单元整体视角下的逆向教学设计

李建英 易良斌

编者按：《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出改变过于注重以课时为单位的教学设计，推进单元整体教学设计，体现数学知识之间的内在逻辑关系，以及学习内容与核心素养表现的关联. 但从教师的理性自省和实践自觉上看，能把握好从单元到课时的关系，并真正将单元整体教学有效落在实处，仍然不尽如人意. 由本刊推出的“单元整体视角下的数学核心内容研究”专题征稿活动，意在倡导广大中学数学教师提高教学立意，聚焦数学核心内容，增强教师从单元到课时的设计意识，落实数学教学的整体观、联系观，更好地培养学生的数学核心素养.

为了推动单元整体教学研究，本期集中刊出3篇“单元整体视角下的数学核心内容研究”专题文章. 希望这些案例能对广大读者有所启发，引发对有关内容更广泛而深刻的讨论，产生更多的研究成果.

欢迎广大读者就单元整体教学的研究踊跃投稿，本刊将择优继续刊登.

摘  要：在深度教学理念的引领下，教学越来越注重数学知识的整体性，以及教学对象研究过程的整体性. 基于整体理解的教学设计能够有效把握教材和学生，逆向教学设计以生为本，以目标为纲，以评价为索. 以“因式分解”单元起始课的教学为例，阐述单元整体视角下的逆向教学设计有助于学生建立知识与知识之间的联系，直至产生知识结构，在课堂中逐步形成和发展数学核心素养.

关键词：单元整体；逆向教学设计；核心素养

作者简介：李建英（1985— ），女，一级教师，主要从事初中数学教学研究；

易良斌（1963— ），男，高级教师，浙江省特级教师，主要从事初中数学教育研究.

有厚度的数学教学要求教师在教学设计中做到眼中有“木”，脑中有“林”，心中有“森”. 教师有意识地从单元整体视角设计教学，不仅有利于学生更深刻地理解数学知识，更有利于学生感受知识建构的内在逻辑关系. 教师要改变传统的浅理解、轻目標、缺评估的教学模式，创新教学设计流程，即优先关注学生的预期学习结果，制订教学目标，以评价任务为导向，以目标赋能设计课堂教学活动，最后检验教学成效. 教学的主体也从“以教师为主体”转变为“以学生为主体”. 如何将单元整体教学与逆向教学设计完美融合，发挥“1 + 1 > 2”的功效？本文以浙教版《义务教育教科书·数学》七年级下册（以下统称“教材”）第4章“因式分解”单元起始课为例进行阐述.

一、基于单元整体的目标设定

教学目标是一节课的总纲领，基于单元整体的教学设计不仅要着眼于本课时的短期目标，更要与大单元的目标深度结合. 本单元延续第3章学习的整式的乘除运算的内容，基于整式运算的完备性讨论的需要引入因式分解，让学生体会在进行多项式除以多项式时，需要将多项式变形为乘积的形式才能够解决问题，从而引出学习因式分解的必要性. 因式分解的基本方法是依据整式乘法法则和乘法公式. 其中，提取公因式是解决高次多项式的通法，而公式法则让学生关注特殊情况. 本单元研究因式分解的路径是“概念—方法—应用”. 学生在这一章的学习中会反复经历整式乘法到因式分解的逆向变形，以培养学生逆向思考的习惯. 在第1课时的教学中类比分解质因数的概念导入新课，体现类比思想. 在方法的获得上，学生通过观察大量实例，能够对多项式的结构自主进行归纳分析，形成文字语言和符号语言，提升观察归纳的能力；利用因式分解进行简便运算和代数式求值，需要学生运用合理、简洁的方法求解，能够提升学生的运算能力.

基于以上对教材内容的逻辑关系、知识上下位关系，以及学生数学核心素养发展需要的分析，笔者将本节课的教学目标设置如下.

（1）能类比因数分解到因式分解，了解因式分解的概念.

（2）经历整式乘法到因式分解的逆向变形，了解因式分解与整式乘法互逆的关系.

（3）通过自主举例、分类归纳，归纳因式分解的常用方法，体现归纳思想.

（4）构建单元整体知识结构，渗透数学知识之间的整体联系，体会“为什么学、学什么、怎么学”的新知学习路径.

（5）培养学生逆向思考问题的习惯，感受类比思想、归纳思想在代数学习中的重要地位，发展学生观察分析与交流表达的能力.

二、基于单元整体确定学生能达成预期学习结果的评估内容及标准

确定学习目标后，教师要思考根据什么标准来衡量、评价学生的任务完成情况，以及通过怎样的评价活动与任务来检验学习目标的完成情况，即评价证据.

