中美数学教材如何反映数学联结?——一项聚焦于圆锥曲线内容的比较研究

李淑惠 范良火

一、 研究背景

数学联结(mathematical connection,也译作“数学关联”“数学联系”等)是最近二三十年来国内外数学教育研究高度关注的热门话题之一,也是中美数学教育课程和教学改革中一个重要的关注点。美国全国数学教师协会(National Council of Teachers of Mathematics,简称NCTM)早在1989年出版的文件《学校数学课程和评价标准》中就强调数学联结在数学课程和教学中的意义,并将其分为两类:一是(在现实世界或其他学科中的)数学问题及其数学表征间的建模联结;二是数学自身概念思想间的数学联结。[1]2000年NCTM公布的另一份指导性文件《学校数学的原则和标准》进一步把“关联”列为关于教学过程的五大标准之一,[2]这一理念在美国的数学教育研究和数学课程改革,包括目前正在广泛施行的“共同核心国家标准”(Common Core State Standards)改革中,仍受到广泛认可和重视,并影响到世界多个国家。[3]我国数学教育研究者对在数学教学中重视数学联结的理念亦有不少关注,[4][5]这也反映在我国的课程改革中。事实上,我国最新的《普通高中数学课程标准》明确指出,课程结构的设计应“依据数学学科特点,关注数学逻辑体系、内容主线、知识之间的关联”,“凸显数学的内在逻辑和思想方法”,“强调数学与生活以及其他学科的联系,提升学生应用数学解决实际问题的能力”。[6]

根据现有的研究,从数学联结的外部环境来看,问题情境可能影响数学联结的学习机会;[7]从数学联结的内部内容来看,数学联结涉及概念和表征,有单向联结和双向联结。丰富的数学联结,尤其是双向联结,对数学的概念性理解、数学知识的迁移和数学问题的解决有一定帮助。[8][9][10]然而,研究者们发现,许多学生甚至教师,常常只能建立单向联结,且数学教材中过分强调单向联结可能会阻碍学习者建立双向联结。[11][12]

数学问题是数学教材中的一个重要部分,其中例习题的设计和呈现是教材开发和编写的重要环节。一些研究者曾对中美数学教材例习题包含的双向联结进行比较研究,但主要集中在小学或初中教材,如分配律的双向应用、[13]加法—减法、乘法—除法[14]等,少有研究探索高中教材例习题体系中的双向联结,以及问题情境水平对学生学习和理解数学联结的影响。

函数,作为数学核心概念和大观念(big ideas)之一,一直是我国学者关注的高中数学课程研究和中美数学教育比较研究的重点领域,具体的研究视角包括有关函数的教材编写[15]、课程标准[16]、情境水平[17]等。函数是一个有“核”的“概念群”,中美教材都注重建立以“函数”为“核”的辐射状的具有紧密性、多向性的教材结构体系。[18]一方面,虽然中美教材都关注函数概念的联系性,但目前还未有对其中数学联结紧密性和方向性进行比较分析和定量分析的研究;另一方面,已有研究的研究对象大多数为函数大概念,而针对圆锥曲线及相关的二次关系式(Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0,其中A、B、C至少有一个不为0)的深入研究很少。此外,中美数学教材的比较研究也主要聚焦于小学或中学的部分内容,关于高中数学教材的中美比较研究较少。[19]

基于此,本研究以中美两国知名版本的高中数学教材中圆锥曲线的例习题为研究对象,比较外部问题情境水平和内部不同类型数学联结的呈现频率,分析两国教材呈现双向联结的差别,以期对中美高中阶段关于圆锥曲线的例习题的合理配备、数学教材的设计以及数学联结的研究与教学提供有关建议。

二、 数学联结视角下的分析框架

(一) 外部问题情境分析

本研究首先区分了纯数学背景和有实际背景两个层次的问题情境特征,来分析其对学生数学联结学习机会的潜在影响。纯数学背景问题指运用数字、符号、图像等纯数学表征为情境的问题,侧重抽象数学;有实际背景问题指以现实情景(如个人生活、公共常识、科学背景等)为背景的问题,侧重数学的实际应用,常涉及多重表征间的联结,[20]对数学联结的多样性有一定的影响。

