基于层级约束的多无人车编队包含控制*

吴其林，林育明，崔峥嵘，赵晓敏

（1.合肥学院先进制造工程学院，合肥 230601；2.合肥工业大学汽车与交通工程学院，合肥 230009）

前言

近年来，得益于信息技术、计算机技术的快速发展，多智能体协同控制逐渐成为当下热点研究内容之一。当前主要研究内容在于如何通过合理的控制算法和协作策略，使得智能体组合成一定的编队形态并遵循期望的行为模式，包括一致性、跟踪、编队、包含、聚合等［1-5］。其中，多智能体编队包含控制在物资运输中发挥了重要作用。编队包含模式由外围编队和内部包含两种行为组成：外围成员形成稳定的队形后，监控周围环境，识别和排除潜在的安全风险；而用于运输重要物资的成员则在外围成员编队的保护中执行运输任务。编队包含控制技术可以有效保障运动过程中的安全性，在军事、工业、自动化领域中发挥重要作用，正逐步应用于无人机、无人车等运载工具。

文献［6］中首次提出了切换工作模式下的多智能体系统编队包含控制问题，并指出这类协同模式具有较好的鲁棒性、可扩展性和适应性。在编队包含问题提出后，国内外学者开始对其进行更广泛更深入的研究［7-12］。文献［13］中研究了基于有向图论的高阶线性时不变多智能体系统的编队包含问题，开发了一种启发式迭代算法来计算控制器增益、观测器增益以及补偿信号。文献［14］中通过变量代换将编队包含控制问题转换为一致性问题，利用Laplacian 矩阵的特殊性质以及领航者、跟随者之间关系，将一致性问题简化为低阶系统的稳定性问题。文献［15］中研究了在有向图下具有参数不确定性和输入扰动的多个Euler-Lagrange系统编队包含问题。文献［16］中从有向通信拓扑结构下的观测器角度出发，设计了一类新的基于分布式自适应观测器的控制器。文献［17］中针对有向通信拓扑的线性时不变群系统，提出了一种双层分布式编队包含控制方案。文献［18］中针对有界输入和时变时滞的Euler-Lagrange 方程建模系统，设计了分布式动态控制算法，并提出了保证网络收敛的充分条件。

目前对于编队包含控制的研究仍存在一些困难与挑战：主要是避撞性问题以及系统不确定性问题。首先，多智能体在进行编队和包含运动时，各智能体之间的位置相互靠近，可能会造成各成员的碰撞；其次，系统模型存在各类不确定性，这些不确定性可能来自外界扰动、系统参数变化等，直接影响了系统的稳定性，现有的处理方法主要有鲁棒控制［19-21］、自适应控制［22-23］、模糊方法［24-25］等。传统的鲁棒控制容易导致控制输入过剩，而模糊法中模糊推理的制定需要专业人员长时间的探索和大量实践经验。因此，本文重点考虑了编队包含模式下成员间的避撞性以及系统不确定性影响，基于约束跟随控制的方式实现多车系统的编队、包含行为。主要有以下3 方面贡献：首先，在系统的运动过程中通过合理的避撞约束保证多车间的避撞性能；其次，采用层级约束的形式，分别设计了领航层编队约束和跟随层包含约束，通过约束跟随的形式完成编队包含行为；最后，考虑了系统的时变不确定性，通过一类渐亏型自适应律估计系统的综合不确定性，并基于此设计了自适应鲁棒控制器，实现多无人车的编队包含行为，并在全过程中保证了各成员间的避撞性。

1 系统模型

编队包含系统如图1 所示，考虑由N辆无人车组成的编队包含系统，其中包括K辆领航车和NK辆跟随车，定义系统集合N={1，2，…，N}，定义领航车集合L={1，2，…，K}，定义跟随车集合为F={K+1，K+2，…，N}。系统的动力学方程如下：

