“立体几何”教学应关注“基本套路”

安徽省枞阳中学 董留蕾

在生活中,一提到“套路”,人们总会和“圈套”“骗术”等不好的事情联系起来,往往避之而不及.在数学教学中,“套路”也比比皆是,例如,概念教学套路、公式证明套路、数学解题套路、数学建模套路等,而掌握这些“套路”却成为了数学教学的一种诉求.人教A版主编章建跃也认为“注重‘基本套路’才是好的数学教学”.那么,究竟什么是“基本套路”?高中数学有哪些“基本套路”需要掌握?

1 对“套路”的认知

“套路”本身是中性词,按照百度百科的解释,它是指“精心策划的应对某种情况的方式方法,使用该方式方法的人,往往已经对该方式方法熟练掌握,并且形成条件反射,逻辑上倾向于惯性使用这种应对方法应对复杂的情况,心理上往往已经产生对此方法的依赖性,对人有较深影响,使用某种特定不变的处理事件的方式,对一些情况下的处理方式形成路数”.抛开对“套路”的成见,不难发现,“套路”实际指向的就是人们对客观世界的认知模式,是提出问题、分析问题、解决问题惯用的方式与方法.这显然与数学核心素养的目标指向一致.从某种程度上讲,学习的最终目的就是为了获得与掌握更多的套路,这是因为知识容易遗忘,而“套路”却能根植于头脑深处,左右人的思维习惯与行为习惯.做事情要讲究“套路”,学习数学当然也需要“套路”.因此,数学教学不仅仅要关注知识与技能,更应该凸显学习的“套路”,正所谓“授之以鱼不如授之以渔”,掌握“套路”就意味着拥有了打开数学世界大门的钥匙.

2 立体几何学习中的三大“基本套路”

2.1 几何对象的“认知套路”:整体—局部

学习数学不仅是掌握知识,更要学会认识数学对象的“套路”,因为,知识往往是在变化的,而“认知套路”一般是相对固定的.基于这一认识,现行高中数学教材都是以研究一个数学对象的“基本套路”为主线来组织教学内容,通常是按照“概念—性质—内部逻辑关系—运算应用”的认知逻辑加以展开,以便让学生获得完整的数学认知.当然,立体几何除了一般的认知套路,还有其特有的认知套路,那就是从“整体—局部”的认知过程.学生先认识柱体、锥体、台体、球体,然后在具体几何模型的基础上再开展对空间位置关系的研究;在研究空间位置关系时,也是先对平行与垂直有一个总体的认知,然后再系统地研究“线线、线面、面面”之间的平行、垂直关系.“整体—局部”的认知套路贯穿于立体几何学习的全过程.

2.2 公理定理的“获得套路”:生活现象—数学原理

立体几何与生活息息相关.新教材称立体几何的“三大公理”为“三大基本事实”,它们所反映的就是生活中刻画平面的“平”与“无限延伸”的三个事实依据.基本事实1 “过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面”,它所反映的生活经验就是“三角形结构的稳定性”;基本事实2“如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内”是对“木工用直尺检验桌面是否平整,如果直尺与桌面有缝隙,说明桌面不平,否则就平”经验的真实写照;而基本事实3“如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线”所对应的生活原型就是“榫卯结构”,在拼接两块木板时,通常在其中一块上开一个“凹槽”,在另一块上造出一个“凸起”,然后两块木板就可以榫合在一起了.立体几何中的平行与垂直关系的判定定理、性质定理更是对生活经验的直接总结,“在转动门中发现直线与平面平行的判定定理与两个平面互相垂直的判定定理”“在翻书中发现直线与平面平行的性质定理”“在折纸中发现直线与平面垂直的判定定理”等.由此可见,立体几何中的公理与空间位置关系的判定定理、性质定理基本上都是对生活经验的数学化表征,其暗含“怎么学”的套路,即从“生活现象中获得数学原理”.

