压缩感知在口腔医学图像重构中的应用

李亚玲，邵 静

（浙江科技学院 理学院，浙江 杭州 310023）

0 引 言

随着生活水平的日益改善，口腔健康及美观度等问题得到民众广泛的关注与重视。目前存在的口腔疾病会导致牙缺失、无牙颌、附着龈较窄或缺失等问题，既危害口腔健康，又严重影响美观度。因此，需采取可靠的治疗来维持牙齿的完整性和美观性[1]。为了推进口腔疾病的诊断，实现精准化治疗，医疗影像技术已应用至口腔医学实践，比如口腔种植植骨技术、牙齿矫正手术等。在患者进行种植修复过程中，首先需要进行术前诊断、评估，充分了解患者种植修复前的口腔状况，获得患者口腔牙齿医学图像，根据获得的影像信息了解口腔内软硬组织轮廓形态，种植区牙槽骨的宽度、高度，确定解剖的结构位置，确定种植体的长度和直径，才能制定更加完整、细致、精准的修复计划[2]，从而可以初步模拟手术时的操作，避免正式开展手术时造成不必要的损伤，减轻患者疼痛，有助于提高临床修复成功率。目前，常见的医学图像有CT 图像、X 射线图像、正电子放射断层图像、核磁共振图像以及DAS 数字减影图像等。

为了得到高分辨率的扫描图像，临床上通常依据奈奎斯特-香农采样定理。这就要求医学影像设备的采样频率要达到信号最高频谱的2 倍以上，才能完全高质量地重建图像。这意味着，想要精确重构图像，需要大量的观测数据，图像才能被完全重构。现如今，许多儿童和青少年都面临牙齿健康和牙齿不整齐等问题，家长们极其重视。但是要获得大量的数据恢复图像，需要高频率的采样，而临床上大部分医学影像技术设备都存在辐射，这对儿童、青少年的发育具有一定的影响。为了尽量避免临床上出现操作低效、放射剂量大、患者体验差、医学图像模糊和不均匀、分辨率低等问题，本文在口腔医学成像中引入压缩感知理论，旨在利用原始图像的少量感知数据进行重构，得到高质量的口腔医学图像，以此提升口腔医学图像重构的准确度，可辅助进行口腔疾病的早期诊断、病灶的精确定位[3]。

1 压缩感知

压缩感知（Compressed Sensing，CS）是由DONOHO，CANDÈS，TAO 三人提出的指导信息采集和重构的理论，广泛适用于许多领域。压缩感知理论表明，稀疏或近似稀疏信号可以基于少量观测数据通过求解最优化问题重构原始信号。压缩感知理论与传统香农采样定理的区别在于：传统的信号获取技术是基于信号波形的信号获取技术，一般都需要经过采样、压缩两个步骤[4]（如图1 所示）；而在压缩感知指导下，信号的采样、压缩合二为一，同步完成[3]（如图2 所示），这样，采样速率免受带宽的限制，在精确重构原始信号的同时降低了采样频率，避免资源浪费，降低成本，提高效率。

图1 传统数据的编解码过程

图2 压缩感知理论下数据的编解码过程

压缩感知理论主要包括信号稀疏表示、测量矩阵构造以及重构算法[5]。信号的稀疏性是压缩感知理论的前提条件。从常见的稀疏表示如正（余）弦基、小波基到字典学习，稀疏表示理论已经越来越丰富。重构算法是压缩感知理论实现的关键，根据观测信号，通过重构算法来恢复原始信号。常用的重构算法有贪婪迭代算法（如匹配追踪算法（MP）、正交匹配追踪算法（OMP）等）、凸优化算法（如基追踪算法（BP）等）以及组合算法等。压缩感知可以充分有效地运用信息的稀疏性，将采样和压缩两个步骤进行合并来获取信号[6]，一定程度上降低了传统采样所耗费的时间及存储空间。

为了提高口腔医学图像的重构效果，本文结合口腔激光医学图像的稀疏性，将压缩感知理论引入口腔激光医学图像的重构中，选择适当的图像重构算法，对口医学图像进行去噪，使得重构后的口腔医学图像分辨率高，抗噪声性能强，细节保留较完整，获得高质量口腔医学图像，为口腔疾病的诊断、精准化治疗提供保障。

1.1 稀疏表示

所谓稀疏表示，指的是用较少的基本信号的线性组合来表示原始信号的大部分或者全部信息[7]。稀疏表示概念发展已久。1959 年，HUBEL和WIESEL 在观察哺乳动物主视皮层V1 区神经元感受野的反应时发现，其中视觉信息的记录方法是一种“稀疏表示”[8]。后来，许多研究人员在这个思路的引领下，不断将其应用于各个领域，如神经网络、图像处理、信号处理等。稀疏表示有两个基础的定义。

