对象与工具：数线的多维分类及其教学价值*

□汪 杨 陆世奇 徐文彬

从广义上来说，数线即表征数的意义、性质和运算的线。它作为数形结合的典型工具，能生动、形象、直观地反映数和形之间的对应关系，是数学教学中常用的辅助手段。和数线相比，数轴在教学中具有更高的关注度。数轴包含于数线，是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线。与这样具有严格性和限制性的数轴相比，数线使用范围更广，具有灵活性、开放性和包容性等特点，能为教学提供更多的可能性。因此，厘清数线各种分类的内涵，并分析其所具有的教学价值，是十分有必要的。

一、物理数线和心理数线及其教学价值

从存在形式的角度看，数线可分为物理数线和心理数线。物理数线具有外显性，而心理数线具有内隐性。物理数线是在客观世界中真实存在的具象实体，能够被直接呈现，具有直观可视的特点，具体包括温度计、时间尺、直尺、自制实体数线等。心理数线存在于人的大脑中，具有抽象性。如数字在大脑中的表达像一条从左至右依次递增的数线，小数表征在左边，大数表征在右边［1］。

物理数线常作为数学课堂上的教学工具呈现，能展示出学生的思维过程，促进学生感悟数形结合的数学思想。其教学价值体现在三个方面。第一，承载具体数值，使常见的量直观化。如：人教版教材二年级上册“长度单位”单元中，直尺可用于度量纸条的长度（如图1）；人教版教材二年级下册“克和千克”单元中，秤上的非水平物理数线能测量事物的具体重量（如图2）；另外，还有温度计能准确地测量具体温度；时间尺是一种表示时间的工具，能直观地展现出普通计时法和24时计时法中时刻的对应和转化关系；等等。受这些生活中的物理数线的启发，学生会逐步完成从实物到抽象数线表征的过渡，发展抽象思维。第二，清晰地展现出对应点和数的关系，使数的认识系统化。可将数线上的标记刻度视为参考点，归类出正数和负数、真分数和假分数等，建立整数、分数、小数等不同数系之间的联系，实现数系间的跨越。物理数线作为学习数的稠密性、连续性和离散性的几何模型，可加深学生对数概念的理解和感悟。第三，呈现运算过程，使数的运算形象化。物理数线的形象化能帮助学生理解运算原理，促进学生对四则运算的深入理解，扩展其解决运算问题的思路和途径，体验计算方法的多样性。

图1 物理数线的应用示意图

图2 物理数线的应用示意图

心理数线作为个人心理想象空间中的一种抽象空间情境，虚拟且不可视。心理数线的教学价值体现在三个方面。第一，心理数线的表征具有丰富性、差异性。因学生对数线的认识和理解的角度、程度不同，他们抽象的心理数线也会各不相同。在教学中，教师可抓住这种差异性，打破学生常规的心理定式，让学生自主创作数线，如数的大小序列［2］数线。第二，心理数线与数学知识、数学能力具有相关性［3］。整数知识是围绕着心理数线组织起来的，如人教版教材一年级上册“11~20 各数的认识”单元例3 中做一做的第3 题（如图3），题中11~19和20~12的整数数序认知便得益于相应心理数线的建立。另外，心理数线的发展与数学能力的发展也存在一定关联，有研究表明，心理数线的发展和测量、分类等数学能力的发展似乎是齐头并进的。第三，心理数线体现具身认知理论的适用性。心理数线具有响应码（SNARC）的空间—数值关联效应（右手对大数、左手对小数会作出更快的反应），这表明心理数线与多感官互相影响。因此，教师在教学中可调动学生的多感官来感知、理解数线，通过与数线相关的活动来扩展和完善学生的心理数线。

图3 心理数线的应用示意图

二、有界数线和无界数线及其教学价值

从有限和无限的角度看，数线可分为有界数线和无界数线。这两种数线能够体现不同情境下数线的工具性本质。有界数线完整地标记出数线的端点，固定的起点和终点使得该数线的长度有限（如图4）。无界数线的端点标记不完整，通常没有端点或者只有一个端点，所以数线的长度可无限延伸（如图5）。有些无界数线上的基本单位长度选择用数来标记［4］。