2.3 空间位置关系的“刻画套路”:借力新几何对象

数学知识之间是紧密关联的,是一个有机的整体.这就决定了不同的数学对象之间可以相互表征,可以利用一个数学对象来刻画另一个数学对象,比如,用图象交点的横坐标来表示方程的根、用向量运算来判定几何关系、用不等式组来表示平面区域等.立体几何中对空间位置关系的刻画更是如此.比如,“三大基本事实”实际上就是借助“点、线、面”三个几何对象从三个视角来刻画平面的“平”与“无限延伸”.又比如,在判断“线面平行”时,借助“平面内的一条线”,通过验证“线线平行”来证明“线面平行”;研究“线面平行”性质时,通过“构造过直线的平面”,“让新的平面与已知平面相交”,最后获得“线线平行”的结论.

3 指向“基本套路”的立体几何教学

上述三大“基本套路”分别从宏观、中观、微观三个层面系统地揭示了立体几何学习的方向与路径.那么,如何教会学生这些“基本套路”呢?“基本套路”的学习一般需要经过“经历、内化、概括、迁移”的过程,可以分两个阶段进行教学.

3.1 第一个阶段:通过问题链,“牵着”学生走

例如,在“直线与平面平行的判定”教学中,这是学生第一次“经历从生活现象中抽象出判定空间位置关系方法”的过程,因此,在没有学习经验的支撑下,学生需要在教师的帮助下“牵着”走 ,教师则围绕着“生活现象—数学原理”这一“基本套路”,精心设计问题链来实现对学生“牵引”.

如图1,在矩形纸片ABCD中,E,F分别是BC,AD上的点,现沿直线EF翻折,观察直线CD与平面ABEF的位置关系.

图1

问题1在翻转过程中,直线CD与平面ABCD平行吗?为什么?

问题2你觉得怎样改变折痕EF,才能使直线CD∥平面ABEF?

问题3这时,直线CD和AB共面吗?它们有交点吗?

问题4每一条折痕与直线CD都有交点吗?

问题5在平面ABEF内任给一点P,你能画出与折痕EF平行的直线吗?

问题6直线CD与平面ABEF有交点吗?为什么?

问题7根据以上分析,你觉得使直线平行平面的关键要素有哪些?你能进行具体描述吗?

指向“基本套路”的层层递进的问题链“牵着”学生完整地经历获得空间位置关系判定定理的过程,同时,教师也要明确指出“这就是研究空间位置关系的基本套路”,然后再经过后续“直线与平面平行的性质”“两个平面平行的判定”等内容的学习,使得这一“基本套路”逐步得到内化.

3.2 第二个阶段:设置任务,“放手”让学生自己走

例如,在“直线与平面垂直的性质”教学时,学生已经具备了从“生活现象—数学原理”的探索与“借力新的几何对象”刻画空间位置关系的经验,教师完全可以“放手”让学生自己去探究.首先,对“直线与平面平行性质定理”与“两个平面平行性质定理”获得的过程及定理本身的构成进行概括,提炼共性特征,再通过类比迁移,以任务表(表1、表2)的形式驱动学生自主探究“若直线a⊥平面α,你能获得哪些性质?”

表1

表2

经过探究,学生除了可以得到“垂直于同一平面的两条直线平行”,还可以得到“a⊥α,b⊂α⟹a⊥b”“a⊥α,b⊥a,b⊄α⟹b∥α”“a⊥α,α//β⟹α⊥β”等8大性质.至于教材为何以“垂直于同一平面的两条直线平行”作为直线与平面垂直的性质定理,可能是基于两个方面的考虑:一是性质定理要足够简洁,容易记忆;二是能够和平行关系建立横向联系,进一步完善立体几何的网状知识体系.当然,对于这个问题可以组织学生进行深入的讨论.因此,在“基本套路”得以明确的前提下,教师的“放手”更能够发展学生的逻辑推理与直观想象核心素养.

有学者说:“教育是所有学过的东西都忘了后,仍然留下来的.”以往,我们都认为留下的就是“能力”,但现在看来,这种认识还是不够全面.所有学过的东西都忘了后,留下的应该是经过长期积淀而形成的发现、分析、解决问题的一连串的思维模式与操作经验,即本文论述的数学学习的“基本套路”.