一般观念引领下立体几何性质定理教学——以“平面与平面平行的性质”为例*

许 波 于 涛

(福建省厦门双十中学 361009) (广东省东莞市东莞中学 523005)

1 一般观念的基本内涵

“观念”(idea)在希腊文里的原意是指“看”的过程,名词化后表示“看到的事物”.后来,观念不单指眼睛的“目视”,更重要的是心灵的“审视”[1].杜威认为“观念是对事物的关系、作用和原因的感觉”;布鲁纳指出“观念是学科中的基本原理和学习心向”;《现代汉语词典》中,“观念”释义为思想意识或客观事物在人脑中留下的概括的形象(有时指表象)[2].虽然有关“观念”的表述各不相同,但是各种表述的内涵基本一致:第一,观念是事物内在的根本特性、本质规律的反映,具有普遍性;第二,观念的生成需要经验材料与已有观念结构同时参与、协同作用,具有系统性;第三,观念需要经历感性认知和理性审思两个循环过程,具有主观性;第四,观念是认识世界、解释现象、解决问题的有效工具,具有工具性.

“一般观念”与“个别观念”相对应,指关于一般性事物的观念.托克维尔指出,一般观念是把一些相似事物或现象总括于同一形式下的观念.就数学学科而言,章建跃指出,一般观念是对内容及其反映的数学思想和方法的进一步提炼和概括,是对数学对象的定义方式、几何性质指什么、代数性质指什么、函数性质指什么、概率性质指什么等问题的一般性回答,是数学对象的方法论,一般观念对学生学会用数学的方式对事物进行观察、思考、分析以及发现和提出数学问题等具有指路明灯的作用.

2 立体几何性质定理教学分析

立体几何性质定理中蕴含着怎样的“一般观念”?又如何用“一般观念”引领教学呢?

首先,要弄清什么是“性质”.性质是一类事物共有的特性,是事物内在规律的本质反映.例如,函数性质是研究运动与变化过程中的规律性问题,代数性质是研究运算中的不变性问题,几何性质是研究几何图形构成要素之间确定的关系问题.

其次,要明晰立体几何性质定理的研究内容.立体几何是研究现实世界中物体的形状、大小和位置关系的数学分支学科.其中,位置关系的研究以“点、直线、平面”为基本图形,以四个基本事实(平面三公理、平行公理)为出发点,重点研究直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直关系.立体几何性质定理是“位置关系的性质”,例如“平面与平面垂直的性质”[3]是在“平面α⊥平面β”的基础上研究其他直线或平面与平面α,β之间形成的确定的关系.从方法论的角度看,研究两个几何元素(两个平面)的某种位置关系(垂直)的性质,就是研究这种位置关系下的两个几何元素与其他同类几何元素所形成图形中出现的确定关系(不变性)[4].这一从方法论角度的表述深刻揭示了位置关系性质的表现形式,其作为对数学对象的几何性质指什么的一般性回答,就是立体几何性质定理蕴含的“一般观念”.

最后,要厘清立体几何性质定理的教学思路.教学通常采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质.在前述“几何性质指什么”的“一般观念”引领下,性质定理的教学可以在确定研究对象(两个几何元素的位置关系)的基础上,让其他同类元素动起来,再以观察变化过程中的不变性的思路展开探究性教学.

例如,“直线与平面平行的性质”的教学思路可以是在“直线a∥平面α”的基础上,通过观察其他直线或平面与a,α之间是否形成确定的关系,引导学生经历探究、发现、证明、应用的全过程.直线与平面平行的性质定理作为四个性质定理的第一个,能起到统领其他三个性质定理教学的作用.这里有一个教学问题需要探讨:显然,其他三个性质定理的教学可以类比前面的性质定理教学,从始至终地用“一般观念”指导教学,那么,如何在直线与平面平行的性质定理的教学中提炼出“一般观念”,并用其指导学生明确探究内容和方法呢?从几何性质的整体视角出发,教学可以引导学生审视初中所学的“两平行直线的性质”蕴含的数学思想和方法,通过归纳“两平行直线的性质”,明确“探究几何基本图形(直线、平面)位置关系的性质”的探究内容与思路,即在“两平行直线a,b”的基础上,通过探究直线c与a,b的位置关系,观察有关同位角、内错角、同旁内角等几何量之间的确定的关系,进而归纳提炼出研究几何性质的“一般观念”,并类比研究空间基本图形的位置关系[5].下面笔者以“平面与平面平行的性质”为例,与读者共同探讨一般观念引领下立体几何性质定理的教学.