1. 确定衡量标准

达成教学目标（1）的标志：能感受因式分解的必要性，能类比因数分解得到因式分解的概念，会根据因式分解的概念辨别等式变形是否属于因式分解.

达成教学目标（2）的标志：能将整式乘法变形为因式分解，会利用整式的乘法检验因式分解的正确性.

达成教学目标（3）的标志：了解公因式的概念，会确定多项式的公因式；掌握提取公因式法，体会整体思想在本节内容中的应用；快速辨别能否利用平方差公式、完全平方公式分解多项式，知道公式中的[a，b]既可以是单项式也可以是多项式；掌握分解因式的一般步骤.

达成教学目标（4）的标志：能自主梳理知识体系，构建思维导图.

达成教学目标（5）的标志：在后期的学习中自觉运用类比思想、归纳思想.

2. 确定评价证据

诊断性评价：教师利用前测唤醒学生的旧知，以问题串搭建整体知识框架，引出新知；教师通过学生在自评、口答等方面的表现对学生的解释能力作出评价，指向教学目标（1）.

形成性评价：教师引导学生类比分解质因数，探究并归纳因式分解，通过自主探究、小组合作等学生活动发现因式分解的实质并进行方法探究，教师对学生在这些活动中的洞察、阐明、应用等能力作出适当评价，指向教学目标（2）（3）.

总结性评价：教师对学生的知识迁移、应用能力，以及积极解决问题的能力作出评价. 学生通过如图1所示的学后反思完成自评，教师根据学生在自评中表现出的自我认知、自我观察、自我反思作出评价，指向教学目标（4）.

三、基于单元整体的目标达成及教学实施

逆向教学设计的第三阶段是依据既定目标设计教学过程，开展教学活动，整体的教学活动安排都是为了完成第二阶段的评价任务而进行的. 也就是说，一节课结束后，学生能够在教师的引导下完成评价任务并掌握相应的知识和技能.

1. 探究触发，知识本源

环节1：获得概念.

通过前测巩固整式的乘除法运算.

（1）[a2b ? -3ab3]；

（2）[2xx-3y]；

（3）[x-1x+2]；

（4）[x-1x+1]；

（5）[y+22]；

（6）[3abc2÷-abc]；

（7）[3xy-6x2y2÷3x]；

（8）[5yy+22y-2÷yy+2].

问题1：我们学习的整式乘法有哪些类型？整式的除法呢？

追问1：我们还可能遇到哪种类型的运算？

追问2：你能计算[x-yx+y÷x+y]吗？[x2-y2÷][x+y]呢？

【设计意图】引导学生从已有认知出发解决具体问题，让学生体会在进行多项式除以多项式的运算时需要将多项式变形为乘积的形式才能够解决问题，引出因式分解的必要性. 指向教学目标（1）的评估.

2. 概括提升，探求本质

环节2：明确概念.

问题2：运算中，有时要将一个多项式变形成几个整式乘积的形式，类比小学阶段学习的因数分解，这样的多项式变形可以叫做什么呢？

追问1：类比分解质因数的定义，尝试用文字语言说一说什么是因式分解.

追问2：我们知道，在小学学习的数中，整数的乘法和因数分解是互逆的运算，那整式的乘法与因式分解有什么关系呢？

练习1：判断下列代数式变形中哪些是因式分解.

（1）[2m2-2mn=2mm-n]；

（2）[2mm-n=2m2-2mn]；

（3）[4x2-4x+1=2x-12]；

（4）[4x2-4x+1=4xx-1+1]；

（5）[2x2-1=2x+12x-1]；

（6）[x3-5x2+6x=xx-2x-3].

追问1：练习1中，哪些是因式分解？你判断的依据是什么？

追问2：注意第（1）（2）题的关系，说明因式分解与整式乘法有什么关系？

追问3：第（4）小题虽然变形正确，但不是因式分解，说明因式分解的结构特征是什么？其本质是什么？

追问4：第（5）小题虽然结构是符合的，但仍然不是因式分解，说明我们在因式分解的过程中还应该关注什么？

追问5：第（1）（3）（6）小题的因式分解正确吗？你是如何判断的？

【设计意图】通过类比小学阶段学习的因数分解的概念，获得因式分解的概念. 通过有意识的板书（略）类比引导学生观察得到整式乘法与因式分解是互逆变形的关系，形成由数到式的自然过渡，让学生的认知遵循从特殊到一般、从具体到抽象的规律. 通过练习1中的6道小题巩固因式分解的定义，分别从范例、正例、反例、错例等方面帮助学生理解因式分解的概念. 通过教师的及时追问，讲练结合，学生总结因式分解的本质是和差化积的过程，不仅要关注等式的结构，还要关注结果. 指向教学目标（2）的评估.