图4 有界数线示意图

图5 无界数线示意图

有界数线的教学价值体现在三个方面。第一，有界数线是数形结合的典型载体。有界数线的长度是确定的，可对应表示数量的大小和多少。因此，可借助有界数线直观的长短关系来表示其所代表的实际数量的大小关系，以形示数。如人教版教材五年级上册“简易方程”单元“实际问题与方程”中的例10（如图6），教材借用有界数线来分析其隐含的数量关系，使复杂问题简单化、抽象问题具体化，这是典型的数形结合思想。第二，有界数线是比例推理的有力手段。数量间的大小关系和对应的有界数线的长度关系应成比例，这要求学生把握数量间的大小关系，并反映在有界数线的长短关系上，以此促进比例推理的发展。第三，有界数线是数线估计的主要工具。如北师大版教材二年级下册“生活中的大数”单元练习二中的第8 题（如图7），有界数线上的两个端点2000 和3000 给定区间长度范围，让学生通过判断2691 与两端点数的相对关系，估计2691的具体位置，完成标准的数线估计任务。数所代表的实际数值和目标数值之间的差异体现出学生对数值大小的理解。有研究发现，估计的精度会随着年龄的增长而增加，且估计的熟练度与数学能力呈显著正相关［5］。因此，教师应常利用有界数线设计数线估计任务，并随学生年龄的增长逐步提高对估计精度的要求，以此来提升学生的数学能力。

图6 有界数线的应用示意图

图7 有界数线的应用示意图

无界数线与有界数线在策略使用和感知觉上存在差异。无界数线的教学价值体现在两个方面。第一，无界数线上用数值标记的基本单位是使用计数策略的基础，所以无界数线常用于计数。第二，无界数线的长度没有端点的限制，具有开放性和延伸性。如人教版教材二年级下册“万以内数的认识”单元中的例10（如图8），学生在此无界数线的使用中可体会到两端无限扩张的延伸性，对整数数系的无限延伸产生直观感受，培养空间想象力，促进数学抽象思维的发展。Regina Miriam Reinert 在相关研究综述中就曾明确指出，越来越多的证据表明，无界数线是一种纯粹和有效的心理数量级表征的测量方法［6］，这也与无界数线的无限性特征有关。

图8 无界数线的应用示意图

三、结构化数线、半结构化数线和空数线及其教学价值

从标准化程度来看，数线可分为结构化数线、半结构化数线和空数线。结构化数线标准化程度最高，空数线标准化程度最低，半结构化数线介于两者之间，三者之间能互相转化。结构化数线等同于数轴，具有原点、正方向和单位长度这3个要素，即有基准点0，用箭头表示数线的大小、方向和数线的延续，同时包含位于数线上方或下方的刻度线，以表示单位长度［7］，如图9所示。半结构化数线只具有其中1～2 个数轴要素，是结构化数线简化后的产物，如图10 所示。空数线直接以一条直线的形式呈现，是由结构化数线向半结构化数线逐步简化发展而成的，如图11所示。目前，空数线已成为国际公认的一种发展心理策略的成功模式，其概念看似简单，却是一种基于先前研究结果的复杂结构［8］。

图9 结构化数线示意图

图10 半结构化数线示意图

图11 空数线示意图

具体而言，结构化数线是数线中最严格化的形式，它通过数线上的标记来表示数，可视为一条被分割标记成数个相等大小部分的线性比例尺。结构化数线具有数线的迭代、均分特征。迭代是指连续地复制和粘贴基本单位，由基本单位的重复形成整条数线；均分是指把一条数线平均分成多个基本单位，整条数线由若干个基本单位组成。两者构成了理解结构化数线的两种视角。教师在教学中可根据教学目标和教学内容灵活选择不同视角下的数线。如学生在初步认识数线时可以选择“迭代数线”，在学习分数时可以选择“均分数线”，使结构化数线有效服务于数学教学。结构化数线是数学教学中高频使用的工具，便于学生理解各种数学概念和数学运算过程，为数的排序搭建了直观的平台，有助于有理数连续性的可视化［9］，从而呈现给学生一个严密而完备的数系统。如人教版教材运用结构化数线引导学生进行数的认识（如图12）和数的四则运算（如图13）。

图12 结构化数线的应用示意图

图13 结构化数线的应用示意图

半结构化数线比结构化数线更简洁高效，给学生留有足够的可操作空间，具有一定的灵活性和自主性。在半结构化数线中，学生可以根据使用目的选取对自己解决问题有用的相关要素。这一过程能反映出学生的思维方式，有利于教师了解学生的数学思维，及时提供指导帮助。如间隔排列问题中典型的植树问题，只需在数线上标记刻度，以示意间距、寻找段数，从而找到解决问题的关键之处。

