核心素养视角下初中数学章统领课的实践与反思

高凯亮 周沁

［摘  要］ 如何在常规教学中提升学生核心素养是当下热议话题，学者们在实践研究中发现，章统领课是提升学生核心素养的有效途径之一. 文章对苏科版“一元二次方程”章统领课的价值进行分析，帮助学生构建“一元二次方程”章学习框架时形成策略性知识，并对章统领课的作业设计与评价进行反思，助力提升学生核心素养.

［关键词］ 核心素养；章统领课；一元二次方程

基金项目：本文是2021年度贵州省六盘水市六枝特区基础教育教学课题“双减背景下基于数学核心素养的单元教学设计研究——以方程、不等式为例”的阶段性研究成果，该课题由第一作者与第二作者联盟合作研究.

作者简介：高凯亮（1995—），本科学历，中学二级教师，从事初中数学教学与研究工作，南京市浦口区杜育林名师工作室核心成员，南京市江北新区第三届初中数学工作坊核心成员，曾获南京市江北新区第三届“教育科研成果创新奖”特等奖.

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，教师要选择能引发学生思考的教学方式，重视章统领整体教学设计，改变过于注重以课时为单位的教学设计，体现数学知识之间的内在逻辑关系［1］. 章统领课是本章的起始课（种子课），它不同于新授课，课堂上教师不仅要让学生关注本章“学什么”，更要让他们关注“为什么学，怎么学”，要培养学生有“饮水思源”的意识，并在构建本章知识框架的过程中形成策略性知识，让学生感受知识发展的连续性、必然性与合理性，从而潜移默化地提升学生的核心素养.

基于学习价值的教学分析

笔者对苏科版“一元二次方程”章统领课的学习价值进行分析，认为其价值主要体现在下面两个方面.

1. 感悟知识的整体性与必然性，树立整体观念

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，要从整体上把握教学内容，注重教学内容的结构化［1］. 学生在七年级学习过一元一次方程、二元一次方程（组）、三元一次方程（组），甚至类推到n元一次方程（组）. 七年级是将一元一次方程在“元”上进行推广，这便为九年级将一元一次方程在“次”上进行推广的合理性埋下伏笔. 对于一元二次方程的学习，一方面，从数学内部结构来看，是对方程类型进行扩充，从增加方程中“元”的个数逐渐过渡到升高方程中“元”的次数，从中能感悟到知识的连续性与必然性；另一方面，从数学外部来看，方程是刻画现实世界数量关系的有效模型. 对于章统领课，从数学内部与外部两方面厘清知识的内在联系，有助于学生树立认识事物的整体观念［2］.

2. 运用类比思想，培养知识正迁移能力

方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，教学时可先从几个简单的实际问题中找到相等关系列出方程，归纳这一类方程的共同属性，再与之前学习的方程类型进行对比，抽象出一元二次方程的概念. 接下来提出“大”问题——我们该怎么研究一元二次方程呢？类比思想是研究一个“新”问题的重要途径之一，借助之前学习一元一次方程的经验，可类比构建一元二次方程的研究思路，形成研究方程的一般路径：定义—解法—应用. 在“大”问题的驱动下，教师引发学生思考，并通过追问不断聚焦问题，让学生在思考与活动中积累经验，培养知识正迁移能力.

章统领课实践过程

下面以“一元二次方程”的章统领课为例.

1. 目标制定与目标解析

（1）目标

①用方程描述实际问题中的相等关系，经历由实际问题抽象出一元二次方程模型的过程，感受方程是刻画现实世界数量关系的有效模型.

②类比一元一次方程的学习路径，构建一元二次方程整章知识的研究路径，感悟类比数学思想.

③通过观察式结构特征，尝试解不同形式的一元二次方程，感悟转化数学思想，初步积累解一元二次方程的经验.

（2）目标解析

目标①达成的标志是：能够分析实际问题中的数量关系及其变化规律，能用方程刻画实际问题中的相等关系.