情境与问题是体现数学学科核心素养的重要方面之一。21世纪我国数学课程改革的要点之一就是强调问题情境的真实性,[21]近年来,大量学者开始关注数学教材中的现实问题情境,并指出我国教材中高水平情境的比例偏低,[22]“个人生活”与“公共意识”方面的情境较少。[23]故本研究基于有实际背景问题,从背景来源和情境真实性(真实数据、假设数据)两方面进行定性分析,探究其对数学联结学习机会的影响。

基于数学联结视角,已有研究者常采用包含数学联结的数学问题的数目和比例来刻画数学联结的呈现频率。[24][25]然而,一个数学问题可能包含多个数学联结,这种方法难以反映数学联结的数目、类型、方向性及数学联结网络的结构。因此,本文对数学联结进行了更进一步的深度内容分析。

(二) 内部联结内容分析

图1 数学联结的分类

解释两类数学联结的例子很丰富,下面是三个例子:

问题一:已知一个圆心在原点的单位圆的图像,求其方程。

问题二:在平面直角坐标系中,画出x2+y2=1的图像。

问题三:已知一个圆的表达式x2+y2+2by=0,求其圆心。

问题一涉及的是一个从图像转译到表达式x2+y2=1的同概念联结;问题二涉及的是一个从表达式x2+y2=1转译到单位圆图像的同概念联结;问题三涉及的是一个从圆到圆心的异概念联结。

基于数学联结的方向性,数学联结可分为单向联结和双向联结。一对正方向和反方向的单向联结构成了一组双向联结。[27][28][29]如图1所示,问题一中将圆的图像转化成表达式,问题二中相对应地将圆的表达式转化成图像,这两个联结就构成一组双向同概念联结;而问题三中从圆到圆心的异概念联结为一个单向异概念联结。研究发现,教材中过度强调正向联结、缺少反向联结的学习机会将导致学习者对一些反向同概念联结[30]和反向异概念联结[31]的学习带来困难。本研究通过异概念联结、同概念联结以及单个数学问题包含的数学联结个数,来量化所选取的中美高中数学教材在例习题中这两类数学联结的呈现频率;此外,通过计算双向异概念联结、双向同概念联结及双向联结的比重来量化教材对双向联结的重视程度,从而考察教材为学生提供关于这两类双向联结的学习机会的情况。

为了更加清楚地刻画教材中双向联结网络的结构,本文借助了近年来教育领域应用比较广泛的社会网络分析法(Social Network Analysis,简称SNA)。SNA借助数学中的图和矩阵研究社会实体间的网络关系,[32]可以类推到数学联结的研究,[33][34]通过有向图和赋权邻接矩阵从图像化和数量化两方面分析数学联结的核心程度、紧密程度等性质。

对有向图的定性分析分为三个层次:(1)整体连通分量,体现了哪些数学概念、表征聚集成一个群体紧密联结或相对孤立;(2)有向边的颜色和粗细,刻画了例习题更强调不同概念间的双向联结,还是同一概念表征间双向联结的学习机会,以及被强调的双向联结的具体情况;(3)指向箭头密度,反映了教材体现的双向联结网络中被强调的数学概念及表征的情况。

与有向图对应的赋权邻接矩阵中的元素aij代表了从概念Ai到Aj的数学联结的权重。对赋权邻接矩阵的定量分析也分为三个层次:(1)顶点个数、有向边的权重和多样性,用于量化双向联结的丰富程度;(2)对应元素的对称性和对角线元素,用于量化每一组双向联结中正向联结、反向联结的强弱以及整体双向联结网络中正反方向的均衡程度;(3)顶点的出度、入度、出连通度、入连通度,用于从数量和多样性两个角度刻画双向联结网络中有影响力的(入)和突出的(出)数学概念或表征。[35]具体指标与含义如表1所示(2)对社会网络分析法有兴趣的读者可以阅读参考文献中的相关书籍。。

表1 社会网络分析法框架

三、 研究设计

(一) 教材数学问题的选取

本研究选取了中美知名的高中数学教材(人教版和美国UCSMP)及配套教师教学用书中与圆锥曲线相关的章节(如表2所示)。这两套教材在过去十多年中在本国被广泛使用,在很大程度上体现了中美数学课程改革的主流思想和实践,是近几年中美高中数学教材研究的主要研究对象。[36][37][38]考虑到教育的连贯性和数据的可获得性,这两套教材虽非最新版教材,但选取的人教版教材使用到了2021年,美国UCSMP的初高中教材是目前学校使用的教材之一,反映了近十多年中美两国数学联结的学习机会,具有较强的延续性,故数据仍具有较强的借鉴意义和现实意义。

