探析数学史对高三单元复习课的价值——以两节圆锥曲线复习课为例*

刘梦哲 孔雯晴

(华东师范大学教师教育学院 200062)

1 引言

圆锥曲线是我国高中数学教学的重难点之一.在已有教学中,教师多以试题为导向,通过归纳用圆锥曲线定义解决的几类问题,引导学生用定义解题[1]．然而,在提倡将数学文化融入数学教学、实施数学学科德育的今天,以题海战术来训练学生已不能满足时代对人才的要求．鉴于此,HPM高中教师网络研修班开展了“圆锥曲线高三单元复习课”的课例研究,帮助高三学生重新认识椭圆、双曲线和抛物线的定义,了解圆锥曲线的起源,建立三者的内在联系,发挥数学史的多元教育价值．分别来自上海市和江西省的教师A和教师B各自实施了教学,两位教师使用的教材分别是沪教版(2008年版)和北师大版(2006年版)．

本文通过分析两位教师的展示课,试图回答以下问题:两位教师所用数学史在高三复习课中发挥了哪些教育价值?两节课对今日圆锥曲线高三复习课的教学有何借鉴意义?

2 教学设计与实施

2.1 教学目标

教师A和教师B拟定的教学目标基本相同,具体如下:

(1)经历从几何模型中抽象出圆锥曲线轨迹定义的过程,知道圆锥曲线的定义,把握椭圆和双曲线第一定义及抛物线定义的定值问题;

(2)利用椭圆和双曲线的第一定义以及抛物线定义提高学生的解题能力,发展学生的直观想象、数学抽象和数学运算学科核心素养．

在面临高考的背景下,两位教师均关注学生的数学素养及解题能力的培养,希望通过本课时的教学,强化学生对圆锥曲线的定义的理解和记忆,并用以辅助学生的解题．此外,教师A增加了一个目标:了解圆锥曲线的历史背景,建立圆锥曲线的内在联系;教师B增加了一个目标:复习圆锥曲线的定义及其标准方程．

教师A和教师B设置的教学重难点也相似．教师A设置的教学重点为复习圆锥曲线的定义和应用,体会数形结合的思想;难点为从几何模型中抽象出代数表达．教师B设置的教学重难点皆为使用旦德林双球模型验证椭圆和双曲线的第一定义及抛物线的定义,利用椭圆和双曲线第一定义及抛物线定义解题．

2.2 教学过程

教师A和教师B的教学过程包括温故知新、再探定义、实践应用和课堂小结四个环节,具体见表1．

在温故知新环节,两位教师均设置了复习旧知和探究圆锥曲线截线定义的内容,只是在内容安排上有所不同．教师A首先让学生回忆满足条件的动点的轨迹是椭圆、双曲线还是抛物线,然后提出问题;其次,学生通过操作平板改变平面与圆锥母线的夹角,从定量和定性的角度总结圆锥曲线的截线定义,教师通过将学生给出的结论与阿波罗尼奥斯的研究成果进行对照,实现古今对话．教师B首先提出和教师A一样的问题,随后运用Flash动画帮助学生直观地理解历史上梅内克缪斯

表1 教师A和教师B的教学过程比较

三线和阿波罗尼奥斯的研究;其次,教师带领学生一起复习高二所学的圆锥曲线的轨迹定义、圆柱中的双球模型和园艺师画法．

再探定义环节则是本节课的重点和难点所在,两位教师均以旦德林模型为主线,先引导学生证明椭圆的定义.随后通过类比,教师A让学生自己证明双曲线的定义,并利用平板拍照上传证明步骤进行分享,此外,教师A还借助微视频介绍圆锥曲线的起源和发展史;教师B让学生以小组为单位,证明双曲线和抛物线的定义,并邀请学生到讲台上分享证明步骤．

当然,运用旦德林双球模型证明椭圆、双曲线和抛物线的定义的过程并不是一帆风顺的．鉴于此,教师B先带领学生回顾圆柱中的双球模型,为进一步探究圆锥中的双球模型搭建“脚手架”,再让学生围坐一圈,以小组为单位,共同探究双曲线和抛物线的定义的证明．在讨论中,课堂气氛热烈,且每位学生都能表达自己的想法,这有利于激发学生的创新意识,体会数学探究与发现带来的乐趣,并加强知识的纵横联系．

在实践应用环节,两位教师借用历史上的“截口曲线”或“旦德林模型”来编制数学问题,从而提升学生运用定义解题的能力．在课堂小结环节,教师A先让学生谈谈本节课的收获,随后教师从四个维度总结本节课学到的内容;教师B与学生一起总结了本节课学习到的数学知识．