目标②达成的标志是：回顾一元一次方程的学习路径，能够自主构建出研究一元二次方程的大致思路.

目标③达成的标志是：能够解形如（x+h）2=k（k≥0，h，k均为常数）与（x+a）（x+b）=0（a，b均为常数）的方程；能将二次项系数为1的一元二次方程用配方法化为（x+h）2=k（h，k均为常数）的形式并求解，形成解一元二次方程的一般性策略.

2. 教学过程

问题1用方程描述下列问题中的数量关系.

（1）正方形桌面的面积是2 m2. 设该正方形桌面的边长是x m.

（2）如图1所示，矩形花园一面靠墙，另外三面所用栅栏的总长度是19 m，花园的总面积是24 m2. 设花园与墙垂直的一条边的长是x m.

（3）如图2所示，长5 m的梯子斜靠在墙上，梯子底端与墙的距离比梯子顶端与地面的距离多1 m. 设梯子底端与墙的距离是x m.

追问1：观察列出的三个方程，它们与我们之前学习的方程一样吗？如果不一样，最大的区别在哪里？

追问2：请化简三个方程，化简后按照未知数x的降幂排列.

追问3：你能给这种類型的方程起一个名字吗？根据方程的特征并尝试下定义，你能用一个通式表达这种类型的方程吗？请写一写.

追问4：刚才我们讨论了一元二次方程的定义，接下来我们会研究什么呢？

生（齐）：解法、应用.

追问5：你们是怎么想到的？你们是从哪里获得的经验？

生（齐）：从学习一元一次方程中获得的经验.

设计说明“问题1”中的三个实际问题，能让学生再一次感受到方程是刻画现实世界数量关系的有效模型. 学生可以自主、快速地列出三个方程：x2=2，x（19-2x）=24，x2+（x-1）2=25. “问题1”之所以没有在列方程上给学生设置障碍，是为了让学生在章起始课不畏惧本章的学习，从而调动学生的学习积极性，让学生收获成功的喜悦，激发学生的主观能动性.

这一形成一元二次方程概念的环节与笔者以往的教学略有不同——本次多了“追问1”的环节. 列出方程后，笔者让学生先观察三个方程，从式结构上直观感受三类方程的特征，培养学生解决数与代数问题时需要先观察式结构特征的意识，并非看到式子就开始化简，该意识的培养会对学生数与代数领域的学习产生重要的影响. “追问2”是为了让学生归纳出一元二次方程的共同特征（一个未知数、未知数的最高次数是2）. “追问3”让学生用一个通式表达一元二次方程，大部分学生第一次写不对，此时教师不必心急，不要直接投影出正确答案，因为这是本环节的难点. 教师可以先投影出学生所写的最特殊的通式，并与学生共同探讨. 逐步对通式“丰满”的过程能加深学生对一元二次方程式结构的认识. 例如，笔者执教时先投影的是x2=a，再和学生一起逐步“丰满”一元二次方程的通式（如图3所示）. “追问4”与“追问5”的目的是引导学生类比迁移一元一次方程的学习路径，继续对一元二次方程展开研究，固化研究方程的“套路”.

问题2 下面我们谈一元二次方程的解法. 大家观察化简后的三个一元二次方程（x2-2=0，-2x2+19x-24=0，x2-x-12=0），哪一个方程最“好”解？

生（齐）：x2-2=0.

追问6：尝试解解看.

追问7：类似地，你还能写出一些“好”解的一元二次方程吗？

投影（学生素材1）：（x-1）2=4，这个方程“好”解吗？

生1：根据平方根的定义可得x-1=2或x-1=-2，解得x=3或x=-1.

追问8：解方程时，如何看待（x-1）这个式子？

生2：把这个式子看成一个整体.

追问9：方程从（x-1）2=4到x-1=2或x-1=-2，这中间发生了什么变化？

生3：未知数的次数降低了，一个一元二次方程变成了两个一元一次方程.