（1）稀疏向量。假设向量x={x1,x2,…,xN}中的绝大部分元素为零元素，则称此向量为稀疏向量。

（2）稀疏表示[8-9]。假设RN空间中的任何一个信号都可以通过P个N维基向量进行线性表出。若此时基向量之间是正交的，则所有的基向量组成了一个基矩阵Φ=[φ1,φ2,…,φP]，这个矩阵被称为字典。离散信号x为N×1 的列向量，都可以用RN中的N维列向量表示，从而通过基矩阵表示为

式中：Φ称为变换矩阵；s表示信号x在基矩阵上面的投影，称为变换系数，是一个P维的列向量。当向量s存在非零值的个数K远远小于向量的维度P，则称s是稀疏的，并且s在域内K稀疏。当P>N，意味着s有无穷多个解，若要得到唯一解，则需要增加限制条件[8]。所以，稀疏表示的重心是在某种基（字典）下系数稀疏，而这些基（字典）与图像本身关系密切，也就是这些图像的基本信息。因此，在稀疏表示中，将字典视为一种变换域，在变换过程中保持变换系数是稀疏的，用数学式子可表示为[10]

若存在00 且满足式（2），则认为s在某种意义上是稀疏的。

若式（1）中只有少量的系数是较大值，而其他系数都很小，则称该信号是可压缩信号。

求解式（1）问题，可转化为求解l0范数的最小优化问题，即：

一般情况下，压缩感知的线性过程为y=Ψx，将式（1）代入[11]可得

式中：Ψ为M×N测量矩阵，y为M维观测数据（观测值），是在采样时由原始信号x压缩获得。因此，可知观测值y获取了原始信号x的大量信息，同时Γ=ΨΦ是M×P的传感矩阵。

式（2）可以视为向量s的lp范数。当式（2）中p为1 的时候，求解问题（4）可转变为l1范数的最小化问题，即：

选取适当的稀疏表达方式，可以对所收集的口腔医学图像进行变换。经典的方法如小波变换，但是由于它本身的不足，重建效果可能不是很理想。因此，需要针对收集到口腔医学图像，进行特定的稀疏化。

1.2 测量矩阵

压缩感知理论是否能成功实现，关键在于测量矩阵。测量矩阵起到承上启下的作用。若要重建原始信号，压缩后的信号需要包含所有重要的原始信息，这样信号才能被准确地恢复。本节将介绍测量矩阵的相关性质以及测量矩阵的构造。

1.2.1 相关性质

限制等距性质（Restricted Isometry Property，RIP）和互相干性是测量矩阵性能好坏的决定性因素。若要对信号进行唯一性的重构，测量矩阵必须满足这两个性质，同时，也可以用尽量少的观测信号恢复出原始信号。

1.2.1.1 限制等距性质（RIP）

RIP 性质即限制等距性质（Restricted Isometry Property，RIP）。当测量值中包含噪声，若要唯一地恢复出稀疏信号，需要对矩阵引入更严格的限制，从而引入RIP 性质。

若存在常数δK∈(0,1)，使得

对任意K稀疏向量成立，则认为该矩阵满足了K阶RIP 性质，最小的δK称为等距限制常数[12]。可以将RIP 性质看成一个矩阵中K列组成的子矩阵与正交矩阵的相似度。

1.2.1.2 互相干性

如果将RIP 性质看作是矩阵中K列组成子矩阵的正交程度，那么互相干性则表示测量矩阵列与列之间的关联度，定义如下：

式中：0 ≤μ≤1。当测量矩阵列之间两两都正交，此时μ=0。

1.2.2 矩阵构造

测量矩阵的一般形式为

测量矩阵分为随机性测量矩阵和确定性测量矩阵。其中，随机性测量矩阵有高斯随机矩阵、随机伯努利矩阵、傅里叶矩阵及局部傅里叶矩阵等。此类矩阵能很好地满足RIP 性质，因此在实际中应用非常广泛。比如，高斯随机矩阵满足矩阵内元素是期望为0、方差为的独立随机变量；确定性测量矩阵有循环矩阵、托普利兹测矩阵等。

面对不同的口腔医学图像，需要挑选合适的测量矩阵，从而为后续的图像重构奠定基础。

1.3 重构算法

重构算法是压缩感知中恢复原始信号的重要步骤，保证了压缩感知模型的求解。重构算法多种多样，需要考虑到测量噪声、少量测量值以及图像重构的稳定性等因素。由于不同的重构算法在重构信号的精度、运算时间以及稳定程度存在差异，因此需要选择合适的重构算法恢复信号[13]。目前比较典型的信号重构算法主要有基追踪算法[14]、贪婪算法及迭代硬阈值算法等。