图1 编队包含系统

式中：qi=[xi，yi]T表示坐标；τi=[τix，τiy]T表示控制输 入；Mi表示质量；Ci为科里奥利力；Fi=[Fix，Fiy]T表示所受到的外界阻力之和，包括滚动阻力、坡度阻力等；σi∈Σi⊂Rpi是未知参数，代表系统的不确定性。

2 层级编队约束设计

2.1 避撞约束设计

设任意两车的距离为ΔSij(t)：

式中：qi与qj表示任意两车的坐标；表示以车辆质心为圆心的安全半径。进一步定义：

构造如下函数：

对式（4）求1阶和2阶导数：

设计1阶避撞约束为=0，即

设计2阶避撞约束=0，即

则式（7）、式（8）可分别写成如下形式：

式中i，j∈{1，2，…，N}，i≠j。现将各车的避撞约束归纳写成如下形式：

当i=2，3，…，N-1时：

2.2 领航层队形约束设计

定义期望编队为：qj(t)-qk(t)=ϖjk，其中，ϖjk∈R2为表示任意两领航车辆相对位置的常向量。由此可定义编队误差如下：

设置1阶编队约束：

式中ljk>0 为常量。上述1 阶约束的解为ejk(t)=ejk(t0)ejk-ljkt，当t→∞时，误差ejk将收敛到0，且以指数形式的速度收敛，收敛速度与常量ljk有关。

对式（19）求导可得2阶约束形式：

对式（18）求导后整理得：

代入式（19）、式（20）可得：

则式（22）与式（23）可写成：

1阶和2阶约束分别归纳写成如下形式：

2.3 跟随层队形约束设计

令跟随车与各领航车的位置关系满足：

由式（30）可定义跟随车辆的包含误差：

设置包含约束：

式中ls>0为常量。对式（32）求导得：

接着，对式（31）求1阶和2阶导数得：

将式（34）与式（35）分别代入式（32）与式（33）：

包含约束式（36）与式（37）可写成：

3 层级编队控制设计

将全体车辆约束归纳如下：

领航层与跟随层中任意车辆i的约束为

定义1阶约束跟随误差：

对式（44）求导得：

由式（1）得：

接着，将Mi、Ci、Fi进行分解如下：

假设1：对于每一个(qi，t) ∈Rn×R，σi∈Σi，质量矩阵Mi(qi，σi，t)是正定的。

假设2：对于任意方阵Pi∈Rn×n，Pi>0，令

存在一个可能未知的常量ρEi满足：

假设2 实际上是对于系统质量不确定性的界限做出了一定的限制，即标称质量与实际质量之间的偏差有界。

假设3：

（1）存在一个常向量αi∈(0，∞)ki和一个已知函数Πi：(0，∞)ki×R2N×R2N×R2N×R →R+，

（3）该函数为关于αi的非递减函数。

假设3 中的函数Πi(αi，q，，，t)实际上表示的是系统不确定性的上界。

基于以上假设，给出控制器形式如下：

给出的控制器由3部分组成，前两部分为

pi1是由Udwadia-Kalaba 方程得到的理想约束力，具体推导过程可见文献［26］。pi2中的λi为大于0 的常量参数，ηi=Ai-ci表示系统的约束跟随误差。

控制器的第3部分控制：

式中：εi>0 为常量参数；r为大于2 的整数；由式（59）渐亏型自适应律控制。

其中，Πi(，q，，，t)用于估计不确定性的上界，即假设3中的Πi(αi，q，，，t)。由于假设3中的αi无法确定，因而采用式（59）自适应律中的来估计αi的值。

控制设计思路如图2 所示。针对领航者，设计编队约束以及避撞约束，得到领航层的理想编队控制，再通过自适应律设计Π函数，从而设计补偿不确定性的控制部分。跟随层控制设计同理。