作为自由度最高的空数线，具有多方面教学价值。第一，激发学生的数学创造力。空数线为学生提供了个性化的使用方式，赋予学生表征和记录的高度自由，使他们有足够的发挥空间，可根据自己的想法进行调整，与其他数学元素灵活结合。第二，增强数感，提升数学能力。教师要创设情境，让学生尝试在空数线上放置正负整数、分数和小数，增强学生对数和数关系的理解，提高学生的排序能力和比例推理能力。另外，有研究表明，空数线也是增强学生心算能力的有力工具［10］。第三，记录个人思考痕迹。学生解决问题的思考过程可完整地展示在空数线上。教学中，教师要鼓励学生使用空数线来记录自己解决问题的过程。当学生思考不顺畅或成功解决问题后进行回顾总结时，教师可借助其记录痕迹提供指导和干预。但国内小学数学教学对空数线的重视度有待提升，目前仅有北师大版教材有使用空数线的倾向（如图14）。

图14 空数线的使用倾向示意图

四、双数线和单数线及其教学价值

从联结性和分裂性的角度来看，数线可分为双数线和单数线。这种分类凸显出双数线的特殊价值。双数线是两条数线的联结（如图15），每一条数线代表一种数量，通过两种数量恒定的比率关系而将这两个数量一一对应。在使用中，可以根据实际情况把两种数量简化表示在一条数线的同一点上，实现两条数线的对应统一（如图16）。相对于双数线而言，单数线仅能表示出一种数量，让两种数量分别呈现，无法展现出两种数量之间的联结和变化，也不能体现两种数量之间的比率关系。

图15 双数线示意图

图16 双数线简化示意图

双数线包含上下两条数线，这两条数线通常以不同的基本单位进行构造。除直接呈现出的这两条数线所表示的数量外，双数线还暗含第三个量——两个数量之间的恒定比率。如人教版教材六年级下册“比例”单元“正比例”中的做一做（如图17），路程和时间的数据各自形成水平非直观数线，两者间隐含的恒定比率即速度，可进一步简化，形成双数线，直观呈现出两种数量的共同变化过程及其固定的比率。双数线是学习比及比例知识的教学工具，能帮助学生建立比和比例的关系，理解比、比例与分数、除法之间的联系，为学生解决按比例分配的相关问题提供思考支架，有利于培养学生的函数思想。

图17 双数线的应用示意图

单数线将两种数量分开呈现，一条数线对应一种量，涵盖了数线的普遍意义。

综上所述，不同分类维度下的数线并非完全独立的，而是存在交叉关系。根据以上不同分类，从直接性和间接性角度进行审视，数线发挥着作为研究对象和作为教学工具的双重价值。

作为研究对象是指研究者直接研究数线本身固有的性质、特征和功能等，以丰富数线的内涵，开发数线的功能，这体现出数线的直接价值。例如，借助计算机研究心理数线；研究数轴的3 个要素，掌握数线内在的逻辑体系；研究数线的均分特征、迭代特征和测量功能等。当研究者对数线内在属性的研究达到一定的深度和广度后，再将数线作为工具使用会更得心应手。

作为教学工具是指教师将其视为一种达到教学目的的工具，体现了数线的工具价值。例如：在小数和分数的学习中，数线可展现数概念的形成过程，帮助学生体会数的稠密性、连续性和离散性；也可将数的运算过程形象化，帮助学生比较数的大小。同时，教师要认识到，学生对各数线属性有准确的认识是正确、高效运用数线解决问题的前提和基础。

如表1所示，第一种分类是为了凸显心理数线的独特性。物理数线能让学生从外显的表面直观中总结、概括出数线的内在一致性，把握数线最基本、最普遍的内涵。心理数线则是以抽象的形式存在于个人的想象空间里，具有个体差异性。教学中，要注意兼顾外显的一致性和内在的差异性。第二种分类聚焦于无界数线。无界数线的无限性和整数的无限性相对应，具有开放性和延伸性。有界数线的长度固定有限，能表示出数与数的关系。这里的开放性和封闭性不存在孰优孰劣，只是对两种数线特征的表述。第三种分类有意突出空数线。结构化数线是数线迭代特征和均分特征的重要体现，形式要求严格。空数线是学生增强数感、记录思考路径和培养创造力的有力工具，具有高度的自主性。半结构化数线为方便学生的使用，保留了数轴的部分要素。三者赋予学生不同程度的表征和记录自由。第四种分类倾向于表现双数线的特殊价值。双数线表现出两种数量的联结和协变关系。单数线只表示出一种数量，在数学教学中具有普遍意义。

表1 作为研究对象的数线和作为教学工具的数线

由此可见，数线形式的多元化趋势体现了数线的横向发展，对数线内涵、功能等的深入挖掘体现了数线的纵向发展。