基追踪（Basis Pursuit，BP）算法是将求解l0极小问题转化为求解l1极小问题，表示为

也可写成分析基追踪（ABP）模型：

求解l1极小问题是一种凸优化求解，引入正则化参数λ，等价转化为求解线性规划问题，即：

即求解下列分析LASSO 模型（ALASSO）：

BP 算法对测量矩阵的要求非常高，同时也没有强的多项式进行约束或运行时间上的线性约束。如果在高尺度上存在低尺度信号，那么此类方法并不是时间最优的重构信号算法[15]。

为优化BP 算法的重构速度，研究者提出了贪婪算法，如匹配追踪算法（Matching Pursuit，MP）、正交匹配追踪算法（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）等[16]。匹配追踪算法的核心是通过不断的迭代逐步逼近待重构的稀疏信号的支集[13]。迭代过程中，找到与原始信号最匹配的原子，从而得到原始信号的稀疏逼近，不断求解残差，更新残差，直至达到某个指定的停止准则，退出迭代并给出最为匹配的原子。由于MP 算法中信号在原子集上并非正交投影，导致每次迭代结果并不是最优的并且迭代收敛比较缓慢，从而导致迭代时间较长[17]。

为解决MP 算法重构时间较长的问题，正交匹配追踪算法（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）被提出。此方法仍然利用MP 算法中的原子选择的迭代方式，不同的是，为确保每次迭代都是最优的，对每次迭代得到的原子通过正交化处理，从而在保证精度的同时，使得迭代次数降低，图像信号重构时间缩短。OMP 算法实现信号重构的步骤如下。

假设原始信号x是K稀疏的。

输入：观测矩阵Ψ，观测值y，稀疏度K。

Step1：对数据进行初始化。令初始值残差r0=y，索引集Λ0=∅，初始迭代数k=0。

Step2：找出残差r与观测矩阵的列向量ψj内积中的最大值所对应的脚标λk，即

Step3：不断更新索引集。更新后的索引集为Λk=Λk-1∪{λk}。记录寻找得到的原子集合Ψk=[Ψk-1,]。

Step4：利用最小二乘法计算信号x稀疏逼近的估计值

Step5：更新残差，得到新的残差为

并且，迭代次数增加一次，即k=k+1。

Step6：当迭代次数大于信号稀疏度K时，停止迭代；若不满足，则返回Step2 继续进行迭代。

信号重构是构建高质量图像的关键。因此，应用图像重构的客观评价指标进行判定，可以在一定程度上提高重构算法构建图像的成功率。信号重构质量评价（IQA）是检测信号重构质量效果的常用指标，其中评价度量指标包括均方误差（Mean Square Error，MSE）、信噪比（Signal-to-Noise Ratio，SNR）、峰值信噪比（Peak Signal to Noise Ratio，PSNR）、结构相似性（Structural Similarity，SSIM）等指标。峰值信噪比（PSNR）越大，意味着图像信号重构的质量越优，此信号重构指标广泛应用于重构质量的评价标准[18]。以下将介绍这些度量指标的数学表达方式，具体可见文献[18]。

设原始信号为X，重构得到的信号为Y，其中信号的大小均为N=m×n，因此得到均方误差：

信噪比：

峰值信噪比：

式中：n表示每个采样值的比特数，峰值信噪比的单位为dB。

结构相似性：

式中：μX和σX代表均值与标准差，μY和σY表示重构图像的均值与标准差，C1，C2则为避免计算溢出的常数。

由上可以总结，在压缩感知理论指导下，为了能得到高质量的口腔医学图像，需先将原始图像信号进行稀疏表示，利用压缩的测量矩阵对变换系数进行采样，再从众多的重构算法中选择相对合适的算法，经过重构算法重建以及稀疏表示的逆变换，得到重构后的口腔医学图像信号，最后利用图像重构的客观评价指标去检验重构后的口腔医学图像信号的重构质量效果。

2 结 语

从2006 年开始研究发展至今，压缩感知理论不断完善，不仅在信号采样处理方面有了进步，而且在其他相关领域应用广泛。但不可忽视的是，压缩感知理论仍然不具有普遍性，比如在面对一些非结构信号如随机信号和噪声信号时，压缩感知理论并不能适用，存在一定的局限性。

尽管在某些场合此理论并不能运用，但是压缩理论依旧蓬勃发展，对电子工程、地质勘探、图像处理、医学等领域具有重要的影响。将此理论应用于医学图像中，尤其是口腔医学图像中，可以将不清晰的口腔医学图像通过稀疏图像信号、测量矩阵采样信号、算法重构信号，得到分辨率高的口腔医学图像，这样可以避免传统的先采样再压缩造成的资源浪费，而且重构算法在一定程度上抗噪声干扰性强，计算量小，速度快，效率高。这为口腔疾病的早期精确诊断、病灶的精确定位、精准化治疗提供了坚实的理论基础。