突变理论与比能对比法推定既有基桩极限承载力的方法与应用

刘建飞 高 超 周永明

（浙江省建筑设计研究院，浙江杭州 310006）

0 引言

在既有建筑增层扩建工程中，因上部结构荷载增加而导致既有基桩竖向承载力不足的情况时有发生。为推定既有基桩实际极限承载力，评估土体对桩的支承阻力和变形，在大多数工程应用中，可考虑利用原有工程试桩实测的荷载-位移若干曲线，基于最小二乘法原理，对原有工程试桩Q-s曲线进行拟合，定量推定原有工程试桩荷载-位移曲线延伸段[1]。一般情况下，极限承载力的判定方法根据单桩承载性状不同采用拐点法、桩顶位移控制方法等，而通过曲线拟合得到的荷载传递函数通常为指数函数（端承型桩）、双曲线函数（摩擦型桩）和叠加型组合函数（端承摩擦型桩），这三种曲线均无法清晰表达拐点的位置，难以定量给出桩基的竖向极限承载力。引入突变尖点法和比能对比法原理，将桩土系统比能作为突变判据，利用原有工程试桩数据拟合得到的荷载-位移曲线方程求取尖点突变比能曲线及突变点比能，并与桩侧土层平均抗剪强度进行对比，判别桩土临界破坏状态，为基桩竖向极限承载力的推测及工程试桩最大加载值的确定提供理论依据。

1 极限荷载判定的比能对比法

对于特定的桩土系统，即桩身与一定范围的桩周土组成的系统，根据广义第四强度理论[2]，岩土材料的破坏取决于系统比能，其值由体积变化比能和形状改变比能两部分组成。当系统比能达到桩周土的抗剪强度，桩周土发生破坏，形成塑性联通区，基桩荷载-位移曲线出现瞬时陡降和拐点。

桩土系统比能泛函数为

式中：m为桩土系统比能泛函数；U为桩土系统势能泛函数；V为特定的桩土系统体积函数。

当将桩土系统的研究范围无限接近桩体周围时，系统的势能函数可转化为桩体的弹性势能[3]，则有：

式中：U为系统势能；m为系统比能；E为桩体弹性模量；A为桩体截面积；L为桩长；s为桩顶变形量。

对于桩土系统中的桩周地基材料而言，各层地基土的抗剪强度可按式（4）计算[4]。

式中：τi为第i层桩周土的剪切强度；为第i层桩周土的竖向有效应力；为第i层桩周土的有效内摩擦角；μ1为侧阻深度效应修正系数，可按式（5）计算[5]。

式中：(L/d)cr为临界长径比，对均匀土层可取10～15，当硬土层上存在软弱土层时，(L/d)cr宜从硬土层顶面算起。

当桩侧土为硬塑黏土层时，考虑到剪切滑动面可能从桩侧土移至桩土界面处的情况，宜对该土层内摩擦角进行修正，取，其中修正系数μ2可取0 .5～0.75。计算时，当土层内摩擦角＞30°时，取μ2=0.75。

桩基破坏时，桩体向桩周土传递的应力将超过桩周土抗剪强度。桩周土抗剪强度 τe可由桩体范围内各土层抗剪强度加权得到，即

2 极限荷载下突变尖点判定方法

根据突变理论[6]的Zeeman 机构研究，尖点主要由控制变量和行为变量决定。当尖点出现时，系统由某种平衡态向另一种平衡态跳跃。由尖点突变理论的势函数和平衡曲面可知，当一个状态点从上叶向下叶或从下叶向上叶转换时，如果经过褶皱面，则必然发生突变[7]。因此褶皱面所对应的分叉集直接为尖点突变提供了判断依据，且必然存在。

当桩土系统比能m等于桩周土体的抗剪强度τe时，即为突变模型的临界失稳点。m与τe为基桩承载系统的两个控制变量。在同一桩型与同一场地条件下，在桩土系统失稳前，土的抗剪强度τe衰减量较小，可近似认为是常量。则可将三维平衡曲面简化为二维曲线。

模拟工程试桩加载过程，最大加载值即为基桩极限承载力，记录加载荷载与桩顶沉降的变化关系，每一级的加载可以形成桩土系统比能m与加载步序N的联动曲线（m-N相关曲线），因此，可将加载步序确定为基桩承载系统的行为变量,桩土系统比能m确定为基桩承载系统的控制变量。

当桩侧土发生塑性变形后，土层抗剪强度衰减量加快，直到桩土系统比能m大于桩周土抗剪强度τe，m-N曲线出现尖点。

在同一桩型条件下，桩体弹性模量、桩长均为常量。m-N曲线可以等效为s2-N的相关曲线。出现尖点处即为加载终止条件，桩基破坏。

3 工程案例

3.1 工程与地质概况

杭州某高层建筑裙楼地下3 层、地上5 层，框架结构，结构总高度23 m。采用φ700 mm 钻孔灌注桩基础，灌注桩混凝土强度等级为C30，桩基持力层为圆砾（⑨-2 层），柱下独立多桩承台。在地下室已施工完毕即将进行上部结构施工时，业主要求加建游泳池，并对五层的使用功能进行局部调整。经复核，东侧裙楼局部中柱下桩基竖向抗拔承载力不足；西侧裙楼局部中柱下桩基竖向抗压承载力不足。本工程桩基穿越地层物理力学参数见表1。