环节3：方法探索.

问题3：根据因式分解与整式乘法的互逆关系，试在纸上写出一个多项式，并进行因式分解.

教师引导学生收集组内写出的等式，组内交流，判断同学写的等式是否符合要求. 小组讨论结束后，派代表上台展示思维过程.

追問1：你是如何想到这个例子的？

追问2：根据这个多项式变形的不同由来，你认为可以对以上的因式分解进行怎样的分类？分类的依据是什么？

追问3：猜想因式分解的方法有哪些？

练习2：将下列多项式因式分解.

（1）[x2-3x]；（2）[y2-9]；（3）[m2-6m+9].

【设计意图】通过举例、组内互评、小组汇报体现学生在课堂教学中的主体地位，利用课堂生成让学生充分感受整式乘法与因式分解是互逆运算，利用追问让学生的思维可视化. 通过对因式分解方法类型的归纳，培养学生自主举例、分类归纳的能力. 利用练习2让学生初步感受因式分解的两类方法——提取公因式和公式法. 指向教学目标（3）的评估.

3. 强化应用，优化体系

环节4：新知应用.

问题4：尝试用因式分解的方法解下列题目.

环节5：拓展提升.

练习3：已知二次三项式[2x2+3x-k]分解因式的结果中有因式[x+3]，求另一个因式和[k]的值.

【设计意图】环节4中的三道应用题分别指向简便运算、解高次方程和用整体思想求代数式的值，让学生体会因式分解有利于解决某些新的数学问题，体会学习因式分解的必要性和重要性. 环节5旨在提升优等生的能力，既巩固了因式分解的定义，也培养学生知识迁移的能力. 指向教学目标（5）的评估.

4. 整体助推，清晰结构

环节6：课堂小结.

学生独立完成如图1所示的学后反思.

【设计意图】师生共同回忆新知学习的路径，即“为什么学、学什么、怎么学”，体会研究新问题的一般路径，同时也基于单元整体视角构建了逻辑连贯的知识框架（如图2），促进了学生思维品质的优化. 指向教学目标（4）的评估.

四、思考与感悟

1. 以建立良好的知识结构为根本

实施单元整体教学，需要教师根据教材内容灵活处理好知识横向扩面与纵向拓展间的关系. 横向扩面是为了从系统结构上整体把握教学内容；纵向拓展是为了从知识节点上达到一以贯之的效果. 因此，教师在教学设计时要基于联系来发现问题、提出问题.“联系”反映的是数学知识的整体性，“提出问题”是指要找准学生的生长点. 本节课中，教师通过前测、类比、辨析、运用、小结引导学生把握各知识间本质的、内在的逻辑体系，以及数学对象研究过程的整体性. 学生的认知从前一章学习的整式的乘除出发，类比小学阶段分解质因数的学习，主动探索，直观感受新、旧知识之间的联系. 显然，这样的设计有助于学生建立系统的知识结构.

2. 以达成核心目标为关键

对教师而言，逆向的教学模式要求教师提前做好整个单元的规划，完成学生将面对的所有评价任务，并对学生的作业布置有一定的增减规划. 因此，教师可以根据核心目标，在各环节确立生生互评、师生评价、学生自评等多元的评价方式，组织有效的课堂活动，清晰地把握学生的易错点及教学重点和难点. 对学生而言，逆向的教学模式要先明确和理解自身需要达成的目标，进而有针对性地掌握和理解学习内容. 本节课中，学生在教师的引导下不断体验完成各项评价任务的经验，促进了生生之间的合作交流与互动，不仅有助于学生更轻松地解决课后的其他评价任务，更有利于培养学生在数学学科上的自信与动力.

参考文献：

［1］林祥华. 把握内容价值，设计单元整体教学：“因式分解”一课的设计思想与点评［J］. 中国数学教育（初中版），2020（5）：40-42.

［2］何丽华. 以研究的视角架构单元起始课教学：“三角形”章起始课教学设计［J］. 中国数学教育（初中版），2020（5）：3-8.

［3］严艳. 单元整体教学中核心素养目标的落实：以“分式”单元起始课为例［J］. 中学数学教学参考（中旬），2020（7）：25-27.

［4］金红江. 基于“四个理解”的创新说课案例及其思考［J］. 中学数学教学参考（中旬），2020（4）：69-72.