证了所提出方案的有效性。目前还存在一些需要考虑的问题，如自适应模糊跟踪控制，有限时间控制。

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参考文献：

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〔13〕Wu Z， Karimi H R， Shi P. Practical trajectory tracking of random Lagrange systems[J]. Automatica， 2019， 105： 314-322.

〔14〕Brown R， Hwang P. Introduction to random signals and applied Kalman filtering[M]. New York， John Wiley & Sons， 1997.

收稿日期：2022-10-11

通訊作者：张会（1986-），山东临沂人，副教授，博士。研究方向：随机切换控制，非线性自适应控制，机电系统控制。

基金项目：国家自然科学基金（61703359；62073275）