小学数学概念教学：价值、问题与策略?

刘正松

摘  要：数学概念是数学知识体系的基石，在学生核心素养形成和发展的过程中起着不可或缺的作用。部分教师在概念教学时存在表述不准、阶段不清、核心不对、过程不实等问题，为彰显数学概念的育人价值，教学时应厘清概念内涵，精致概念建构，激活概念应用。

关键词：小学数学；概念教学；核心素养；教学策略

随着《义务教育数学课程标准（2022年版）》的颁布，数学课程改革又一次站在新的起点。“单元整体教学设计”“跨学科主题学习”等成为新的研究热点，不过，在众多热点问题的背后，“概念教学”一直是教学研究的核心。

一、概念教学的价值审视

概念是小学数学教材的主要组成部分，虽然关于概念教学的研究已十分深入，但在核心素养导向的课程目标指引下，概念教学有着更为深远的意义。

（一）数学眼光在概念建构中练就

数学源于对现实世界的抽象，通过对数量和数量关系、图形和图形关系的抽象，建构一个个数学概念，从而得到数学的研究对象及其关系。可见，数学学习和研究的对象并非现实世界中真实的存在，而是基于对现实世界的观察，从中抽取与数量关系和空间形式有关的要素，并在大脑中展开思维活动，数学眼光自然就在这样的思维活动中逐步练就。

（二）数学思维在概念应用中磨砺

概念是判断和推理的基础，判断和推理是概念应用的基本形式。其中，判断是较低层次的概念应用，表现为能将特例纳入概念外延；推理是较高层次的概念应用，表现为能用概念解决真实问题。无论是哪个层次的应用，都离不开数学思维，从某种程度上说，概念应用的过程就是学生用数学思维思考现实世界的过程。

（三）数学语言在概念描述中精准

数学概念是现实世界中有关数量关系和空间形式的本质属性在人脑中的反映。【1】这种反映是通过简约、精确的数学语言进行描述的。可以说，没有数学语言就无法形成数学概念，也就无法揭示数学的本质，更谈不上用数学的知识和方法去分析问题、解决问题了。因此，概念描述的过程就是运用数学语言沟通现实世界和数学世界的过程。

不难看出，数学概念作为落实学生核心素养的重要载体，在学生数学眼光、数学思维和数学语言的形成和发展过程中起着不可或缺的作用。以“百分数”这一概念为例，它是对现实世界中两个数量倍数关系作出的数学表达，表达这种关系要对现实世界中确定数据和随机数据进行深入观察，自然需要数学眼光，最终通过文字、图像、符号等数学语言表征出来。此外，要厘清“百分数”与“分数”“比”等概念之间的联系和区别时，又离不开数学思维。所以，学生学习“百分数”这一概念的过程就是一个培育“三会”的过程。

二、概念教学的问题剖析

回顾当下的概念教学，教学中一些司空见惯的现象值得我们倍加关注。

（一）表述不准——教错了

课堂再现：《认识面积》

教师结合教室里的实物，按照“物体都有面——每个面都有大小——面的大小就是它的面积”这一线索引导学生认识面积，随后通过平面图形面积的大小比较，完善对面积含义的认识。为了区分“周长”和“面积”这两个概念，教师经常会设计这样一道问题：指出下面图形的面积，并描出它的周长。

问题分析：

在学生认识“面积”时，适时与已认识的“周长”这一概念进行对比，其出发点毋庸置疑。但我们知道：封闭图形一周的长度是它的周长；封闭图形的大小是它的面积。因此，“周长”和“面积”都是从不同维度度量图形的结果，图形的“面”可以指，图形的“周”可以描，但在图形上指“面积”、描“周长”却说不通。可见，有些教师平时不够严谨，对概念的表述不准，在不经意间就教错了，而这样的错误表述自然会影响学生对概念的理解和表达。

（二）阶段不清——教早了

课堂再现：《角的初步认识》

教师引导学生观察身边熟悉的物品，找出这些物品面上的角，在此基础上抽象出大小不同的角，初步感知角的特征，认识角的各部分名称。接着组织学生用两根硬纸条做一个活动角，并通過操作，形成大小不同的角，进而感悟角的大小跟它两条边叉开的大小有关，跟边的长短无关。

