考虑应变软化特性的隧道围岩位移与塑性区半径解析解计算

胡涛涛, 刘可萌, 高咸超

(长安大学公路学院, 西安 710064)

在中国西部地区地质构造活动频繁的地带,广泛分布着炭质板岩等软岩,在隧道建设中,由于软弱围岩节理、裂隙发育较为破碎,强度低,围岩的自稳性较差[1]。在富水地段,由于水的软化作用,软弱围岩力学特性改变,其承载力和自稳能力会大幅降低,这极易导致在施工过程中发生塌方、变形、支护结构扭曲侵限等事故,因此研究富水软弱围岩隧道的受力特性显得尤为重要。

目前,国内外研究人员针对软岩隧道围岩应力、开挖位移、塑性区半径的计算进行了大量的研究。早在1974年,Ikeda等[2]通过声波检测技术就发现了巷道围岩松动圈的存在。1986年,袁文伯等[3]根据岩体的应力应变曲线及围岩软化特性,建立了理想弹塑性软化模型,推导出相较于经典卡斯特耐尔公式更具适用性和实际意义的计算公式。2006年,齐明山等[4]基于经典的芬纳公式,在考虑围岩和衬砌共同作用、假设塑性区体积变化的条件下,得到了塑性区半径的理论解,并推导出了用于计算围岩压力的修正芬纳公式。2012年,张结红[5]采用弹塑性力学相关理论,以摩尔库伦准则和软弱围岩的应变软化模型为判别方法,对深埋炭质板岩隧道的塑性区求解并分析,提出了塑性区范围的判定公式。2014年,陈志敏[6]针对现有本构关系对高地应力软岩不适用和卡斯特耐尔公式的局限性,根据岩石室内试验的应力应变曲线,采用直-曲-直模型推导了隧道围岩压力的计算公式。同年,Park[7]在符合线性Mohr-Coulomb (M-C)或非线性 Hoek-Brown (H-B)屈服准则的前提下,推导出在应变软化岩体中开挖圆形硐室的塑性区范围理论解。2016年,Mohammad[8]提出了考虑开挖冲击损伤区影响的线性Mohr-Coulomb 准则或非线性 Hoek-Brown 破坏准则下的弹脆塑性岩石材料隧道围岩应力和位移的解析解。2020年,苏士龙等[9]采用统一强度理论推导了巷道围岩松动圈理论计算公式,并依托实际工程对巷道围岩松动圈厚度进行理论计算。2021年,徐强等[10]通过对深埋黄土隧道开挖后的围岩应力状态进行分析,明确了松动圈的定义,推导了松动圈的表达式,提出了基于松动圈理论的深埋黄土隧道围岩压力计算方法。2022年,刘杰[11]等结合公路隧道设计规范引入软硬互层围岩参数简化方法,改进现有的均质围岩压力计算理论,得到了基于极限平衡法的水平软硬互层隧道围岩压力解析解。

综上所述,科研人员虽然在隧道软弱围岩的理论和力学特性方面进行大量研究,并取得较多成果,但研究人员多从屈服准则出发,求解隧道开挖所产生的塑性区,围岩应力等参数,却忽略了软弱围岩由于各种复杂环境(高地应力、富水等)会发生应变软化的特性,现有岩石本构模型已经不再适合用来求解以上参数;另外,研究人员重视围岩压力计算公式的推导,却忽视了围岩塑性区和围岩位移,对其解析解研究不够深入,而研究围岩塑性区和围岩位移的变化对支护和衬砌的设计与围岩稳定性分析同样重要。因此,有必要对考虑应变软化特性的炭质板岩隧道围岩位移和塑性区半径解析解进一步研究。现将采用“直-曲-直”软化模型推导卡斯特耐尔拓展公式,获得围岩变形和塑性区半径的解析解,并采用有限差分软件FLAC3D对木寨岭隧道进行施工过程力学数值模拟,得出该隧道围岩变形和塑性区半径的数值解,并将所得结果进行对比分析。

