向量在高中数学解题中的应用

摘 要：向量是高中数学教学中十分重要的工具性内容，既有一定的代数性质，也具备相应的几何特征.在高中数学解题中，通过向量的灵活应用可以很好地锤炼学生数学思维能力，强化学生数学运算及解题能力，对提升学生数学学习能力有较大的帮助.本文主要介绍了高中数学解题中应用向量的意义，剖析了数学解题中应用向量的具体策略及相关注意点.

关键词：向量；高中数学；解题

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2023）06-0053-03

向量最早是物理学中的概念——矢量，主要是用来对物体速度、位移、力等进行描述.在18世纪向量被引入到数学领域中，经过多年的发展，向量逐渐成为解决数学问题的重要“桥梁”.在数学领域中向量身兼双职，既能表示代数性质，又可以展现几何意义.通过向量的这一特性，可以将数学题中的几何问题代数化，从而轻松地解决问题.

1 高中数学解题中应用向量的意义

在数学领域中，向量凭借十分独特的优势受到了诸多数学家的重视.新时期随着教学改革的不断推进，高中数学教学理念、教学内容都较之过去有了一定改变，而向量也成为了数学教学的重难点内容，向量的价值不仅体现在其本身是数学教材中的基础知识，更重要的是向量在数学解题中有十分重要的应用.事实上，在高中数学解题中，向量的灵活应用可以为学生解题提供多种思路，教师可以引导学生将向量看做是一个集数、形于一体的特殊存在，其具有极强的数形转化功能，一是平面内的任意向量都能数化，并且可以进行相应的代數运算；二是向量具备长度、位置、方向等特性，在运算中具有特殊的几何意义.向量知识与其他知识都有广泛的交汇点，高中数学教师在日常教学中引导学生利用向量来解决数学问题，可以在很大程度上锤炼学生数学思维能力，并且能让学生对向量知识有深层次地认识.

2 高中数学解题中向量的具体应用

2.1 向量与代数交汇问题的处理

在高中数学中，代数强调的是“数”，其贯穿于整个高中阶段.而在实际情况下，只要涉及到“数”，必然有“算”的存在.向量作为代数研究的主要对象，灵活的利用向量线性运算、向量数量积处理问题，可以有效减轻学生数学运算压力.具体来说，在代数问题处理上，向量在不等式、等式证明、三角函数、数列等方面都有很好的应用.

2.1.1 等式及不等式证明中的应用

例1 任意实数a、b、c、d存在（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，如果向量（a，b）与向量（c，d）共线，则等号成立.

解析 本题中，先画出不等式与向量的交汇图，设平面上的任意两个向量α=（a，b）、β=（c，d），向量α与向量β之间的夹角是θ，取两边绝对值得出|α·β|=αβcosθ，由于cosθ≤1，因此得出αβ≥α·β，等号成立的条件是向量α与向量β共线.将向量α与向量β的坐标代入αβ≥α·β可以得出a2+b2·c2+d2≥ac+bd，即（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2.

评析：在本题中，不等式（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2是柯西不等式，学生在解题中可以根据柯西不等式构造出向量，通过向量数量积放缩不等式，得出相应的结论.

2.1.2 取值范围问题中的应用

例2 假设实数x，y满足x2+y2+xy=1，试求x+y的最大值.

解析 在本题中，学生可以运用m·n≤mn来进行解题.设m=（x+12y，32y），n=（1，33），由于m·n≤mn，从而得出x+y≤233.学生在解题过程中需要先构造两个不同的向量组，然后结合不等式知识进行求解.

2.1.3 三角函数问题中的应用

例3 向量m=（2sinx，cos2x-sin2x），向量n=（3cosx，1），x∈R.已知函数f（x）=m·n的最小正周期是π，如果在△ABC中，f（B）=-2，BC=3，sinB=3sinA，试求BA·BC的值.

解析 本题属于典型的向量知识与三角函数知识交汇，在解题过程中需要综合应用三角函数知识与向量知识，有向量内积的出现必然涉及到余弦函数，因此学生就需要灵活的应用向量内积对问题进行处理.

设△ABC中A、B、C三个角分别对应的边是a、b、c，由于f（B）=-2，从而得出2sin（2B+π6）=-2，得出B=2π3（B∈（0，π））.由于BC=3，得出a=3，sinB=3sinA，从而得出b=3a=3.根据正弦定理可以得出3sinA=3sin2π3，从而得出sinA=12.由于A的取值范围是（0，π3），得出A=π6.因此BA·BC=-32.

2.1.4 数列问题中的应用

例4 数列an的和是Sn，已知an-an+1=d（d∈R），OB=a1OA+a200OC.如果A、B、C三个点在同一条直线上，并且该直线不过（0，0）点，求S200的值.