问题分析：

上述“角的初步认识”的教学流程相信大家都非常熟悉，在这样的课堂中，我们总会发现学生对“角的大小跟边的长短无关”无法理解，也曾看到不少教师为突破这一“难点”而费尽周折，但效果不容乐观。问题就在于教师没有理清概念教学的不同阶段，教早了。学生初步认识角时，他们还没有认识射线，对于角的两条边可以无限延长这一点没有任何感知，自然无法理解角的大小跟边的长短无关，等学生认识射线后，再次深入认识角时感受这一点时机才成熟。

（三）核心不对——教偏了

课堂再现：《倍的认识》

教师创设情境，从花坛中数出蓝花2朵，黄花6朵，红花8朵，引导学生比较三种花的朵数，学生基于已有经验，从“相差多少”的角度对三种花进行比较。随后，教师将2朵蓝花圈在一起，再把黄花也2朵2朵地圈在一起，同时揭示“蓝花有2朵，黄花有3个2朵，黄花的朵数是蓝花的3倍。”

问题分析：

学习这节课时，我们会发现学生在交流时并不能如老师所期盼的那样“完整”地说理。究其原因，是老师没有把准“倍”这一概念的核心——两个量之间“份数”的关系，而纠结于“蓝花有2朵，黄花有3个2朵”这样绕口令式的说法，给学生的学习凭添了几分障碍。其实，圈完后，结合图示简洁明了地揭示“蓝花朵数是1份，黄花朵数是3份，黄花是蓝花的3倍”，这样会更便于学生交流和表达，而关注“蓝花有2朵，黄花有3个2朵”显然教偏了。

（四）过程不实——教虚了

课堂再现：《正比例的意义》

教师以表格的形式呈现一辆汽车行驶的时间和路程的几组对应数据，引导学生观察，发现汽车行驶的路程和时间的比的比值都是不变的，也就是汽车的速度不变。在此基础上，抽象出数量关系式： ＝速度（一定），并结合写出的关系式，揭示正比例的概念。

问题分析：

这样教学，学生看似经历了“正比例”概念的形成过程，但在学生的作业中，我们发现他们运用所学进行判断时，往往只关注两种量的商是否一定，若商一定，则判断成正比例，否则便不成正比例。于是当学生遇到“圆的直径一定，圆的周长和圆周率成正比例吗？”这一问题时，绝大部分学生都根据“＝直径（一定）”判断成正比例，这就充分暴露了教学的不到位——教虚了，没有突出判断两种量是否成正比例的一个更为重要的前提，那就是两种量必须是两种相关联的变量。

三、概念教学的策略探寻

为充分彰显数学概念的育人价值，教学时要强化对数学本质的理解，关注数学概念的现实背景，引导学生从数学概念之间的联系出发，建立起有意义的知识结构。

（一）厘清概念内涵

小学数学涉及的基础概念很多，这些概念是数学知识体系的基石，唯有教师厘清每个概念的内涵，才能促进学生在活动中深刻理解概念。

1.把握本质

高度抽象性是数学学科的特征之一，教师在进行概念教学前把握其本质，可以避免以讹传讹，给学生数学学习扫清障碍。

例如，苏教版五年级下册教材“整理与复习”中有这样一道题目：

不少教师认为，学生学习了折线统计图，类似的问题就应该迎刃而解。但实际情况并非如此，这里的图像本质上是函数图像，与折线统计图只是形似，图像中每个点的实际意义不同，所属知识领域也不同。弄清这一本质，我们就不会奢求学生学完折线统计图后，能顺畅地解决上述问题。