1 基于岩体软化模型的卡斯特耐尔拓展公式推导

1.1 软弱围岩应变软化模型介绍

为了便于后续塑性区半径和围岩位移计算公式以及计算过程的说明,首先对富水炭质板岩的应变软化模型进行简单的介绍。炭质板岩的力学参数具有随着围岩发生塑性变形而不断改变的特征。当围岩在应力作用下发生一定程度变形后,炭质板岩的力学参数会随之降低。因此针对富水炭质板岩隧道,在开挖后,洞室周围围岩常常会自内向外分成四个区域,分别是塑性流动区,塑性软化区,塑性硬化区和弹性区[12]。出于计算简便的角度可将塑性硬化区围岩按照弹性考虑计算,即将隧道围岩看作三个力学分区:弹性与塑性硬化区、塑性软化区、塑性流动区。

1.2 卡斯特耐尔拓展公式推导

经典卡斯特耐尔公式是一种基于原岩应力计算围岩压力的经典公式,以围岩力学特性和隧道设计尺寸为基础计算围岩的塑性形变压力,也可用于计算围岩的塑性区位移、塑性区半径。 其计算围岩压力的表达式[13]为

(1)

其计算塑性位移的表达式为

(2)

式(2)中:μ为围岩泊松比;E为围岩弹性模量。将式(2)命名为卡斯特耐尔拓展公式(c)。

经典卡斯耐尔公式是假定围岩的力学性质(C、φ)在发生塑性变形时保持不变而获得的结果。但在隧道施工实际开挖支护过程中,围岩力学特性会发生一定程度的变化,塑性区围岩的C、φ将变为其变形后的残余值C*、φ*。

根据参考文献[14],可获得不同围压、不同泡水时间的炭质板岩在单轴试验和三轴试验下的实测应力应变曲线,参照岩体理想的弹塑性软化模型,可近似将隧道围岩的变形特征简化为三条直线线段模型。用三条直线段模型来模拟围岩软化过程,可得理想弹塑性软化模型下的塑性区半径[3]

Rp=

(3)

前文将围岩软化模型简化为三线段模型,其中将围岩塑性软化区的应力应变曲线视为直线,而现场测量和室内实验结果都表明,二者关系更接近于二次曲线[15],并随着岩体的结构和构造而发生变化,因此,采用“直-曲-直”模型,如图1所示。

σp、σ*、εe、εf分别代表开始进入塑性区应力、残余应力、弹塑性交界处应变和流动区应变。图1 岩体“直-曲-直”软化模型Fig.1 “Straight-curved-straight” softening model of rock mass

计算模型基本假设:岩体为连续介质、隧道为圆形坑道;不考虑围岩自重带来的影响;将围岩视为弹塑性材料,符合Mohr-Coulomb准则;根据无限长隧道围岩受力特性,考虑为平面应变问题;侧压力系数设为1.0;考虑围岩软化变形过程符合上述理想软化模型;摩擦角、黏聚力、弹性模量、泊松比采用不同含水率下φ*、C*、E*、μ*的拟合公式参数[16]。

与经典卡斯特耐尔公式相似,围岩在弹性阶段服从虎克定律,在屈服阶段均符合摩尔库伦准则。即

(4)

式(4)中:τ、σn分别为剪切面上的剪应力和法向力;σ1、σ3分别为大、小主应力,分别对应切向应力σθ和径向应力σr。围岩处于塑性软化阶段时,φ、C随着塑性区应变εP增大呈线性衰减[4],则对于软化区任意一点有

(5)

式(5)中:Mc为内黏聚力软化模量;Mφ为内摩擦角软化模量;σ、ε为任一点的应力和应变;r、θ为任一点的径向和切向;εθ,p、εθ,e为塑性软化区和弹性区切向应变;C0、φ0为围岩初始黏聚力和内摩擦角。

在塑性软化区域,满足Mohr-Coulomb准则,假定侧压力系数等于1.0,则

(6)

式(6)中:σθ,p为塑性软化区域切向应力;σr,p为塑性软化区域径向应力围岩处于塑性流动阶段时,根据关联流动准则[17],可得

(7)

式(7)中:

分别为塑性流动区域径向和切向残余应变;f为应变流动区最大塑性应变增量与最小塑性应变增量之比。

在塑性流动区岩体的φ、C分别等于其残余值φ*、C*,且满足Mohr-Coulomb准则。

对不同区域的应力和变形状态进行推导。

(1)当围岩处于弹性区时,根据弹性理论[18]可直接求得弹塑性交界处应力、应变、位移。即

(8)