小结：通过开平方可将一个一元二次方程转化成两个一元一次方程，从而求出原方程的解；未知数的次数从二次变成了一次，这个过程叫降次（如图4所示）.

投影（学生素材2）：2（x-1）2=4，这个方程你们会解吗？

生4：等式两边同时除以2，原方程便化为（x-1）2=2，解法和之前的一样.

追问10：那把方程改写成2（x-1）2=-1，这个方程怎么解？

生5：无解（教师规范成了“无实根”），因为负数没有平方根.

投影（学生素材3）：（x-1）2=0，这个方程你们会解吗？

生6：x-1=0，解得x=1.

追问11：大家对这个方程的解有不同的看法吗？（教室鸦雀无声）

追问12：我们回顾一下刚才解（x-1）2=4与2（x-1）2=4这两个方程的过程，通过直接开平方后一个一元二次方程变成了两个一元一次方程，但方程（x-1）2=0开平方后怎么就只有一个一元一次方程了呢？

生7：可以把方程（x-1）2=0看成（x-1）（x-1）=0. 兩个因式的积为0，那么这两个因式至少有一个为0，可得x-1=0或x-1=0，解得x=1或x=1，这其实还是转化成了两个一元一次方程，只是这两个一元一次方程是一样的.

师：为了和之前的结构保持一致，因此，这个方程的解我们写成x1=x2=1.

追问13：类似地，你们还能写出一些“好”解的方程吗？

投影（学生素材4）：（x+2）（x+3）=0，这个方程怎么解？

生8：（x+2）与（x+3）的积为0，说明x+2=0或x+3=0，解得x=-2或x=-3.

追问14：请大家观察这些“好”解的方程，你能用通式表达这些“好”解的方程吗？（如图5所示）

设计说明本环节从观察“好”解的方程过渡到写“好”解的方程，并归纳出“好”解的一元二次方程的结构，为后续解一般结构的一元二次方程埋下伏笔，能让学生感悟到从特殊到一般研究问题的方法；在探究解法的过程中，学生能感悟到一元二次方程根的个数与未知数次数之间的关系.

问题3尝试解方程x2-8x+7=0.

追问15：这个方程和之前所解的一元二次方程有何不同？能否将其化为“好”解的一元二次方程？

设计说明对于“问题3”，笔者在执教时先“放手”让学生尝试完成，当学生遇到困难时，小组讨论，教师则分步骤适时介入引导，让大部分学生能解出此方程，最终师生共同总结出可以通过配方法或因式分解法将一般的一元二次方程转化为“好”解的一元二次方程（如图6所示），从而感受化归数学思想解决问题的魅力.

问题4学完本节课，本章的知识结构你们清楚了吗？请谈谈你的收获.

设计说明明确“一元二次方程”这一章的知识框架，明确本章的学习路径.

目标检测设计

教师可设计如下试题用于检测目标是否达成：

1. 已知方程（m-1）x2-（2m-1）x+m=0.

（1）当m=______时，该方程是关于x的一元一次方程；

（2）当m_______ 时，该方程是关于x的一元二次方程.

设计说明检测学生对一元二次方程概念的掌握情况.

2. 解方程.

（1）2x2-8=0；

（2）3（x-1）2=6；

（3）x2-x-12=0；

（4）（2x-1）2=（3-x）2.

设计说明检测学生对解特殊结构的一元二次方程的掌握情况，培养学生用化归思想解决问题的意识.

3. （选做题）我们学习了一元一次方程、二元一次方程（组）、三元一次方程（组），可看成一元一次方程在“元”上进行推广；类似地，学完一元二次方程后还可能研究哪些类型的方程呢？请类比一元二次方程的研究路径写出该类型方程的研究路径，并尝试对该类型方程进行求解.

设计说明本题是考查学生能否将一元二次方程的研究路径类比到其他类型方程的学习中. 本题为选做题，目的是给“吃不饱”的学生留有思考空间.