3 数学史的教育价值

数学史的融入为高三复习课注入了更多的活力.具体而言,这两节课发挥了数学史的四种教育价值,即深化概念理解、加强知识联系、丰富问题资源和渗透思想方法．

3.1 深化概念理解

复习课的关键在于站在更高的起点回望学习过的知识,通过掌握学生对某一知识存在的认知障碍,并在历史的长河中寻找问题的答案,以此让学生经历这一部分数学知识的发生发展过程,以期解决学生的认知障碍,从而促进对知识的理解．理解作为学生数学学习过程的中心环节,任伟芳等结合斯根普(R.Skemp)的“工具性理解”“关系性理解”两种理解模式以及Pirie-Kieren的“超回归”数学理解模型的最后一个层次“发明创造”,提出数学理解的三个层次,即工具性理解、关系性理解和创新性理解[2]．

在高三复习课中,教师可以依托课前问卷寻找学生的认知障碍．通过梳理教师A的课前问卷不难发现,学生对问题“为什么椭圆、双曲线和抛物线统称为圆锥曲线?”的认知普遍停留在“由圆锥截得图形”,而对为何及如何截得这三条圆锥曲线的问题略显困惑,即学生的理解仅停留在工具性理解水平附近．两位教师均以此为起点,和学生一起经历历史上数学家对圆锥曲线截线定义的探索过程．

教师A让学生借助平板电脑,亲自动手改变圆锥截面的位置,从直观上感受三条圆锥曲线的形成过程,并归纳出截线定义;教师B借助Flash动画,动态展示梅内克缪斯三线及阿波罗尼奥斯的研究,学生通过观察,同样可以归纳出截线定义．可见,两位教师在与学生共同探究和归纳圆锥曲线截线定义的过程中,可以加强学生对圆锥曲线的“形”的本质理解,以此帮助学生达到关系性理解水平．当然,圆锥曲线的轨迹定义和截线定义并非孤立存在,通过探究旦德林双球模型,还可以建立这两者之间的关系,这一过程有助于学生完善认知结构,从而达到创新性理解水平．

3.2 加强知识联系

复习课的目的是把平时在教科书中所学到的零碎知识系统化,让学生从整体上把握所学的内容．美国心理学家奥苏伯尔(D.P.Ausubel,1918—2008)提出三种同化学习的模式,即下位学习、上位学习和组合学习[3],基于此,我们可将知识间的联系分为横向联系和纵向联系．本节课两位教师采用“引导-探究”的教学模式．上课伊始,师生共同归纳出了圆锥曲线的截线定义,但仅从直观想象的角度说明某一曲线是椭圆、双曲线或抛物线并不能让学生信服,需要对此进行逻辑证明．于是,两位教师为学生留下思考的时间空间、留出“发现之白”和“论证之白”.借助旦德林双球模型,学生可以通过类比,并利用初等几何、立体几何等知识,在发现知识、证明结论的过程中,建立起以下两方面的联系．

•建立了圆锥曲线的截线定义和学生已学过的轨迹定义之间的联系;

•建立了椭圆、双曲线第一定义和抛物线定义之间的内在联系．

可见,两位教师以史为鉴,帮助学生搭建起了圆锥曲线不同定义间的联系.但是,这两方面的联系仅属于知识间的横向联系,关于知识间的纵向联系,教师在未来的教学中还应有所关注．

3.3 渗透思想方法

日本数学家米山国藏说过,作为知识的数学出校门不到两年都忘了,唯有深深铭记在头脑中的数学精神、数学思想、研究的方法和着眼点等,这些随时随地发生作用,使人终身受益[4]．因此,教师在日常教学中应重视提炼数学思想方法,使学生逐步体验、逐步理解、逐步学会应用数学思想方法,进而培养学生的数学高层次思维,提升数学核心素养．

两位教师在再探定义环节,借助旦德林双球模型,先和学生一起证明椭圆的定义,而后学生自主探究双曲线或抛物线的证明,渗透了类比和归纳推理的数学思想．在实践应用环节,在解决截口曲线问题时,通过引导学生画出圆锥的轴截面,从而将立体图形平面化,进而实现问题的求解,渗透了化归的数学思想.此外,教师A在例题2的讲解中还渗透了方程的数学思想．

在课堂小结环节,教师A先让一些学生谈了自己在上完本节课后的收获和理解,然后,师生 一起从四个维度总结本节课学到的内容(图1)．教师B让学生回顾本节课学习到的知识,却忽视了对本节课思想方法的提炼．可见,教师A课堂小结到位、思路清晰,从多个视角概括性地总结了本节课的重难点,使学生真正感受到“课已尽而意无穷”的效果．