式(8)中:Rs为围岩弹性区半径;ue为弹性区位移;σr,e、σθ,e、εr,e、εθ,e为弹塑性交界处径向、切向应力和径向、切向位移。

(2)当围岩处于塑性软化区时,对上述σθ,p强度表达式代入平衡方程有

(9)

将式(9)积分后,代入边界条件r=Rs,即在弹塑性边界处,σr,p=σr,e,ξ1=ξ,C1=C,可确定积分常数,继而可得

(10)

式(10)中:εr,p、εθ,p、σr,p、σθ,p分别代表塑性软化区域径向、切向应变、径向和切向应力。

根据全应变理论,全应变增量可以表示为弹性应变和塑性应变增量之和,再根据前文所求得的弹塑性交界处的应变及位移关系,假定应变软化区最大塑性应变增量与最小塑性应变增量之比h=ξ*可得

(11)

解此一阶微分方程,结合弹塑性交接处边界条件r=Rs时,u=ue得出u的表达式,并代入几何方程

可得

(12)

(3)当围岩处于塑性流动区时:

(13)

式(13)中:

为塑性流动区域径向和切向残余应力;σr,f为塑性流动区域径向应力;Rf为塑性流动圈半径。

假设在塑性流动区某一点达到最佳支护时间,代入

即得塑性流动圈半径为

[11]胡叠：《京剧的创新传统与当代立场》，《中国戏曲学院.京剧与现代中国社会——第三届京剧学国际学术研讨会论文集》，中国戏曲学院，2009年，第7页.

(14)

将式(14)塑性区半径计算公式命名为卡斯耐尔公式拓展公式(b)。

根据几何方程,假定h=f,则当r=a时,塑性流动区位移为

(15)

将式(15)命名为卡斯特耐尔拓展公式(d)。

2 建立计算模型

2.1 模型尺寸和边界条件的确定

有限差分法软件FLAC3D可较为准确地模拟模型材料的屈服、塑性流动、软化甚至大变形,尤其是对于材料的弹塑性力学分析、围岩大变形分析以及模拟施工过程力学变化等领域有着显著的优势[19],故采用此软件建立模型并进行施工阶段模拟。

隧道断面形状依据文献[20]选取,对于深埋高地应力隧道,宜将数值模型水平和垂直方向的长度取为隧洞跨径的3～8倍[21]。根据圣维南原理和参考资料,网格模型范围为:沿开挖方向取100 m,垂直方向取80 m,水平方向取100 m。为了减少单元的数量,隧道开挖界限内部单元边长设为0.5 m,隧道附近岩土体单元边长设为1 m,距离隧道较远的岩土体单元边长设为3 m,同时将上覆岩层的重力作用等效为均布荷载加载在模型的上表面(相当于590 m埋深的均布荷载11.8 MPa)。模型边界条件选用限制位移法固定边界,对于垂直方向只在下边界设置位移约束而上边界不设约束,其余方向边界(水平和前后方向边界)设置位移约束。计算模型及网格划分如图2所示。

图2 计算模型及网格划分Fig.2 Calculation model and mesh generation

2.2 围岩相关力学参数

当进行施工过程力学分析时,假定炭质板岩服从摩尔库伦准则,需要考虑不同含水率下的岩样参数,故采用参考文献[15]中所进行的炭质板岩浸水试验中的参数,即分别取用泡水0、5、15、25 d下的参数。岩体的各项力学参数如表1所示。

表1 不同含水率下的炭质板岩力学参数表

2.3 支护结构及施工过程模拟

表2 支护结构力学参数表

图3 支护结构数值模型Fig.3 Numerical model of supporting structure

本文数值模型中,隧道开挖80 m,平均分为50步,每步1.6 m,通过绘制隧道断面图,网格划分,非流形检验,网格扩展,边界条件约束和施加荷载后得到三台阶七步开挖法的数值模型,如图4、图5所示。

