数学抽象能力培养的尝试与思考——以《三角形的认识与分类》教学为例

文|程茂山

数学抽象是三大数学基本思想之一。抽象能力主要是指通过对现实世界中数量关系与空间形式的抽象，得到数学的研究对象，形成数学概念、性质、法则和方法的能力。包括“感悟数学抽象对于数学产生与发展的作用，感悟用数学的眼光观察现实世界的意义，形成数学想象力，提高学习数学的兴趣”。小学阶段抽象能力包括数感、量感和符号意识。“抽象能力”是初中阶段核心素养的主要表现，然而，抽象在数学知识和数学教学中无处不在，小学生在数学学习过程中，经常经历概念、性质的抽象过程，因此，有必要在小学数学教学中尝试进行学生数学抽象能力的培养，这对于学生思维品质的提升、数学眼光的形成都有着重要意义。现以苏教版教材中《三角形的认识与分类》教学为例，从一年级的《图形的直观认识》到四年级的《三角形的特征》及《三角形的分类》这一由浅入深的抽象和认知过程来谈一谈教学中学生数学抽象能力培养的做法和体会。

一、从体到面——直观感知，建立表象

苏教版教材中，对三角形的认识始于一年级下册第二单元《认识图形（二）》，包含在对长方形、正方形、三角形和圆的直观认识之中。

片断1：（认识图形）

师：今天大家都带来了一些积木（长方体、正方体、三棱柱、圆柱）。请拿出一个自己最喜欢的，向大家介绍一下它的名称。

师：老师也带来了一些图形（边说边出示），你们认识吗？（随着学生的回答，把图形贴在黑板上）

师：今天这节课，我们就来认识长方形、正方形、三角形和圆。其实，这些图形就藏在同学们手中的积木上呢。你们仔细看一看、摸一摸、找一找。

（学生在积木上找出平面图形，教师引导学生说一说是在哪块积木的哪个面上找到的）

师：刚才分别从长方体、正方体、三棱柱、圆柱的面上找到了长方形、正方形、三角形和圆。如果它们能从积木上“走”下来跟大家见见面，该有多好啊! 你们有什么好办法吗？在小组内商量商量。

（学生交流想法）

师：下面就请大家像老师这样把这些图形画在纸上。

（教师出示学生画出的图形，引导学生说一说，各个图形分别是用哪个积木的哪个面画下来的）

（根据学生的回答，依次出示）（如下图所示）

师：像这样，把长方体的一个面画下来，画出的图形是长方形；把正方体的一个面画下来，画出的图形是正方形；把三棱柱的底面画下来，画出的图形是三角形……

学生的任何认知活动都是基于已有经验的，可以是生活经验，也可以是知识经验。在认识图形之前，学生的认知经验中是没有抽象的平面图形的。上述片断中，教师借助学生已有经验组织教学，利用几何体形状的积木，引导学生经历“找”“画”“说”的认知过程。学生通过“看一看、摸一摸、找一找”，在视觉和触觉的作用下，形成对几种平面图形的充分感知；通过把几何体的某个面描画下来，经历了由几何体上的面到平面图形的抽象过程，由于是亲自动手画的，学生对图形的形状有着深刻的感悟；在“说一说”的过程中，学生表述“这个图形（三角形）是用这块积木（三棱柱）的底面画下来的”等，有助于学生明晰几何体上的面与平面图形的对应关系，提升感性认识。

在学生经历“从体到面”的感性认识的基础上，教师顺其自然地揭示和明确了图形的名称。这一环节的学习过程中，学生经历了由几何体到几何体上的面，再到平面图形的抽象过程。

二、从具体到一般——抽象特征，形成概念

片断2：（三角形的特征）

课件出示一组图形（如下图）。

师：请同学们仔细观察这些图形，看看你有什么发现？再把这些图形分分类，说说你是怎样分的。

生1：我把这些图形分为长方形、正方形、三角形三类，是根据形状分的。

生2：我把长方形和正方形分为一类，把三角形分为一类，是根据边数分的。

师：两种分法都把三角形单独作为一类，今天，我们就来研究三角形。仔细观察这几个三角形，比较一下，看看它们有什么不同点和相同点。（从课件中隐去长方形、正方形，只保留3 个三角形）

生1：不同点是形状不同。

生2：还有大小不同。

生3：相同点是三角形都有3条边、3 个角。

生4：每个三角形3 条线段是首尾相接地围起来的。

师：其实，这些相同点就是三角形的特征。试着说一说，什么样的图形是三角形？

（依据学生的回答规范概念并板书：三条线段首尾相接围成的图形叫作三角形）

有了低年级对图形的直观认识作为认知经验，本节课教学就可以直接从平面图形引入。这一教学片断有三个环节：首先，引导学生对一些不同图形进行分类。在此过程中，学生需要通过观察与比较，按照一定的标准进行分类。学生的两种分法都是合理的，而且都把三角形单独作为一类，这一分类的过程也是对三角形特征初步感悟的过程，为下一步的学习做好了准备。其次，对一组三角形进行观察比较，找出异同点。生1、生2 发现的“形状”“大小”这些不同点都是三角形的非本质属性；其余学生分别从不同角度说出了相同点，“3 条边”“3 个角”“3条线段首尾相接”这些都是所有三角形共同具有的本质属性。这一学习过程，实际上就是学生自主发现三角形特征的过程。最后，形成三角形的概念。在学生已经明确三角形特征的基础上，教师引导学生试着说一说，什么样的图形是三角形？学生经历了三角形特征及概念的抽象过程，在认识上从“具体”上升到“一般”，从“感性”上升到“理性”。