本研究的具体内容为两套教材中圆锥曲线章节相关的例习题以及教师教学用书中的补充例题。习题范围为人教版教材中节末、节中的“例题”“练习”“习题”和配套教师教学用书中的“补充例题”,以及美国UCSMP学生版教材中节末、节中的“例题”(Examples)、“习题”(Questions)和教师版(Teachers’ Edition)中的“附加例题”(Additional Examples)。

表2 中美教材圆锥曲线相关章节选取

(二) 数学问题数据收集和处理

第一,划分收集的数据,确定小的研究单元。在问题编号上,对两套教材的大题均采用“1、2、3”的编号样式;人教版教材对大题中的小题采用“(1)、(2)、(3)”的编号样式,而美国UCSMP教材采用“a、b、c”的编号样式。研究以小题编号的数学问题为基础研究单元,采用一个问题一记数,如人教版教材大题1有(1)、(2)、(3)三个小题,则分为3个研究单元;如美国UCSMP教材大题2有a、b两个小题,则分为2个研究单元。所有研究单元按照在教材中出现的顺序逐一标注序号。

第二,针对每个研究单元,依次对其情境水平(纯数学背景、有实际背景)与数学联结内容(起点,终点,类型:同概念联结、异概念联结,方向:单向、双向)进行编码。部分数学问题的编码结果如表3所示。针对有实际背景问题,对其背景来源和情境真实性(真实数据、假设数据)进行编码。如在人教版“某圆拱桥的水面跨度20m,拱高4m。现有一船,宽10m,水面以上高3m,这条船能否从桥下通过?”(必修p.132)中,编码为拱桥、假设数据;表3中UCSMP样题1的编码为行星运行轨道、真实数据。数学联结内容的编码按照每个解答步骤中涉及的同概念联结和异概念联结依次进行,故单个问题可能包含多个数学联结。

第三,为检测编码的信度,请四位(两位为一组)数学教育专业的博士和博士研究生对抽取的数学问题的编码结果做出评价(同意或不同意)。结果显示,人教版教材的数学问题情境和数学联结内容(包含起点、终点、类型、方向)的编码一致性(评分者间信度)为100%和96.55%,美国UCSMP教材的数学问题情境和数学联结内容的编码一致性分别为100%和97.92%,编码结果的一致性均大于0.95,说明结果可信度高。

表3 中美教材部分数学问题编码结果

四、 研究结果及分析

(一) 外部问题情境的分布

如表4所示,对于圆锥曲线内容,美国UCSMP教材提供的数学问题数量(329)远远多于人教版教材(208)。人教版教材中有实际背景问题很少,绝大多数为纯数学背景(93.3%),而美国UCSMP教材纯数学背景问题比重(79.9%)低于人教版教材(79.9%)。整体上,两版教材有实际背景问题比重都比较低。

表4 中美教材数学联结分布

对有实际背景问题作进一步分析发现,美国UCSMP版本教材的问题情境来源丰富,包含了不同历史时期的拱门、拱桥、隧道、建筑外形、水池喷泉、体育竞技运动规则(射击、相扑、足球)、行星运行轨道、望远镜、地震定位、声纳定位、耳语廊、导航、卫星天线等。相较之下,人教版问题情境的来源不多,仅包括拱桥、建筑外形、齿轮啮合、爆炸与暗礁定位、行星运行轨道、卫星天线和反射镜面。

从实际背景的真实性方面来看,人教版教材仅有赵州桥、行星运行轨道问题中的“数”为真实数据,大多数为假设数据;而美国UCSMP教材中大多数实际背景问题都使用了真实数据,如行星运动轨道数据、相扑运动中赛场数据等。

以上比较说明,人教版教材更注重抽象的数学概念本身,问题情境来源相对有限,且以假设数据为主,可能降低了数学联结的多样性;而美国UCSMP教材更注重数学在真实丰富的实际情境中的应用,为学生提供了更多同概念联结的学习机会。