2.严谨逻辑

数学是一门具有严密逻辑性的学科，这也是其独特的育人价值所在。日常概念教学中，我们需要站位更高，理清概念之间的逻辑关系，进而帮助学生积累丰富的思维经验。

以“3的倍数的特征”学习为例。师生通过探究得到“3的倍数，各位上数的和是3的倍数。”不过，我们去判断一个数是不是3的倍数时，其实是基于“各位上数的和是3的倍数，这个数是3的倍数”进行判断的。如果把我们探究得到的结论看作原命题，那么我们判断时用的就是其逆命题，而常识告诉我们，原命题为真命题，逆命题不一定为真命题。因此，苏教版教材在探究出3的倍数的特征后，提了这么一个问题：如果一个数不是3的倍数，这个数各位上数的和会是3的倍数吗？但有些教师对这一问题视而不见，甚或根本不引领学生进行相应的讨论交流。须知，“如果一个数不是3的倍数，各位上数的和也不是3的倍数”恰是原命题的否命题，而否命题和逆命题同为真命题或同为假命题。这样一来，我们用合情推理的方式验证了原命题的否命题为真命题，自然就可以用原命题的逆命题进行判断了。虽然暂时学生并不能感受到这些复杂的逻辑关系，但作为教师在进行概念教学时理应严谨逻辑，让学生在潜移默化中去体验和感悟其中的道理。

（二）精致概念建构

概念建构是学生对概念建立心理表征的过程，即学生基于已有认知，通过思维加工学习素材，从而形成新的概念。这一过程是概念教学的核心，直接影响着学生对概念的理解与应用。

1.丰富实例

由于教材受版面、篇幅等条件的限制，一般都是一、两个例子教学一个概念。但就小学生而言，仅凭一、两个例子就希望他们精准建构某一数学概念显然较为牵强。为此，教师在设计教学时应根据学情，适时增加一些例子，以拓宽学生的视野，丰富学生的体验。

以“比的意义”教学为例。苏教版教材编排了“同类量的比”和“不同类量的比”两道例题，倘若在两个例题的基础上就尝试归纳概括比的意义，看似也合情合理，但学生没有太多的感受。因此，教学时在两个例题后增加了一些例子：在同类量的比中增加班级男、女生人数比以及图形的面积比；在不同类量的比中增加用“总价÷数量=单价”和“长方形的面积÷长=宽”这两个数量关系解决的问题，让学生在不同的情境中进一步感受比。此时，比的意义在学生的脑海中已呼之欲出，后续的归纳概括自然水到渠成。

2.多元表征

多元表征理论强调指出数学概念的心理表征往往包含多个不同的方面或成分，这些成分对于概念的正确理解都具有重要的作用。

以“面积单位”学习为例。这节课的学习难点在于建立较为准确的面积单位的表象。于是，教学中，我们引导学生在丰富的“做数学”活动中主动建构面积单位。认识1平方厘米时，教师出示1平方厘米的正方形，让学生猜想其边长，并展开测量验证，明确定义。随后，组织学生在摸一摸、想一想、找一找、比一比等活动中全方位感知1平方厘米的大小。认识1平方分米和1平方米时，基于学生认识1平方厘米的经验，教师提供多元的素材，让学生自主展开做1平方分米和1平方米的活动，并在全班交流分享。至此，面积单位不再是一段抽象的文字，而是集文字、图形、实物、符号等多种表征为一体的直观的形象。如此建构起的面积单位自然更为具体、深刻。

3.广泛联结

数学概念之间存在着广泛的联系。教学中，要借助概念符号表征的相似性、逻辑形式的关联性、思想方法的一致性，打通不同领域、序列、主题单元知识之间的联系，为后续教学埋下伏笔，预留接口。

以“分数单位”的教学为例。现行不同版本教材编排“分数单位”这一概念时，通常是在概括出分数的意义的基础上揭示概念，随后编排几道说分数单位及其个数的练习。教学中，老师们都着力于分数意义的抽象概括，对分数单位只是一带而过，未能体现分数单位的价值。为此，我们通过微视频图文并茂地介绍分数发展史，引出“埃及分数”，随后出示一幅长方形图，平均分成10份，通过课件逐步涂色表示 、 、 、……、 ，并追问：“在这些分数中，哪个分数最重要？为什么？”在此基础上，进一步将长方形压扁成数线，并在平分点处对着每个分数出示相应的小数。这一教学片断充分挖掘与“分数单位”关联的素材：分数发展史与“埃及分数”的介绍为“分数单位”的揭示找到一个最佳契合点，激发学生学习的兴趣；长方形图与系列分数的逐一出示引领学生感悟分数单位的不斷累加便能形成不同的分数，为学生后续认识真分数与假分数奠定坚实的基础；数线和小数的呈现又将分数的计数方法和小数进行联通，体现计数方法的一致性。如此教学，准确把握分数意义的“生长点”和“延伸点”，引领学生感受数的认识的整体性。