三、从总到分——分类认识，构建结构

片断3：（三角形的分类）

课件出示一组图形（如下图）。

师：同学们仔细观察这6 个三角形，说一说每个三角形的3个角分别是什么角。

师：你们能根据角的特点把这些三角形分分类吗？想一想、分一分，然后同桌交流一下想法。

师：你是怎么分的？把想法向全班汇报一下。

生：我分成了三类：②号和④号这两个三角形的3 个角都是锐角；①号和⑥号这两个三角形中都有1 个直角、2 个锐角；③号和⑤号这两个三角形中都有1 个钝角、2 个锐角。

（根据学生的回答，揭示：3 个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有1 个角是直角的三角形是直角三角形；有1 个角是钝角的三角形是钝角三角形）

师：把所有三角形看作一个整体，锐角三角形、直角三角形和钝角三角形都是这个整体的一部分。它们之间的关系可以用集合图来表示，请试着填一下。

（学生填图之后，教师引导学生进一步解读图意）（如下图所示）

不同的三角形在解决问题中有着不同的应用价值，为了深入了解三角形，有必要对其进行分类研究。教师引导学生经历了“观察比较—自主分类—汇报交流”的学习过程，在此基础上，根据学生的回答揭示三类三角形的名称。最后，引导学生感悟三角形与三类具体三角形之间整体与部分的关系，尝试填写集合图，并联系此图体会上述分类方法的合理性与严谨性，使学生对三角形的认识结构化、系统化。在后续的教学中还可以根据边的特点对三角形进行分类，从另一个视角来进一步认识三角形。

【教学思考】

一、提供丰富的感知对象

从抽象的本质内涵看，要想进行抽象，首先必须要有丰富的、具体的感知对象，而且提供的感知对象应该具有全面性和差异性，这样更有助于通过分析和比较舍弃事物的非本质属性，分离出本质属性。

如“片断1”的教学中，由于学生对平面图形的认知是由体到面的，所以，教师让学生准备了若干个长方体、正方体、三棱柱、圆柱积木作为感知对象，引导学生从积木上感知平面图形。再如“片断2”的教学中，教师准备了若干个形状、大小各不相同的长方形、正方形、三角形，学生先通过分类初步感悟三角形的特征，再通过对不同三角形（3 个三角形分别是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）的观察与比较抽象出三角形的本质特征。还可以看出，数学抽象是有层次性的，实物层面的抽象需要提供现实生活中的材料（如积木）；符号层面的抽象是建立在表象基础上的，需要提供符号化的材料（如图形）。

二、引导学生经历抽象过程

数学抽象是一种特殊的思维过程，抽象能力的培养需要学生经历具体的抽象过程。抽象的基本过程一般要经历四个阶段：第一阶段是感知与识别提供的数学对象；第二阶段是把研究对象的本质属性从其所有属性中分离出来；第三阶段是确定本质属性；第四阶段是把本质属性加以提炼和简化。

如“片断2”的教学中，教师首先引导学生观察图形（若干个长方形、正方形、三角形），并对图形进行分类，通过这一环节，学生把三角形与长方形、正方形区别开来，对三角形有了初步感悟；接着，引导学生聚焦于对几个三角形的研究，学生在观察、比较的基础上，发现了几个三角形的不同点和相同点，从而把三角形的本质属性分离出来；此后，启发学生说一说什么样的图形是三角形，明确了三角形的本质特征；最后，依据学生的回答规范三角形概念，实现三角形概念的提炼和简化。整个学习过程基本对应了抽象过程的几个阶段，学生对三角形特征有了深刻的理解，同时数学抽象能力得到了培养。

三、对抽象出的结论进行分类与辨别，完善认知结构

按照“垂直数学化”的理论，一个新的概念形成之后，便会按照其自身发展的内在逻辑，对数学材料进行组织、整理和拓展，建立新的知识体系，形成某种系统化、结构化的知识网络。如从具体到一般抽象出三角形概念后，在“片断3”的教学中，教师引导学生通过观察和比较，把三角形按照“角”的情况分为三类，并揭示锐角三角形、直角三角形和钝角三角形三个概念，在此基础上，引导学生填写集合图，感悟三角形与三类具体三角形之间整体与部分的关系以及三类三角形的并列关系，使学生形成对三角形的系统化、结构化认知。