3 “平面与平面平行的性质”教学过程设计

3.1 复习与强化

问题1请同学们根据表1回顾直线与平面平行的性质的探究过程.(含预设结果)

表1 “直线与平面平行的性质”探究过程

设计意图通过复习回顾直线与平面平行的性质的探究过程,强化“探究空间基本图形位置关系的性质”的探究内容与方法,深化“几何元素(直线、平面)之间确定的关系就是性质”的一般观念,体会一般观念的引领作用,为类比迁移研究平面与平面平行的性质做好铺垫.

3.2 探究与发现

活动类比直线与平面平行的性质的探究过程,请同学们探究平面与平面平行的性质,并用图形语言和符号语言写出来.

学生活动4人一组共同探索,每组选2人操作展示,1人负责画图,1人负责写符号表达式.(学生提前准备好表示直线、平面的学具)

教师活动①给予学生操作指导,组织有成果的小组上讲台展示.

②给予学生方法指导,引导学生从与已知直线或平面的位置关系角度考虑添加直线的所有位置情况.

活动预设探究结果整理如表2.

设计意图在学生感悟一般观念的基础上,引导学生类比迁移,明确“平面与平面平行的性质”的探究内容与方法,即在“平面α∥平面β”的基础上,通过添加元素(直线、平面)的方式,研究其他直线或平面与平面α,β之间形成的确定的关系.在一般观念的引领下,组织学生经历数学探究活动的全过程,培养学生运用一般观念指导自身进行数学学习与探究活动的意识,增强学生发现问题、提出问题的能力.通过直观感知、操作确认,以及观察归纳、交流互动、反例推断等活动过程,培养学生的探究能力、创新精神,发展直观想象素养、逻辑推理素养.

3.3 定理与证明

问题2探究得到的性质,选哪一个作为平面与平面平行的性质定理?为什么?

设计意图引导学生分析探究结果,深化对各个性质的理解.表2中有四个结论:第1个是平面与平面平行的定义的直观体现,属于定义的应用;第2个和第3个具有相似性,一个反映了平行于同一个平面的直线与平面(直线在面外)的平行的传递性,另一个反映了平行平面之间的平行的传递性,类似于基本事实;第4个从面面平行推出线线平行,更能反应“判定”与“性质”的互逆性．故选择第4个作为平面与平面平行的性质定理.

表2 “平面与平面平行的性质”探究过程

借助对探究结果的甄别、筛选过程,培养学生养成良好的数学研究习惯与意识,即先运用一般观念指导进行“创新发现”,再根据简洁有用等标准进行甄别与筛选,厘清各性质与其他知识之间的逻辑关系,形成一个逻辑严密连贯、结构功能良好的知识体系.

问题3如何证明平面与平面平行的性质定理?

(已知α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b,求证:

a∥b)

师生共同讨论证明思路.第一个思路从证明的目标“两直线平行”出发,运用直线与直线平行的定义,需要说明a,b共面且没有公共点;第二个思路是立体几何定理证明中常用的反证法,通过假设a,b不平行(显然共面),说明a,b有公共点,进而推出a与α有公共点的矛盾.具体证明过程如下:

证明(方法一)由γ∩α=a,γ∩β=b,可得a⊂α,b⊂β,且a⊂γ,b⊂γ．

因为α∥β,且a⊂α,b⊂β,所以直线a,b没有公共点．

又因为a⊂γ,b⊂γ,即直线a,b共面,所以a∥b.

(方法二)假设直线a,b不平行,则直线a,b异面或相交．

由于γ∩α=a,γ∩β=b,故a⊂α,b⊂β,且a⊂γ,b⊂γ．显然,直线a,b异面与a⊂γ,b⊂γ矛盾．

若直线a,b相交,由a⊂α,b⊂β得平面α,β有公共点,与α∥β矛盾．故假设不成立,所以a∥b.