图4 三台阶七步开挖施工工序图Fig.4 three-step seven-step excavation construction process

图5 三台阶七步开挖数值模型Fig.5 Numerical model of three-step seven-step excavation

3 对比分析

3.1 经典卡斯特耐尔公式和卡斯特耐尔拓展公式对比分析

对木寨岭隧道炭质板岩段分别采用经典卡斯特耐尔公式和卡斯特耐尔拓展公式进行计算,以验证公式的实用性。

经典卡斯特耐尔计算塑性区半径,公式为

(16)

计算基本假设:①计算时将围岩全部设为炭质板岩;②将木寨岭隧道模型简化为圆形隧道;侧压力系数设为1.0;③为保证曲线的连续性,计算参数采用拟合值;④计算采用三台阶七步开挖法支护后的应力场;⑤支护压力取拱顶和边墙的均值。拓展公式(a)、(b)分别为三段直线式和直曲直软化模型所得卡斯特耐尔计算塑性区半径公式,拓展公式(c)、(d)分别为三段直线式和直曲直软化模型所得卡斯特耐尔计算塑性区位移公式。

图6(a)给出了采用不同卡斯特耐尔公式计算所得塑性区半径结果,图6(a)表明,对于塑性区半径的计算值,经典公式较拓展公式(b)计算结果偏大。例如,高含水率下,经典公式计算值23.95 m与拓展公式(b)计算值19.47 m差距较大。相应地,图6(b)为关于塑性区位移结果,对于位移的计算值,当含水率较低时,经典公式计算值13 cm与拓展公式(d)的计算结果9.58 cm相近,随着含水率的升高,其计算结果与拓展公式(d)计算值52.5 cm差距较大。

图6 理论计算与数值模拟对比Fig.6 Comparison of theoretical calculation and numerical simulation

3.2 理论计算与数值模拟结果的对比分析

塑性区变化如图7所示,为便于对比,将数值模拟中Y=16 m截面的塑性区面积换算为塑性区半径,与计算出的塑性区半径进行比较分析。可知在随着含水率的变化趋势方面,卡斯特耐尔经典公式与拓展公式均能够较好地描述。而对于计算结果方面,由于理论计算将模型简化为圆形隧道,而数值模拟隧道不是圆形隧道,故塑性区形状不是标准的圆形,不过按照等面积法等效后的塑性区半径可以很好地量化对比以说明问题[23]。

图7 不同泡水时间围岩塑性区云图Fig.7 Cloud map of plastic zone under different soaking time of surrounding rock

由图6(a)可知,当含水率较低时,经典公式计算值11.96 m与数值模拟结果14 m相近,但随着含水率的升高,水对围岩的软化作用加强,而经典公式未考虑围岩软化作用的影响,故其计算结果与模拟值22 m和拓展公式(b)计算值19.47 m差距变大。相应地,图6(b)给出了塑性区位移计算结果,显然考虑岩体“直-曲-直”软化的拓展公式(d)能够更好地符合数值模拟的结果。当含水率较低时,经典公式计算值13 cm与数值模拟结果16 cm相近,但在高含水率下,采用拓展公式(d)计算所得位移 52.5 cm,与相同含水率下数值模拟所得的结果 56 cm 更为接近,原因应为破碎区围岩残余强度的影响。

4 结论

在考虑“直-曲-直”软化模型围岩软化的情况下,推导出一种卡斯特耐尔拓展公式,通过实例分析计算出木寨岭隧道Ⅴ级围岩位移和塑性区半径,并将该计算结果与数值模拟和不考虑围岩软化作用的经典卡斯特耐尔公式所得结果进行了横向对比。结果表明:随着含水率升高,围岩强度不断降低,塑性区半径和围岩位移也不断增大;在较高含水率(1.24%)下,通过数值模拟、经典和拓展卡斯特耐尔公式(b)、 (d)得出木寨岭隧道Ⅴ级围岩段的围岩位移和塑性区半径分别为56 cm和22 m,13 cm 和23.95 m,52.5 cm和19.47 m;采用基于直曲直软化模型的卡斯特耐尔拓展公式(b)、 (d)计算结果更为接近数值模拟结果,由此验证了所提出拓展公式的有效性和实用性。在实际工程中,只需确定炭质板岩相关性质和隧道支护参数便可计算隧道开挖后的塑性区半径和围岩位移,研究结果可为类似的隧道支护和衬砌设计提供一定参考。

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