解析 在本题中，应用向量的共线定理可以很好的完成解题，结合结论OA=λOB+μOC（λ+μ=1），对于平面中任意一点O，OA与OB不共线，需要满足OP=λOA+μOB（λ，μ∈R），则A、B、P三点共线λ+μ=1.在解题过程中学生可以先将数列问题转变成向量问题，结合向量共线定理将数列的首项与末项和求出来.同时向量知识的应用还能让学生的解题过程更加简单，减少了复杂的运算，提高了学生解题效率.

评析 在本题中根据题目的已知信息OB=a1OA+a200OC，A、B、C三个点共线且该直线不过（0，0）点，则需要满足a1+a200=1，由于Sn=（a1+an）n2，从而得出S200=（a1+a200）2002=100.

2.2 向量与几何交汇问题的处理

在几何问题研究中，向量是很重要的手段，其可以很好地对几何中的点线面进行描述，同时向量中的部分知识也具备良好的几何特性，因此在证明图形全等、三角形相似、平行、垂直、夹角等问题上，都可以通过向量的数量积、线性运算进行处理.

在高中数学中，关于平面几何的问题大多是通过选择题、填空题的方式呈现，难度处于中等，学生在解题中可以尝试利用向量的相关知识来处理平面几何问题，从而提高学生解题效率.

例5 在△ABC中，D点在BC边上，BD=12DC，∠ADB=120°，AD=2，S△ADC=3-3，求∠BAC的度数.

解析 本题中学生可以利用向量数量积求解角，将题目中的问题转变成向量夹角求解.需要注意的是，学生在应用向量知识时要明确a·b=0时，a⊥b.

根据题目信息可以知道∠ADB=120°，AD=2，S△ADC=3-3，得出DC=2（3-1）.BD=3-1，BC=3（3-1）.△ABC中AB2=（DC-DA）2，AC=32-6，同理在△ADB中得出AB=6.△ABC中，BC2=（AC-AB）2，从而得出cos∠BAC=12，从而得出∠BAC=60°.

3 高中数学解题中应用向量的注意事項

3.1 改变向量知识教学思维

在以往的高中数学教学中，教师经常会单方面地给学生灌输知识，对学生发现、解决问题的能力培养不太重视，而学生本身也不善于创新解题技巧，解题思维局限严重，即便是遇到能用向量解决的数学问题，也习惯于利用传统的方法来解决问题.如推理证明、代数运算等，但是面对一些复杂程度比较高的数学题，学生就会出现不知所措的情况.

3.2 注重向量知识向其他知识的渗透向量知识是高中数学的重点内容，教师在日常教学中不仅要引导学生充分掌握向量概念、基本公式、基本定理等内容，同时还要指引学生将向量知识与其他知识点结合起来，让学生能尝试利用向量知识解决数学问题.在此过程中教师要指引学生对相关结论进行总结，将这些结论应用到数学问题处理中，促使学生可以充分感受到向量在解题中的优势.

3.3 强化向量法解题的教学

高中数学教师在讲解向量的相关知识时，应该灵活应用多媒体手段，指引学生充分把握向量知识的本质，并在此基础上指引学生灵活应用向量知识来解决相应的数学问题.

3.4 培养学生用向量解决问题的能力在日常教学中，高中数学教师还需要特别注重培养学生用向量解题的能力，关注学生向量运算、向量解题逻辑思维、空间想象等方面能力发展，为学生的综合发展奠定基础.首先在学生解题时，应该先对数学问题进行识别归类，在解题过程中学生需要对题目中的问题进行简单识别，结合问题涉及到的知识点进行细致归类，便于在后面遇到类似问题时，快速找准解题思路；其次教师还需要引导学生对数学问题进行分析及综合，要在解题中做到先分析题目，然后在综合解题要点，实现问题分析与综合的相互渗透.

3.5 关注学生发散性思维培养

对高中生来说，学习数学知识并不仅仅是为了应付考试，更重要的是为了推动自身创新能力、思维能力的发展.高中数学教师在引导学生学习向量知识时，要充分关注学生向量知识体系的完整构建，引导学生能深层次的学习向量知识.同时教师在讲解关于向量的题型或者是用向量解决相关数学问题时，教师要注意通过分类讲解的方式进行，便于学生发现向量在处理不同问题时的具体应用，使得学生能充分意识到向量在数学应用中的广泛性，推进学生发散性思维发展.

参考文献：

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［2］ 郭洁.向量在解决高中数学问题中的应用分析［J］.东西南北（教育），2020（10）：1.

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［4］ 魏琦.高中数学向量解题基本思想与技巧分析［J］.数学学习与研究，2020（7）：1.

［5］ 徐波.探讨向量法在高中数学解题中的应用［J］.试题与研究（高考版），2020（6）：24.

［责任编辑：李 璟］

收稿日期：2022-11-25

作者简介：赵芳芳（1986.9-），女，甘肃省庆阳人，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.