(二) 内部数学联结内容的分布

如表4所示,与教材提供问题的数目不同,人教版教材提供的数学问题中体现数学联结的数目远超美国UCSMP教材(627∶502),但两套教材绝大多数题目反映的数学联结是异概念联结。其中,人教版教材提供的异概念联结数量远大于美国UCSMP教材(606∶423),并且平均单个问题中异概念联结的数量是美国UCSMP教材的两倍多(2.9∶1.3)。而美国UCSMP教材提供了更多的同概念联结(79∶21),且平均单个问题中同概念联结的数量是人教版教材的两倍多(0.2∶0.1),这与两套教材在有实际背景问题比重上的区别有很高的一致性。这从一定程度上说明,人教版教材比美国UCSMP教材更加强调让学生建立异概念联结,而同概念联结较少。问题情境来源可能是其影响因素之一,有实际情境问题在一定程度上会促进同概念联结的学习机会。

就双向联结而言,人教版教材的例习题包含了278个双向联结,均为异概念联结;美国UCSMP教材涵盖了225个双向联结,异概念联结的比重为89.3%。虽然人教版涵盖更多的数学联结,但两套教材双向联结的比重接近(44.3%∶44.8%)。这表明,两套教材有一半以上的数学联结是单向的。虽然美国UCSMP教材提供数学联结的总数低于人教版教材,但是其双向联结的比重与之持平,且对异概念联结和同概念联结均有涉及。

有向图和赋权邻接矩阵提供了一种定性与定量相结合的探究数学联结的研究方法。本研究先定性比较了两版教材中圆锥曲线例习题中双向联结的有向图,然后定量对比了其对应的赋权邻接矩阵。

1. 有向图分析

图2 例习题体现的双向联结的有向图(上:人教版;下:美国UCSMP) 注:顶点代表数学概念或数学概念的表征;连线代表数学联结;连线的粗细代表联结的权重;连线的颜色:黑色代表异概念联结,红色代表同概念联结;箭头代表联结的方向。

关于有向图分析的研究结果如图2所示。可以看出,人教版和美国UCSMP教材中圆锥曲线例习题的双向联结网络有很大区别。基于有向边的颜色,人教版教材涵盖的双向联结全部为异概念联结,根据连通性有4个连通分量,包括圆相关、抛物线相关、椭圆双曲线相关和圆锥曲线相关概念。美国UCSMP教材涵盖的双向异概念联结和双向同概念联结分为10个连通分量。其中4个为异概念联结的连通分量,具体包括:(1)圆、椭圆、双曲线相关概念;(2)抛物线相关概念;(3)椭圆双曲线系统相关概念;(4)半圆相关概念。其余6个为同概念联结的连通分量,具体包括:椭圆、圆、圆内、圆外、抛物线、圆锥曲线。这表明,美国UCSMP教材强调圆、椭圆、双曲线之间相关新旧概念的数学联结。人教版教材中,由于圆编排在必修2,椭圆、双曲线编排在选修2-1,未涉及圆与其他圆锥曲线相关概念的双向联结。此外,两个圆锥曲线组成的系统,如圆—椭圆系统、椭圆—双曲线系统等可能存在的双向联结,人教版教材也没有涵盖。圆、椭圆、双曲线三者相关概念之间丰富的数学联结,在人教版教材中也有待加强。美国UCSMP教材包括圆相关、椭圆相关、抛物线相关、圆锥曲线相关的同一概念表征间的双向联结,数学联结更加丰富,而人教版教材在双向同概念联结上较少。

基于有向边的粗细,可以看出两套教材均强调“圆—圆心”“圆—半径”“抛物线—焦点”这三组双向异概念联结,且人教版教材更显著。其他组双向异概念联结,如“抛物线—准线”“双曲线—焦点”“椭圆—焦点”,在两套教材中也均被强调。以上分析说明,两套教材很大一部分双向异概念联结发生在圆锥曲线和圆锥曲线的性质之间,即“圆锥曲线—性质”。美国UCSMP教材的双向同概念联结主要集中在椭圆上,尤其是在椭圆的标准符号表征和图像表征之间的双向转译上。此外,仅美国UCSMP教材拥有三组同一概念表征的自环。根据指向箭头的密度,圆是圆锥曲线例习题中双向联结涉及最多的一个概念,尤其是在人教版教材中。对比观察图2上下两张图中的数学联结网络整体,可以发现,人教版教材涉及的双向联结更集中,部分双向联结权重很高;美国UCSMP教材的双向联结更丰富,权重分布更广。