表1 岩土材料地层物理力学参数

3.2 突变尖点法判定桩基极限承载力

原工程承压试桩共2 根，编号分别为Z1、Z2。试桩桩径700 mm，桩长44 m,单桩竖向抗压承载力特征值2600 kN，最大加载值5400 kN。原工程抗拔试桩共2 根，编号分别为Z3、Z4。试桩桩径700 mm，桩长44 m,单桩竖向抗拔承载力特征值1300 kN，最大加载值2700 kN。根据文献[1]端承摩擦型承压桩叠加型组合函数模型Q-s拟合曲线（见图1）和抗拔桩双曲线函数模型Q-s拟合曲线（见图2），拟合曲线方程。

图1 Z1、Z2 试桩Q-s 实测曲线和数值解拟合结果对比

图2 Z3、Z4 试桩Q-s 实测曲线和数值解拟合结果对比

（1）承压桩拟合曲线方程

式中：K为桩侧阻力分担荷载比，取K=0.7；Qmax1为双曲线函数中理论最大加载值，kN；Qmax2为指数型函数中理论最大加载值，kN；s为试桩时各级加载值相对应的桩顶沉降量，mm；c、η为参数。经推导，Z1 桩：Qmax1=9345 kN，Qmax2=9562 kN，c=6.299，η=8.772；Z2桩：Qmax1=10416 kN，Qmax2=8666 kN，c=6.948，η=6.757。

(2)抗拔桩拟合曲线方程

式中：Qmax为试桩理论最大加载值，kN；s为试桩时各级加载值相对应的桩顶上拔量，mm；c为参数。经推导，Z3 桩：Qmax=4484 kN，c=2.758；Z4 桩：Qmax=5952 kN，c=6.429。

通过Q-s曲线逐步分级加载模拟计算，得到各基桩的s2-N曲线（见图3）。

图3 桩基础的s2-N 曲线

图3 表明，2 根承压桩和2 根抗拔桩在13 级以后均显现突变尖点。在单桩发生破坏之前，桩土系统等效比能s2-N的曲线基本呈直线，斜率较小，变化相对稳定，随加载值增大出现拐点，然后呈现不收敛的大斜率曲线，表明桩侧土的抗剪强度进入塑性极限状态。通过尖点突变曲线法推定得到的单桩极限承载力和对应的桩顶变形值如表2 所示。

表2 桩基极限承载力推定值

3.3 比能对比法验证基桩极限承载力

按比能对比法，通过式（1）-式（6）计算各试桩的系统比能m、桩侧土层抗剪强度τ（见表3、表4）。出现尖点前后的比能对比如图4 所示。

图4 出现尖点前后比能对比图

表3 出现尖点时各试桩比能对比计算值

表4 出现尖点后各试桩比能对比计算值

从表3、表4 中数据和图4 可知，当桩顶荷载加载至出现突变尖点出现时，基桩系统比能与桩周土抗剪强度的比值m/τe均小于1，表明桩侧土未进入塑性极限状态。继续加载时，m/τe均大于1，说明桩侧土已进入破坏状态。根据现行《建筑基桩检测技术规范》（JGJ 106-2014）[8]，当试桩数量小于3 根时，可按对应试桩极限荷载的最小值作为基桩竖向极限承载力。故由此判别，该工程承压桩的单桩抗压极限承载力可取8456 kN；抗拔桩的单桩抗拔极限承载力可取4228 kN。

3.4 现场持荷再加载载荷试验验证

为验证尖点突变法和比能对比法推定既有基桩极限承载力的可靠性，在地下室范围外地质勘探孔附近选取相同地质条件下的场地对新增试桩进行现场持荷再加载载荷试验。为留有一定的安全储备，本次载荷试验加载值对抗压桩取6480 kN，对抗拔桩取3240 kN（较原基桩极限承载力提高20%）。按尖点突变法验证时，未出现拐点，符合实际验证情况。按比能对比法验证时，m/τe小于1，同样符合桩基未破坏的判定条件。

3.5 结果分析

尖点突变法和比能对比法的理论基础是不同的，尖点突变法依据突变理论从严谨的数学推导而来，直接得到系统势函数的表达式；比能对比法从材料屈服理论的物理意义入手，物理概念更加清晰。从系统势能函数的表达式出发，将两者结合起来，通过限制某些变量，将三维曲线简化为二维曲线，可以更加方便地得到桩基极限承载力的取值。不同的承压桩和抗拔桩得到的极限承载力不同，主要原因是桩基破坏影响因素的复杂性、模拟静载试验逐级加载级差的影响以及桩型承载特点不同。因此，有必要进一步研究桩型、荷载加载步长、荷载传递函数等因素对极限荷载判定精度的影响。但就既有桩基的工程应用而言，按本文提出的方法推算基桩承载力，其误差范围是可以接受的。

4 结论

（1）根据突变理论和桩基系统比能函数建立的s2-N曲线，可以用于判别桩基础的极限荷载。当s2-N曲线出现尖点后，沉降量s陡增，说明岩土材料形成了联通的塑性区，尖点对应的加载值即为基桩极限荷载。突变最终体现在沉降量的陡增，物理意义较明确。

（2）通过桩土系统比能与桩周土抗剪强度的比值，可以判定桩土系统是否处于临界状态，为按理论方法推导尖点突变法提供经验实证，提高计算结果的可信度。

（3）尖点突变法与比能对比法应用于工程实践，只需将地勘和试桩参数中的桩长L、桩体弹性模量E、桩顶变形量s、桩侧土黏聚力c、有效内摩擦角φ 等参数代入式（1）-式（6）即可得到对比数据，具有可操作性和实用性。

（4）该方法得到的极限承载力与桩型、荷载加载步长、荷载传递函数等因素有关，同时，也未考虑桩身强度等因素的影响。在既有桩基极限承载力推算时应综合考虑，并留有一定余量。