专注素养差异化,提升高考创新性

江苏省海门中学 王 娟

《中国高考评价体系》中的“一核四层四翼”是高考命题的指导思想与基本命题要求,近两年的高考数学试卷也是围绕这个指导思想,同时基于数学学科素养进行一些具有学科特色的创新与改变,围绕数学学科素养呈现出创新与差异;数学文化的渗透更加合理自然,数学应用的构建更加贴近生活,而且加大了数学探索与理性思维的考查题量与试题难度.

1 数学文化适当渗透

将数学史中的经典问题或中国传统文化作为试题背景,可以让学生感受数学家探究问题、解决问题的过程,潜移默化地对学生进行理想信念教育,培养学生数学学习兴趣与爱国主义情怀.因而,数学文化成为近几年高考的一个关注点, 2022年高考试题也有相应的体现.数学文化渗透的“影子”出现在各类试题中,如中国古建筑的屋顶结构(新高考I卷第3题),“会圆术”(全国甲卷理科第8题《梦溪笔谈》的记载),以及下面的问题.

分析：借助数学文化的情境创设,由秦九韶公式,代入对应的参数值,直接计算可得所求的面积.

点评：该试题以秦九韶发现的“三斜求积”法为问题背景,主要考查阅读理解与数学运算能力等.“三斜求积”与海伦公式等价,从中可以看到我国古代已具有很高的数学水平,这在一定程度上合理引导中学数学教学应关注我国古代的一些优秀科学技术成果,同时进行必要的爱国、爱民族的教育等.

2 数学应用贴近实际

数学应用往往以贴近生活实际的实例为背景,结合数学基础知识来合理创新设置.近两年的高考数学试卷中,数学应用问题的设置主要体现在以下几个方面:(1)从考题数量来看,新高考Ⅰ卷只有1个解答题,全国甲卷理科有2个题,其中1个选填题1个解答题,其余4套全国卷均为3个题,其中2个选填题和1个解答题等;(2)从考查场景来看,主要针对考生比较熟悉的生活生产场景,如排队、比赛、植树造林以及这两年比较热门的流行病调查等相关问题;(3)从试题考查难度来看,大多题目是中等或简单题,以保证大多数考生能比较轻松解决.

例2(2022年高考数学全国乙卷理科·10)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘,各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1,p2,p3,且p3>p2>p1>0.记该棋手连胜两盘的概率为p,则( ).

A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关

B.该棋手在第二盘与甲比赛,p最大

C.该棋手在第二盘与乙比赛,p最大

D.该棋手在第二盘与丙比赛,p最大

分析：根据生活实际中的应用问题,结合棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率不相等,可以判断概率p受比赛次序影响,由此判断选项A错误;再计算第二盘分别与甲、乙、丙比赛连赢两盘的概率,比较大小即可得以判断.

解析：由题设知,棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率各不相等,所以判定p受比赛次序影响,故选项A错误.

设棋手在第二盘与甲、乙、丙比赛连赢两盘的概率分别为P甲,P乙,P丙,那么

P甲=p1[p2(1-p3)+p3(1-p2)]=p1p2+p1p3-2p1p2p3;

P乙=p2[p1(1-p3)+p3(1-p1)]=p1p2+p2p3-2p1p2p3;

P丙=p3[p1(1-p2)+p2(1-p1)]=p1p3+p2p3-2p1p2p3.

所以P丙-P甲=p2(p3-p1)>0,P丙-P乙=p1(p3-p2)>0,故P丙最大.

故选择答案:D.

点评：该试题以创新情境的设置,考查概率的求法,以及数值的大小比较等.解题时要认真审题,注意实际问题的分析与理解,以及相互独立事件概率乘法公式的灵活运用.学以致用是高考数学试卷的基本命题方向与思路,要引起高度重视,要合理交汇与融合数学基础知识与实际应用的联系.

3 数学探索体现差异

数学探究类的学科素养考查,可以有效区分考生的能力水平与知识差异,方便不同高校有针对性地选拔人才,因此,数学探究类试题也是高考命题者比较关注与青睐的一类问题,近年其高考中的考查力度有所提升.数学探究类的学科素养考查在高考试卷中的表现层面与展示形式主要有以下几个方面:(1)开放性命题,(2)结论不良问题,(3)探索解题思路等形式.

分析：根据题设条件,求出双曲线的渐近线方程,利用已知直线与双曲线无公共点的条件,构建对应的不等式,进而确定离心率的取值范围,结合开放性命题确定一个值即可.

4 理性思维贯穿始终

理性思维是数学学科素养中最本质、最核心的基本内容之一,也是数学学科中严谨逻辑思维能力最重要的一种体现方式,是历年高考的重点与热点.主要表现在以下几个方面:(1)增加考题题量,(2)加强论证性问题,(3)数形相互印证等.

例5(2022年高考数学北京卷·9)已知正三棱锥P-ABC的六条棱长均为6,S是△ABC及其内部的点构成的集合.设集合T={Q∈S|PQ≤5},则T表示的区域的面积为( ).

分析：根据题设条件,设点P在底面ABC内的投影为点O,根据正三角形的性质求得OA的长,并由勾股定理求得OP的长,结合几何直观可知动点Q表示的区域是以O为圆心,1为半径的圆及其内部,从而得以分析与求解.

解析：如图1,设点P在平面ABC内的射影为点O,连接PO,AO.

图1

故选择答案:B.

点评：该试题通过集合语言与立体几何知识相交汇与融合,通过数量间的关系得到图形的几何特征,又利用图形的几何特征得到数量间的关系,相互转化,是理性思维中考查的一个重点.高考数学试题中特别强调“画好图”对寻求解题思路的作用,但“画好图”需要数量关系的强力支撑.

近两年的高考数学试题整体上围绕数学基础知识与基本思想方法,以基本题型为主,合理渗透相应的数学文化场景,巧妙设置相应的数学应用问题,以及数学探索的深入开展与理性思维的创新应用等,对于引导高中数学教学,合理根除“题海战术”,规避“题型套路”和“机械刷题”等顽瘴痼疾,做到了有效“反刷题、反套路”,击中了当前高中数学教学的“痛点”.