线性变参数系统抗扰动鲁棒模型预测控制

邢丽娟,杨世忠

(青岛理工大学信息与控制工程学院,山东 青岛 266520)

1 引言

在实际的控制中,系统对象模型参数的不确定性以及持续有界扰动的存在,对系统的稳定性控制造成影响[1-2]。鲁棒模型预测控制由于可以显式地表示系统的模型不确定性和约束条件,在控制过程中应用和研究较为广泛[3,4]。当系统存在持续有界扰动时,由于干扰的影响,使得系统的状态变量不能被准确获得。文献[5]采用基于观测器的输出反馈鲁棒模型预测控制,通过在线约束优化实现系统的稳定控制。文献[6]针对具有输入饱和的动态输出反馈系统,采用输出反馈鲁棒模型预测控制,用凸优化方法保证了估计的状态和估计误差收敛。文献[7]设计基于管的输出反馈鲁棒模型预测控制,采用带缩放终端约束集的一步标称系统预测,实现对具有有界扰动的离散时间线性参数变化系统的稳定控制。为减少控制的复杂性,文献[8,9]将抗扰动不变椭圆集的方法应用于持续扰动问题,通过状态反馈控制抑制干扰对系统稳定性的影响,实现系统的稳定控制,但系统控制的控制精度和快速性还有待提高。文献[10]通过不变集理论,采用嵌套不变椭圆集鲁棒控制算法实现持续有界扰动系统的快速稳定控制,但控制域的范围有待提高。

本文根据以上文献进行如下设计:①综合扰动的影响和系统参数不确定性,通过离线优化出一系列不变多面体集序列和对应的控制律。②在线时,为实现系统的快速稳定控制,根据状态变量在多面体不变集中的位置,在对应的离线控制律的凸包范围内优化出实际控制律。本算法抑制了持续有界干扰对系统控制的影响,减小了在线算法工作量,实现了系统的有效控制。

2 问题描述

具有持续有界扰动的线性变参数系统离散模型为

x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)+Dω(k)

y(k)=Cx(k)

[AB]∈Ω

(1)

其中:A∈Rn×n,B∈Rn×m,C∈Rn×n,D∈Rn×l

Ω=Cov{[A1B1],[A2B2],…,[ANBN]}

A,B可控,rank(C)=n

系统(1)的输入约束

(2)

根据抗扰动不变椭圆集鲁棒控制原理[8],系统(1)若满足:

Sx={x(k)∈Rn|x(k)TP-1x(k)≤1},P>0

(3)

其中x(0)∈Sx,在k≥0,有x(k)∈Sx,则Sx为系统(1)的不变单椭圆集。

由系统(1)可知输出变量y=Cx,则有x=C-1y,将x=C-1y带入xTP-1x≤1,有yT(CPCT)-1y≤1。

Sy={y∈Rn|yT(CPCT)-1y≤1}

(4)

若线性变参数系统的控制律为K,系统(1)的输入变量为

u=Kx

(5)

设K表示为

K=YP-1

(6)

采用抗扰动不变椭圆集鲁棒控制原理,并考虑系统的状态方程参数不确定性,给出如下优化控制算法

(7)

s.t．

(8)

(9)

(10)

其中:a满足0

3 离线算法

持续有界扰动系统的嵌套不变椭圆集鲁棒控制算法根据状态变量的变化,以采用不同的控制律实现对系统的控制。但是,从系统(1)可以看到,状态变量变化的范围约束是不等式的形式,这样所构造的不变椭圆集只是真实多面体不变集的近似,所以得到的控制结果较为保守。因此,本文在设计中离线构造与控制律序列相对应的多面体不变集序列,扩大了系统控制的可行域。

算法1:对于具有持续有界扰动的线性变参数系统(1)和约束条件(2)。

1)根据初始状态变量,确定一系列趋于稳定点的状态变量;

2)将每个得到的状态变量带入式(7)～(10),优化得出一系列P和Y;根据式(3)可得到一系列椭圆集。

3)由式(6)得到一系列控制律K。

从算法1可以得到具有持续有界扰动的线性变参数系统的系列椭圆集和对应的控制律K,其中得到的系列控制律K为构建系列多面体集提供约束条件。由于系统具有持续有界干扰,构建多面体集时需要考虑干扰的影响。

算法2:对于具有持续有界扰动的线性变参数系统(1)和输入约束条件(2),以及算法(1)得到的一系列控制律Ki。

1)根据式(2)构建多面体不变集Si={x|Mix≤di},i=1,…,M,其中:

2)对(Mi,di)取其第m行,求解以下优化算式

(11)

若Wi,m>0,对(Mi,di)添加约束项:

Mi,m(Aj+BjKi)x≤di,m-(Mi,mDωp)

令di,m=di,m-(Mi,mDωp)

得到:

3)令m=m+1,若m大于Mi的行数,算法结束,否则重复步骤2)。

由算法2得到系统的一系列离线多面体集,增大了系统相应的控制区域,使得系统控制的作用增强,系统可以快速达到稳定点。

4 在线算法

由于系统状态变量的不同可以对应不同的控制变量,离线多面体不变集的数量不可能选择无穷多,以对应无穷多个不同的状态变量的变化。这样,每次控制迭代实现的控制律具有保守性。本设计中在离线算法的基础上,在每个控制周期中,测得系统的状态变量处于任意两个相邻多面体不变集之间时,在这两个多面体不变集对应的控制律的多胞体中,寻求最优的实时状态控制律,以提高系统的控制效果。

