按点分析，得心应手

晏南飞

平行四边形和特殊的平行四边形的解答题在中考中是较为常见的，涉及的知识点较多，综合性较强，解题难度较大。那么，如何解答才能不失分？这就需要我们学会分解题目，踩点分析，规范书写。下面就以2022年内蒙古呼和浩特市的一道中考题为例说明。

下面是八年级教科书中的一道题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F。求证：AE=EF。（提示：取AB的中点G，连接EG）

（1）请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件：______。

（2）如图2，若点E是BC边上任意一点（不与B、C重合），其他条件不变。求证：AE=EF。

（3）在（2）的条件下，连接AC，过点E作EP⊥AC，垂足为P。设[BEBC]=K，当K为何值时，四边形ECFP是平行四边形，并给予证明。

解：（1）AG=CE。（2分）

（2）取AG=EC，连接EG，如图3。（3分）

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠B=90°。

∵AG=EC，∴BG=BE。

∴△BGE是等腰直角三角形。

∴∠BGE=∠BEG=45°。

∴∠AGE=135°。

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BCD=90°。

∵CF是正方形ABCD外角的平分线，

∴∠DCF=45°。

∴∠ECF=90°+45°=135°。

∴∠AGE=∠ECF。（4分）

∵AE⊥EF，

∴∠AEB+∠FEC=90°。

∵∠BAE+∠AEB=90°，

∴∠BAE=∠CEF。（5分）

在△GAE和△CEF中，

[∠GAE=∠CEF，AG=EC，∠AGE=∠ECF，]

∴△GAE≌△CEF（ASA）。

∴AE=EF。（6分）

（3）当K=[13]时，四边形ECFP是平行四边形。（7分）

取AG=EC，连接EG，如图4。

由（2）得△CEF≌△GAE，∴CF=EG。

设BC=x，则BE=Kx，

∴GE=[2]Kx，EC=（1-K）x。（8分）

∵EP⊥AC，

∴△PEC是等腰直角三角形。

∴∠PEC=45°。

∴∠PEC+∠ECF=180°，PE=[22]（1-K）x。

∴PE∥CF。（9分）

当PE=CF时，四边形ECFP是平行四边形，∴[22]（1-K）x=[2]Kx，解得K=[13]。（10分）

【得分分析】（1）“提示：取AB的中点G，连接EG”是本题解决问题的关键。要证AE=EF，通常要证这两条边所在的三角形全等。而在现有图形中没有这样的全等三角形，就需要构造三角形。条件中给出点E是边BC的中点，可以得到CE=[12]BC。观察图形，再根据正方形性质，可以知道AB=BC，就明白为什么要“取AB的中点G，连接EG”。其直接目的是证明AG=CE，下一目标是证全等。

（2）此问弱化了条件，把特殊点“中点”换成一般点“边上任意的一点”，解题基本思路与第（1）问一样，正确作出辅助线就可以拿1分。为证明全等，找到对应的两个角相等，就可以各得1分，最终写出结论得1分。我们在证明全等的时候要注意格式的规范，要将全等条件按照全等三角形的判定定理（此解法用的是“ASA”）的顺序书写，在写△GAE≌△CEF时要按照对应顶点的顺序书写。

（3）我们要注意此问的提问方式。“当K为何值时，四边形ECFP是平行四边形，并给予证明。”因此，我们在解答开始就要先说明“当K=[13]时，四边形ECFP是平行四边形。”此说明可得1分。设参数来表示边长时，我们要注意表达清楚和完整，否则容易造成条件不明确而丢分。另外，就是考验我们最基础的运算能力了。我们在解答的最后阶段依旧不能放松要求，只有仔细计算，才能确保获得全部分数。

（作者单位：江苏省宿迁市宿豫区玉泉山路初级中学）