图1 教师A的课堂小结

3.4 丰富问题资源

对于复习课,更重要的是强化基础知识运用,掌握基本解题方法,提高实际应用能力．在HPM视角下的数学教学中,数学问题乃是数学史的最重要的载体.随着高考数学卷中频繁出现数学文化问题,基于数学史的问题也逐渐成为教师关注的焦点[5]．在这两节课中,两位教师均尝试根据历史材料编制数学问题:教师A基于阿波罗尼奥斯对圆锥截线的研究,设计了一道截口曲线问题;教师B额外还基于旦德林双球模型设计例题,让学生解决一类与截线定义有关的问题．以教师A和教师B设计的问题为例．

教师A:历史上许多人研究过圆锥的截口曲线．如图2,在圆锥中,母线与旋转轴夹角为30°,现有一截面与圆锥的一条母线垂直,与旋转轴的交点O到圆锥顶点M的距离为1,求截口曲线上任意两点间的最长距离．

图2 截口曲线问题 图3 旦德林双球模型

教师B:旦德林双球模型可以帮助数学家建立起圆锥曲线的截线定义与轨迹定义之间的联系．如图3,在圆锥内放两个大小不同的小球,使得两球分别与圆锥的侧面和截面相切,设球O1,O2的半径分别为3和1,球心距离|O1O2|=8,两球分别与截面相切于点E,F(E,F亦是接口椭圆的焦点),求这个椭圆的离心率．

对于教师A的问题,通过引导学生画出轴截面的图象,并根据先前所学习的圆锥曲线截线定义,容易分析出这一截面与圆锥的交线是椭圆,再运用解直角三角形的知识,即可计算出椭圆的长轴长;对于教师B的问题,通过计算圆锥母线与轴的夹角的余弦值和截面与轴的夹角β的余弦值,即可得出椭圆的离心率．

当然,以史为源设计的例题还有很多,上述例题不仅可以帮助学生深入理解圆锥曲线的起源以及圆、椭圆、双曲线、抛物线四种曲线的内在关联,还可以让学生综合运用平面几何、立体几何、解三角形等知识解决数学问题．

4 结论与启示

综上所述,两节课充分展现数学史在深化概念理解、加强知识联系、渗透思想方法和丰富问题资源上发挥的教育价值．通过同课异构的课例比较与分析,我们得到以下三点启示．

其一,数学史的融入为高三复习课注入新的内涵．

从数学知识层面看,在今天的数学课程中,圆锥曲线是作为解析几何概念登场的．教材的处理偏重从代数的角度呈现圆锥曲线的知识,却不太关注作为几何概念的圆锥曲线的起源,从而忽视了知识之本源．因此,在学生已有的轨迹定义的基础上,复习课呈现古希腊的截线定义,并运用旦德林双球模型建立起两者之间的联系,这将有助于学生厘清圆锥曲线的“纯几何身份”,丰富学生对圆锥曲线的本质理解．

从学科德育层面看,数学史可以揭示圆锥曲线的源流,一方面让学生感受不同文化背景下的数学家对圆锥曲线的研究,展示多元文化,另一方面引导学生跨越时空,与古代数学家对话,从而让学生亲近数学,增强学习数学的自信心,培养动态的数学观,体会数学背后的理性精神．此外,通过课堂留白,知识不再是教师原原本本地讲授给学生,而是通过每一位学生的探究“再创造”出来,提高了学生学习数学的兴趣,这也契合HPM基本教学理念[6]．因此,广大教师应充分借助数学史,更好地在高三复习课中发挥数学史的育人价值．

其二,信息技术的运用为HPM的课堂插上腾飞的翅膀．

信息技术与数学教学有机结合,可使教学形式更加多样化、视觉化,有利于展示数学概念的形成过程和数学思维的发展过程,使数学教学起到事半功倍的效果．以圆锥曲线为例:几何画板及GeoGebra的使用能让学生直观地感受几何图形,有助于增加学生的实际体验、及时展示学生反馈,微视频的应用让千百年来数学的发展生动地展示在学生面前．积极推动信息技术与教育融合创新发展,将为数学教学开拓出更广阔的前景．

其三,学生本位的教学理念为学生的数学素养、数学思维的发展提供了契机．

教学过程应始终坚持以学生为中心,将全面提升学生的数学素养、数学思维作为教学活动的出发点和归宿．一方面,教师应给予学生思考问题的时间和空间,给予学生表达自己想法的机会;另一方面,教师还应科学设置学习小组,开展合作探究活动,让每一位学生都能参与到课堂活动中来,突出学生的主体地位,培养学生主动参与的意识,激发学生的创造潜能,实现数学学习从感性到理性的飞越．