图2 控制设计思路

证明：选取李雅普诺夫函数

对其求1阶导数：

分析式（61）第1项，由式（46）有：

由式（54）有

由式（55）可得：

由式（56）可得：

由式（57）得，式（65）等号右边第1项有：

回顾假设2，式（65）等号右边的第2项有：

将式（66）、式（67）和式（58）代入式（65）得：

由式（51）可得：

将式（63）、式（64）、式（68）和式（69）代入式（62）得：

接着，分析整理式（61）等号右边第2项：

将式（70）、式（71）代入式（61）可得：

系统还具有一致最终有界性：

4 仿真结果与分析

选取N=7 辆无人车，其中包括K=4 辆领航车。安全半径选取=0.5。

跟随队形参数选取：ϵ51=ϵ52=0.4，ϵ53=ϵ54=0.1；ϵ61=ϵ62=ϵ64=0.17，ϵ63=0.49；ϵ71=ϵ72=ϵ73=0.17，ϵ74=0.49。

系统参数：M1，2，3，4=60+3sint，M5，6，7=70+4sint

根据假设3，可选取Πi函数：

式 中αi1，αi2，αi3>0 是未知的常数参数且αi=max{αi1，αi2/2，αi3}。

选取初始条件：q1=[0 0]T，q2=[-1 3]T，q3=[4-3]T，q4=[5 5]T，q5=[6 2]T，q6=[7 3]T，q7=[9 4]T，=[1 0]T(i=1，2，…，7)。

仿真结果如图3～图12所示。

图3 队形变化情况

图3（a）～图3（d）分别表示t=0、t=2 s、t=5 s、t=20 s时队形变化情况。在t=0时，各车位置无明显的编队关系；在t=2 s时，跟随车5、6已基本进入到领航车包围中；t=5 s 时，领航车和跟随车辆分别初步形成了领航编队跟随队形；t=20 s 时，领航车和跟随车已形成稳定的编队包含队形。

图4 显示了领航车Sij的变化情况。各车距离在t=15 s时达到稳定状态。S12、S13、S24和S34均稳定在24 m 左右；S14、S23均稳定在49 m 左右。整个过程始终有Sij>0。

图4 领航车距离变化

图5 显示了各跟随车Sij变化情况。在t=25 s时刻后，S56、S57均稳定在5 m 左右；S67稳定在2.5 m左右，整个过程始终有Sij>0。

图5 跟随车距离变化

图6 显示了任意领航车与任意跟随车之间Sij变化情况。在全过程中，Sij均大于0。

图6 其余车距变化

图7 显示各领航车的编队误差ejk情况。各误差在t=15 s 后均下降到0 左右，并在之后稳定保持在0附近。

图7 领航车编队误差

图8 显示了跟随车的包含误差es变化情况。在t∈[0，10] s 内，包含误差均快速降至0 左右，在t∈[10，20] s 内，波动逐渐减小，在t=25 s 之后无明显波动。

图8 跟随车包含误差

图9 各车约束跟随误差

图10 显示了各车的自适应参数变化情况。领航车自适应参数在t∈[0，5] s内先快速增大，后逐渐减小；而跟随车的自适应参数则保持相对较小。

图10 各车自适应参数

图11 和图12 分别显示各车在X、Y方向的控制输入情况。各车控制输入先快速增大后减小，峰值在500 N 左右。在t=10 s 后，各无人车在X、Y方向上的控制输入逐渐稳定。其中，领航车辆的控制输入均稳定在0 左右，只有轻微的波动，且波动越来越小；而跟随车辆的控制输入均稳定在-20 N左右。

图11 各车X方向上的控制输入

图12 各车Y方向上的控制输入

5 结论

本文针对多车协同系统中存在的不确定性问题，基于Udwadia-Kalaba 方程设计了一种自适应鲁棒控制方法，并应用到多无人车编队包含协同系统中。对于系统中存在的快速时变不确定性，构建了不确定性边界估计函数，通过渐亏型自适应律估计不确定参数，从而设计了针对系统不确定性的补偿部分。通过李雅普诺夫方法验证了系统具有一致有界性和一致最终有界性，并进行仿真验证。仿真结果显示：针对初始零散分布的多无人车系统，在所设计的自适应鲁棒控制作用下，各成员按照领航车和跟随车划分，分别形成矩形编队和包含队形，并在全过程中无任何碰撞发生。