2. 赋权邻接矩阵分析

关于赋权邻接矩阵分析的研究结果如图3所示。从图3中可以看出,人教版教材和美国UCSMP教材圆锥曲线例习题中的双向联结在涉及的概念、表征、联结的数目和多样性上有很大区别。人教版教材涉及24个概念,而美国UCSMP教材涉及26个概念与12个表征。两套教材虽在涉及的数学概念数量上相近,但表征数量差异明显,美国UCSMP教材更丰富,而人教版教材不涉及双向同概念联结。此外,人教版教材的双向联结总数高于美国UCSMP教材(278∶225),但其中不同的双向联结低于美国UCSMP教材(53∶67),且平均单个双向联结的权重更大(5.2∶3.4)。这与有向图分析的结果一致,即人教版教材包含权重很大的双向联结,而美国UCSMP教材的双向联结更多样。

基于赋权邻接矩阵对角线两侧对应元素的对称性,人教版教材在一些双向联结正反两个方向上权重接近,例如圆—圆心、圆—半径、圆—圆上一点、双曲线—焦点以及抛物线—抛物线上一点。而美国UCSMP教材在部分双向联结正反方向权重差异明显,例如圆心—圆(5∶13)、半径—圆(6∶13)、双曲线—顶点(6∶1)、椭圆—x轴截距(9∶1)、椭圆—y轴截距(8∶1)、抛物线—焦点(10∶6)、椭圆标准符号表征—图像表征(6∶3)等。基于赋权邻接矩阵对角线上的元素,美国UCSMP教材在椭圆、抛物线和圆锥曲线三个概念上各包括一个同一概念表征的转换,而人教版教材无此类双向联结。对比两个矩阵对应元素的对称性,人教版教材的赋权邻接矩阵比美国UCSMP教材的对应元素数值更对称,正方向和反方向权重更均衡。

图3 例习题体现的双向联结的赋权邻接矩阵(上:人教版;下:美国UCSMP)

五、 研究结论和启示

基于以上结果和分析,关于中美高中数学教材圆锥曲线问题中数学联结的学习机会,我们可得到以下结论:

首先,在问题情境水平上,人教版教材绝大多数问题为纯数学背景,有实际背景问题比重较低,背景来源相对有限且以假设数据为主;美国UCSMP教材的数学问题有更多真实多样的实际背景。此结果与先前中美高中教材问题情境水平的研究结果[39][40]相一致,中国的教材一般更注重抽象的数学概念,美国的教材通常更强调数学在真实世界中的应用,而情境水平的差异可能影响数学联结的学习机会。近年来,大量学者开始关注数学教材的现实问题情境水平在问题解决中的作用、在发展学生的数学核心素养中的作用等。[41]未来,研究者可进一步探究数学问题情境水平对学生建立数学联结的作用和影响。

其次,中美两套教材例习题中体现的大多数数学联结是异概念联结和单向联结,双向联结的比重基本持平。这表明,这两套高中数学教材提供的双向联结和同概念联结的学习机会整体偏少,此结果与以往关于中小学教材提供的数学联结学习机会的研究结果[42][43]相一致。人教版教材涵盖更多异概念联结,平均单个问题所含异概念联结远多于美国UCSMP教材,但平均单个问题涵盖的同概念联结不到美国UCSMP教材的一半。由此,我们认为,外部的问题情境水平与内部的同概念联结的数量之间可能存在相关性。有实际背景问题通常比纯数学背景问题涉及更多不同的表征,可提供更多同概念联结的学习机会,这种相关性值得继续深入探索。

最后,针对已有的双向联结,人教版教材存在个别权重很大的双向异概念联结,但整体上正方向和反方向数学联结的权重相对均衡;美国UCSMP教材的双向联结更多样,且对异概念联结、同概念联结均有涉及,但正方向和反方向数学联结的权重相对不均衡。人教版教材由于将圆与椭圆、双曲线分在两个章节(两本教材)中,故与美国UCSMP教材相比,其两个圆锥曲线之间的双向异概念联结较少。此外,“圆锥曲线”涉及的概念有丰富的表征,但双向同概念联结的学习机会在两个版本教材,尤其是人教版教材中较少。美国UCSMP教材在一些正反方向的数学联结上强弱对比明显,我们认为可在圆心/半径/圆上一点—圆、顶点—双曲线、x轴截距/y轴截距—椭圆、椭圆图像表征—标准符号表征上予以加强。

根据人教版教材和美国UCSMP教材在例习题情境水平、异概念联结、同概念联结和双向联结上存在的差异,本文对中美高中阶段数学教材例习题的合理配备和相关研究、数学联结研究和学生概念性理解的评价有如下启示。