设计意图性质定理的证明是“直观感知→操作确认→思辨论证”一般研究过程的重要一环,是发现问题、提出问题之后分析问题、解决问题的体现.一方面借助定理的证明体现应用数学知识与方法解决数学问题的过程,从知识应用、方法(反证法)应用两种不同角度帮助学生构建知识方法体系;另一方面进一步完善一般观念指导下的数学研究习惯与意识,即“创新发现→甄别筛选→推理论证”,使得学生学会数学地思考.

3.4 例题与变式

例题求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等.

已知:如图1,α∥β,AB∥CD,A∈α,C∈α,B∈β,D∈β.

求证:AB=CD.

图1 图2 图3

设计意图三个题目层层深入,在已知平面平行的基础上,分别设置了“两平行直线”“两相交直线”“两异面直线”的数学情境,以此检测学生对平面与平面平行的性质定理的掌握情况.从例题中的平行四边形到变式1中的相似三角形,再到变式2中的转化思想,发展学生的逻辑推理素养.三个题目体现的数学结论是一般观念引领作用的进一步体现,即在“两个平行平面”的基础上,添加“空间中两条直线(平行、相交、异面)”时得到的性质,与教学过程中的探究活动遥相呼应.

3.5 小结与作业

课堂小结往往呈现的是知识目标和思想方法目标,而缺少知识发展形成过程中体现的研究路径或一般观念.本节课课堂小结除了知识层面的平面与平面平行的性质定理、方法层面的定理证明方法(包括反证法),还包括过程层面的研究路径:类比线面平行明确探究方法→借助实物模型猜想数学性质(在其他直线、平面变化过程中的不变性)→运用逻辑推理证明数学性质→解决具体问题深化定理理解,并通过“探究方法”引导学生进一步感悟一般观念的引领作用,深化从直观感知到操作确认、再到思辨论证的立体几何数学观,推动学生数学观念、意识的发展与成长.

课后作业的设计包含两个层面的作业:一个是应用定理,提高技能发展,落实“双基”;另一个是对课堂探究得到的性质进行文字描述、图形表示、符号表达,并加以证明,呼应并强化课堂学习活动中发现的性质的同时,巩固提升学生数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养.

4 教学反思

4.1 一般观念引领,促进数学活动经验的积累

一般观念体现了对相关知识共性的归纳与提取,能引领一系列相关数学知识的学习.四个性质定理的教学能仿照文中“平面与平面平行的性质”的教学案例,形成一系列数学知识不同但数学思想与方法一致的教学.从平面几何中“两平行直线的性质”到立体几何中“直线与平面平行的性质”,再到其他三个性质定理的学习,每一个定理学习的生长点均为之前的性质定理的学习经验．在这样的学习过程中,学生不只是在对知识进行记忆与套用,而是需要运用已学知识的经验学习新知识、研究新问题.四个性质定理的学习能促使学生反复经历相似的学习过程,在类比学习的过程中不断积累活动经验,把新的活动经验纳入已有的活动经验系统,形成“研究对象在变,研究套路不变,思想方法不变”这样真正意义上的数学活动经验,深刻体会数学知识蕴含的数学一般观念.

4.2 一般观念引领,促进数学思维能力的培养

一般观念引领下的教学实践,给人以发现的眼光、洞察本质的智慧[6].四个性质定理的教学打破常规教学模式及教材的限制,不局限于单纯的知识与技能教学,而是以性质定理为教学载体,启发和引导学生思考“什么是几何性质?”“如何发现几何性质?”等数学问题,找到研究方法,形成研究思路,推动学生学会“用数学的思维思考世界”.教学实践中,学生通过动手实践、自主探究、合作交流,能发现、提出很多性质定理之外的其他性质,比教学预设更丰富.显然,一般观念引领的性质定理教学让学生既能学习更多的性质,还能知道这些性质的发现过程,进一步强化了发现几何性质的本领.在四个性质定理略显“重复”的学习过程中,发现几何性质只是教学的一个方面．教学需要进一步引导学生思考所有发现的性质之间的关联,例如梳理哪些性质更基础、探寻它们之间的逻辑关系等,将发现、提出的几何性质整合为一个知识体系,使得学生不仅关注探究过程中的问题,还关注对探究得到的正确结论的归纳与整理,把数学思维能力的培养贯穿始终.