一道2022年重庆预赛试题引发的探究与思考*

闫 伟

(广东省中山市烟洲中学 528401)

1 试题及分析

题目(2022年重庆预赛)设F是双曲线Γ:x2-y2=1的左焦点,经过点F的直线与Γ相交于M,N两点．

(1)若M,N都在双曲线的左支上,求△OMN面积的最小值.

分析试题背景平和,内涵深刻,知识层面主要考查双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系、三角形的面积以及定值定点问题,是解析几何模块的常见题目．重点考查学生运用坐标法研究圆锥曲线中的定值、定点问题,侧重考查学生的数学运算、逻辑推理等素养．试题分两问,思维难度适中,但运算量较大,需要借助根与系数的关系进行变形使用,对学生的能力要求较高,较好地体现了对直线与圆锥曲线的核心内容和基本思想方法的考查[1]．

2 解法及评析

评析试题两问较为常规,第(1)题先联立直线与双曲线方程,结合韦达定理表示相应的线段长度和距离,进而得到面积的表达式,再利用函数的性质求得最值;第(2)题利用坐标表示向量的数量积,结合韦达定理进行变形,再根据系数比确定数量积的定值,从而求得定点坐标,解题思路较常见,只是运算量较大,要求学生具备扎实的运算推理能力．

3 探究推广

将左焦点改为x轴上任意一点,结论1可以进一步推广为:

将点F改为y轴上任意一点,类比结论2可得到:

结论3的证明与结论2类似,过程略．

4 类比探究

将结论2、结论3引申到椭圆中得到:

结论4、结论5的证明与结论2相仿,此处不再一一赘述．下面对抛物线进行探究,可得:

5 结束语

解析几何专题中直线与圆锥曲线的位置关系一直是竞赛和高考的热点和难点,很多试题都是探求一些特殊定值定点问题,这些结论看似特殊,实则都具普遍性,而且常常具有深刻的命题背景,它们通常是圆锥曲线的一个特定性质,由这个性质可以派生出形式不同但本质相同的试题.研究这类试题不仅能够更好地揭示解析几何的本质,还能透过试题挖掘隐含的命题规律,更能将其推广到一般情况,从而拓宽学生的数学思维,发展学生的数学核心素养[2]．