（三）激活概念应用

概念应用有不同的层次，为激活学生能对概念进行思维水平上的应用，教师除了深化对概念内涵与外延的理解，还应设置真实的问题情境，引导学生综合运用所学知识与各种策略，不断地进行数学抽象、推理或建模，继而实现问题的解决。【2】

1.对接生活原型

在进行概念教学时，关照概念的背景、形成过程以及应用，便能有效对接学生的生活现实，从而使得概念建构更为自然。

以“圆柱的高”教学为例。“圆柱的高”是纯数学的抽象，在实际生活中，它的表现形态各异。因此，在学生初步认识这一概念后，我们逐一提出三个问题：日光灯管可以看作一个近似的圆柱，它的“高”我们通常怎么表述？一元硬币也可看作一个近似的圆柱，那它的“高”我们一般怎么说呢？有些同学家里挖的水井同样可以看作一个近似的圆柱，人们又怎样说它的“高”呢？学生兴致高涨，纷纷齐声用“长”“厚”“深”来作答。这看似随机的三问三答使学生脑海中圆柱的表象更为丰富，同时沟通数学概念与现实生活的联系，让学生感受到数学就在自己的身边，也为学生日后解决相关实际问题埋下了伏笔。

2.创设应用场景

数学源于生活，又服务于生活。但当下学生很难将所学知识迁移至现实世界解决问题，其中很大的原因在于课堂中解决的常常是单一、静态的良构问题，而现实世界中遇到的往往是多元、动态的劣构问题。无疑，创设真实的应用场景，促进学生独立思考解决问题的方法、路径是概念教学应有的视角。

以“平均数“学习为例。苏教版教材中有这样一道习题：

倘若直接把这题原原本本地呈现在学生面前，相信所有学生都会迅速求出问题的答案，但这显然未能达成预设的“初步了解抽样估计的方法，经历用平均数解决简单实际问题的过程，进一步感受平均数的意义和特点；提高解决问题的能力，积累分析和处理数据的方法，发展数据意识”等教学目标。为此，我们基于这一问题展开如下设计：课件出示一筐50个橘子，提问：这筐橘子大约重多少千克？当有学生提出用秤称一称的时候，继续指出没有能称一筐橘子的大秤，只有一个小台秤，进一步引发学生的思维，于是学生在讨论中出现两种思路：一是几个几个称，最后再相加；另一种是随意拿出几个称一称，求出平均数，再乘50。当不同的方案出现时，引导学生比较，学生大多认同第二种思路，在此基础上收集数据解决问题。如此教学，我们将冰冷的“习题”改造为火热的“问题”，在这样一个真实的问题面前，学生的主体地位真正凸显，他们主动分析问题、解决问题，完整经历概念的应用过程。

数学家、中国科学院院士李邦河先生曾在一场报告中指出：数学根本上是玩概念的，不是玩技巧。【3】这句话一针见血地表达了概念之于数学学习和研究的重要性。在基础教育课程改革再出发之际，关于课堂教学的各种热点问题纷繁复杂，作为一名教师，我们应睁开慧眼，专注教育教学中的关键问题，在实践中找寻概念教学的最佳路径，彰显数学概念的育人价值。

参考文献：

【1】郑声华.立足数学概念教学，促进师生共同发展[J].福建论坛（社科教育版），2010（04）：107-108.

【2】宋运明.核心素养导向的小学数学概念教学——融合优秀教师课例的探析[J].基础教育课程，2020（20）：41-45.

【3】李邦河.數的概念的发展[J].数学通报，2009，48（08）：1-3+9.