总结与反思

1. 渗透转化思想，强化代数推理能力

转化不仅是一种数学思想，还是一种最基本的解决问题的策略. 运用转化思想可将生疏的问题变熟悉，将复杂的问题变简单，将抽象的问题变形象. 本节课在教学一元二次方程的解法时，从解“好”解的一元二次方程过渡到解一般的一元二次方程，渗透了从特殊到一般研究问题的方法. 解一般结构的一元二次方程时，需要将其转化为“好”解的一元二次方程，这就是运用转化思想解决问题形成的策略性知识. 课堂上，将方程x2+bx+c=0转化为（x+h）2=k的过程中，教师需要放慢脚步，引导学生思考如何向“好”解的方程变形，有意识地让学生关注式结构特征，变形中做到“步步有据”，强化代数推理能力.

2. 高位建构知识框架，把握好章统领课的“度”

上好章统领课的前提是制定精准的教学目标. 章统领课的目标需要教师自行制定，目前教参上没有章统领课的教学设计与教学目标，这便需要教师研究教材，揣摩编者的意图，站在高位去建构知识之间的内在逻辑联系，教师还需要思考如何将这种高位的认识设计成学生易于接受的课堂活动. 一章的知识点很多，章统领课若面面俱到，就会变成一节“高浓度”知识点介绍课，不利于学生的发展. 因此，教学中如何把握好章统领课的“度”尤为重要. 笔者在本节课中让学生先感受到一元二次方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，再找到该类型方程的共同属性，最后形成一元二次方程的概念. 接下来以“好”解的一元二次方程为载体构建解法，学生有平方根的学习经验，以此为突破口建立解法，最终以化归思想为落脚点，这正是解不同类型方程的“精髓”. 笔者实践后发现，学生易于接受，且效果较好. 一节课的时间有限，笔者没有将二次项系数不为1的一元二次方程纳入本节课，况且学生学习知识具有连续性与阶段性，如果学生将解二次项系数为1的一元二次方程的过程“悟”透彻，那他们解二次项系数不为1的一元二次方程自然是“水到渠成”.

3. 精准设计章统领课作业，助力提升核心素养

精准设计作业是检测课堂教学效果的前提，本节课的作业设计了三道题，第一道题用于检测学生对一元二次方程概念的理解. 第二道题用于检测学生解不同形式的一元二次方程的掌握情况，特别地，解（2x-1）2=（3-x）2时有三种思路，第一种是通过去括号、移项、合并同类项之后发现这是一个二次项系数不为1的一元二次方程，教师批改作业时要特别关注学生会不会将二次项系数转化为1去求解，是否有转化的意识，这便在作业中留下本节课的第一条“生長链”；第二种是将方程右边（3-x）2移项到方程的左边后因式分解成（x+a）（x+b）=0的结构去求解；第三种是基于学生之前的学习经验——若a2=b2，则a=b或a=-b. 讲评作业时，教师要让学生意识到第一种解法是“通法”，后面两种解法是由于这个方程具有特殊的式结构. 由此总结出解方程的第一步是观察而非化简. 第三道题是选做题，目的是让学有余力的学生自主构建一元三次方程（或其他类型方程）的研究路径，并尝试求解，培养学生的自主学习能力，这就在作业中又一次留下本节课的“生长链”.

结束语

章统领课中“统”的是知识的整体性，在构建知识框架过程中感受知识发展的必然性；“领”的是数学思想及策略；在“统”和“领”的驱动下提升能力，促进核心素养的养成. 显然，一次章统领课是远远不够的，学生在学习每一章之前都经历一次系统构建本章知识框架的过程，能逐步增强运用数学思维解决问题的意识，能逐步形成正确的价值观、必备品格与关键能力，从而发挥数学学科的育人价值.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］杨春霞. 基于整体性架构教学，凸显数学学科核心素养［J］. 中学数学，2020（10）：24-26.