第一,本文所得到的研究结果为数学教材中双向联结学习机会的设计提供了参考和指导。过去研究者对教材例习题的分析主要集中在数量、难度、变式[44]等视角,且对例习题中双向联结的分析大多采取频率分析法,[45][46]这难以展现其中双向联结涵盖的概念、表征、强弱方向和整体网络结构。基于本研究的结果,我们认为:人教版教材可从离心率和比例变化两个角度适量增加圆的相关概念与椭圆、双曲线相关概念间的双向异概念联结的数量。从提高图像、表格等表征的应用的角度,人教版教材可适量加入更多有实际背景的例习题以加强双向同概念联结,使双向联结更丰富;美国UCSMP教材应加强双向联结中权重较低的方向以及符号表征外其他表征的呈现频率,为学习者提供更加均衡的双向联结的学习机会。

此外,本研究仅选取了中美各一套有代表性的高中数学教材中圆锥曲线内容的部分例习题作为研究对象,存在一定的局限性。但是,本文提出的分析框架可推广到数学教材中其他章节或其他学科教材涉及的双向联结中强方向和弱方向的分析,这种强弱关系为数学教材中例习题的合理配备、数学教材研究中研究方法的丰富以及数学课程改革提供了一个新视角。未来的研究者可以以本研究为基础,开展对数学联结和双向联结强弱关系的纵向追踪研究,探索数学联结的学习机会在过去、现在和未来的数学教材中是如何变化的。

第二,本研究提出的关于数学联结的分析框架为有关研究领域提供了新的研究视角(双向联结强弱方向分析)和研究方法(社会网络分析方法)。具体体现在以下几个方面:(1) 结合外部情境水平和内部数学本质特征和方向性,提高了数学联结分析的整体性和完整性;(2) 拓宽了数学联结涉及内容的范围和规模;(3) 优化了双向联结网络结构的可视化呈现,量化了双向联结正反方向上的强弱关系。

过去数学联结的研究多专注于异概念联结的分析或同概念联结的分析,[47]少有研究同时分析异概念联结和同概念联结,综合考虑数学联结涉及的外部情境、概念、表征,以及其方向性和多样性。仅仅分析概念或表征可能会错失将数学视为一个整体而非碎片化的学习机会。以往有关数学联结的研究常常集中在一个(或几个)数学概念、表征或特定方向的数学联结上,规模很小,如加法—减法、乘法—除法[48]、图像—方程[49],少有研究探索上百个数学联结的整体结构,而本研究涵盖了1000多个数学联结,500多个双向联结,极大程度上扩大了数学联结分析的规模。过去的研究中,数学联结网络的有向图常常随着数学联结数量的增长而变得混乱无序,[50]本研究用有向边的粗细、颜色和子图优化了数学联结网络的可视化呈现,使其结构更加清晰,同时,多层次地量化了双向联结的正反强弱关系,在方法论上对未来研究具有借鉴意义。

第三,本研究中数学联结的分析框架可以推广到对学生概念性理解的评价,从而进一步提高数学教学质量。金海月[51]使用概念图通过四个指标(单个概念总连线数、单个概念可接受命题比、出度、入度)对学生的概念性理解进行评价,但其量化指标主要针对概念。本文提出的框架未来可用于对学生的数学联结网络整体和局部进行定性和定量分析,能够更加有效地体现学生对某个概念、某个表征及某组双向联结正反两个方向的学习困难情况或概念性理解的程度,刻画学生建立的数学联结网络的整体结构,这些详尽的学情分析资料可以帮助教师制定协助学生克服学习困难和建立概念性理解的教学计划。结合教材分析结果,教师可在备授课过程中有针对性地根据学情选取例习题,为学生提供更有针对性的双向联结的学习机会。

需要指出的是,本研究的结论是基于人教版教材和美国UCSMP教材在圆锥曲线内容中的例习题进行比较而得到的,其他数学内容(如概率统计)和不同版本(如美国CM教材、上教版)的数学教材所反映的数学联结可能存在不同,要得到更具一般性的结论需要有更多的研究。在这个意义上,本研究仅是一个起点,未来有必要在这方面作进一步的研究。最后,要提醒读者的是,教材反映的数学联结并不等同于课堂上实际的数学联结的学习机会,但教材分析对于理解实际课堂教学具有重要意义,[52]我们希望本研究也可以帮助教师更明智地使用相关教材,为学生提供更丰富的数学联结的学习机会,从而提高数学课堂教学的质量。