算法3 对于具有持续有界扰动的线性变参数系统(1)和输入约束条件(2),以及由算法2得到的一系列离线多面体不变集和相应的控制律。

1)将实时状态变量x(k)代入Si={x|Mix≤di},i=1,…,M,寻找x(k)在多面体不变集序列中所处的位置。

2)若Mhx≤dh,h=M,则x(k)位于离线得出的多面体集序列中的最小多面体集Sm内部,实际控制律取KM。

3)若Mhx≤dh,Mh+1x>dh+1,h

(12)

4)将优化出的控制律K代入式(5),得到控制量u(k)。

定理1:对于系统(1)和输入约束(2),通过算法3中式(12)的优化求解得到的控制量可实现系统的稳定控制。

证明:在算法2中多面体的构建考虑到系统持续有界扰动的影响,通过式(12)迭代添加非冗余约束

Mi,m(Aj+BjKi)x≤di,m-(Mi,mDωp)

令di,m=di,m-(Mi,mDωp),可得到

这样就确定初始状态变量xi的集合

Si={xi|Mixi≤di}

在Si对应的控制律Ki保证了系统满足鲁棒稳定性和约束条件,即在未来的状态变量都局限在Si集合内,并满足系统的约束条件。

因此,算法3中,如果状态变量在Sh之内或在Sh+1之内,对应的控制律Kh,Kh+1可以保证系统满足鲁棒稳定性和约束条件。

由于Kh和Kh+1保证了系统的鲁棒稳定性和约束满足,因此Kh和Kh+1的凸组合也保证了系统的鲁棒稳定性和约束条件。因此,利用算法3,可以保证Sh内的任何状态变量在未来状态向更靠近稳定点的Sh+1移动。

当x(k)达到离线多面体集序列中的最小多面体集Sm内部,则由控制律KM保证了Sm内系统所有状态的鲁棒稳定性和约束满足。

5 仿真

考虑具有持续有界扰动的线性变参数系统的离散状态方程为:

=Ax(k)+Bu(k)+Dω(k)

其中:0.9≤λ≤1.1

Ω=Cov{A1,A2}

通过椭圆集抗扰动鲁棒预测控制算法和多面体集抗扰动鲁棒预测控制算法进行仿真比较,验证本文算法的有效性。

离线时,根据状态变量的初始值x(0)预设的一系列状态变量

由算法1得到的控制律

K1=[-0.1250 -0.5506]

K2=[-0.1717 -0.6340]

K3=[-0.2273 -0.7444]

K4=[-0.3272 -0.9165]

K5=[-0.5802 -1.1904]

由算法1和算法2得到的系列椭圆集和系列多面体集序列如图1所示。

图1 系列椭圆集和多面体集

从图1中可以看到,采用多面体集序列的可控制区域明显大于椭圆集序列的可控制区域,更符合实际控制过程中各约束条件。

在线控制时,椭圆集抗扰动鲁棒控制算法采用内插法得到系统的实际控制律,多面体集抗扰动鲁棒控制采用算法3得到系统的实际控制律。状态变量控制比较如图2、图3所示;控制量的比较如图4所示。

图2 状态变量x1

图3 状态变量x2

图4 控制量u

图2、图3是状态变量在控制过程中的变化曲线,由于系统存在扰动,状态变量趋于稳定点后存在波动。椭圆集抗扰动鲁棒控制算法中,状态变量在第10个控制周期趋于稳定,多面体集抗扰动鲁棒控制算法中,由于控制的作用较强,状态变量在第7个控制周期趋于稳定,控制的快速性和稳定性好。

由于系统存在扰动,图4中系统的控制量在状态变量趋于稳定时,不断抗扰动。在每个控制周期内,椭圆集鲁棒抗扰动控制算法中,控制量的控制作用较弱,而多面体集抗扰动鲁棒控制算法中,控制量的控制作用较强,使系统的状态变量能够快速趋于稳定点。

通过控制算法的比较,可以看到基于多面体不变集的线性变参数系统抗扰动鲁棒预测控制算法控制作用强,更符合实际控制过程的需求,实现了系统快速稳定控制。

6 结论

在实际的控制系统中,系统模型参数存在不确定性以及受到持续有界扰动的情况,给系统的稳定控制造成影响。本文给出基于多面体不变集的线性变参数系统抗扰动鲁棒预测控制算法,一方面可以将线性变参数的影响显式地表示出来,另一方面扩大了系统的控制可行域,更符合实际的控制过程。本设计算法离线完成大部分的工作量,构建离线系列多面体集,得到系统的相应的系列控制律;在线时,通过判断状态变量在系统多面体序列中的位置,在相应的控制律凸包内寻求最优的实际控制律。通过仿真比较,可以看到本算法的控制作用强,控制效果好,实现了系统的快速性和稳定性控制,为具有持续有界扰动的线性变参数系统提供了一种可行的抗扰动鲁棒模型预测控制算法。