压电材料平面Ⅰ型裂纹模拟仿真分析*

梅 杰 宋 钢 李立杰 陈定方 李 杨

武汉理工大学交通与物流工程学院 武汉 430063

0 引言

压电材料因其独特的压电效应可以将机械能转换为电能，在能量收集装置和传感器等智能结构中得到广泛应用。由于压电材料的脆性以及在制备过程中的孔洞、夹杂、微裂纹等缺陷的产生，常导致基于压电材料的智能结构在实际应用中丧失所期望的性能，甚至产生破坏从而影响整个系统的功能[1-5]，这迫使必须研究出压电材料断裂的力学机制，从而为压电材料的可靠性分析提供理论基础。其中，I 型裂纹是导致结构断裂的主要原因，也是多年来实验和理论研究的主体，大量数据表明，压电材料裂纹一般从中心产生然后扩展至断裂[6，7]，故本文将压电平面I 型中心裂纹作为研究的重点。

1 压电材料平面I 型裂纹解析解

1.1 压电材料平面问题基础控制方程

描述压电材料的基本控制方程包括平衡方程、几何方程和本构方程。本文讨论的压电材料是横观各向同性材料，假设研究对象区域为Ω，z轴为极化轴，在压电材料内部坐标系如图1 所示，图中z轴正方向表示压电材料的极化方向。压电材料中常用1、2、3 代替坐标系xyz表示。

图1 压电材料内部坐标系

目前研究的压电智能结构大多采用机械夹持电学短路的边界条件，其相对应的第2 类压电本构方程采用应变和电场强度作为自变量，对于横观各向同性的压电材料板的平面应变问题，应变分量s22=s12=s23=0、电场分量E2=0，为了方便计算表达，记x→x1，z→x3，可得第2 类本构关系为

梯度方程为

式中：σij为应力，cij为弹性常数，sij为应变，eij为压电常数，εij为介电常数，Di和Ei分别为电位移和电场，u、w为位移分量，φ为电势。

1.2 压电材料平面中心裂纹问题

据研究表明，压电材料中裂纹一般在中心产生然后扩展发生断裂，假设一个含有中心裂纹的二维压电材料板，板位于xoz平面，极化方向沿z轴正方形，裂纹长度为2a，在无穷远处作用有沿z方向的应力σ和电位移D，建立如图2 所示的力学模型。

图2 压电材料中心裂纹问题力学模型

整理求解得到应变分量和电势分量表达式

其中

由梯度方程（3）中消去u、w、φ可得变形协调方程

引入势函数U=U(x1，x3)和φ=φ(x1，x3)使得

将式（6）代入式（4）中，得到势函数表示的应变和电势分量后代入式（5）中，消去φ(x1，x3)=得到关于U(x1，x3)的偏微分方程组为

设势函数U(z)=U(x1+λx3)，将U(x1+λx3)代入式（7）中可得特征方程为

式（8）的特征根赋值后可求得特征根，设特征根为

式中：α2、β1、β2为常数。

由复变函数知识，设方程（7）的实值解为

其中

式中：aj、bj为系数，j=（1，2，3）。

由式（5）和式（6）可得用U表示的函数φ

将式（10）代入（11）中得

其中

将式（10）和式（12）代入式（6）中得到裂纹尖端的应力场和电位移场为

对于所假设的平面压电材料板中心裂纹问题，不考虑裂纹闭合的情况，采用绝缘裂纹边界条件比较合适，得到问题边界条件为；当

考虑到压电材料板的对称性，选取函数为

当 |x1|＜a、x3=0 时可得

当x1→∞、x3→∞时即有

将式（14）到式（17）代入边界条件中，可得方程组为

求解式（21）得到系数a1、a2、a3、b1、b2、b3的值为

将得到的系数a1、a2、a3、b1、b2、b3代入式（13）～式（17）中即可得到压电材料裂纹尖端的应力场和电位移场。其中σ33和D3为

对于平面压电材料中心裂纹问题，Ⅰ型裂纹应力强度应力因子和电位移强度因子可定义为

将式（22）和式（23）代入式（24）中求得

电位移D由压电材料本构方程知可用应力和电场表示为

式中：E为施加的电场载荷。

根据Kuna M[8]的相关研究发现，应力强度因子与应变能释放率之间的关系为

式中，cT、cL、cA、e、κ为压电材料参数。

对于Ⅰ型裂纹，表示为

于是，其中的机械应变能释放率和电势能应变能释放率可得：

电势应变能释放率为

机械应变能释放率解析解为

2 有限元模拟数值分析

2.1 虚拟闭合裂纹法

为了使分析计算更加简化，文献[9]提出了对于平面问题只需要一步分析的虚拟裂纹闭合法。虚拟裂纹闭合法假设实际裂纹尖端与虚拟裂纹尖端处的张开位移近似相等，虚拟裂纹闭合法数值计算原理如图3 所示。

图3 虚拟闭合法数值计算原理

虚拟闭合裂纹法计算三维8 节点单元压电材料应变能释放率的公式为

总应变能释放率中去除掉电学部分得到机械应变能释放率表达式为

对于二维4 节点单元，平面 型裂纹的机械应变能释放率

2.2 压电材料板中心裂纹有限元建模

采用虚拟裂纹闭合法和Abaqus 有限元软件来计算压电材料平面中心裂纹（Ⅰ型裂纹）扩展问题的机械应变能释放率，将计算结果与解析解相对比，验证计算结果的精确性。假设一块50 mm×50 mm 的压电材料板，板中心含有0.24 mm 的细小初始裂纹，如图4 所示。压电材料选择PZT-5H，材料参数如表1 所示。

表1 压电材料PZT-5H 参数

图4 压电材料含中心裂纹板及简化计算模型

选择压电材料等参平面为x-z平面，极化方向沿y轴方向。由于对称性，在Abaqus 中可只取一半模型进行分析，选取右半平面进行分析。采用Debond 方法进行裂纹模拟时，需事先定义裂纹及裂纹表面，因此将右半平面分为右上和右下平面两部分进行建模，在2 部分交界处定义裂纹及裂纹平面。

Abaqus 软件中的Debond 方法设置了4 种不同的断裂判据，本文选择其中的临界应力准则又称应力失效准则，其定义为

式中：σn为垂直于裂纹面的法向应力分量，τ1，τ2为裂纹面剪切应力分量；σf，τ1f，τ2f为法向和切向临界应力。

当f≥1 时，节点开裂。

对于平面Ⅰ型裂纹，法向应力是主要影响因素

在确定Debone 方法的断裂判据之后，软件中模型建立的操作步骤为：

1）建立部件 对于平面问题在部件类型上选取壳类型，建立右上和右下2 个部件，尺寸为25 mm×25 mm，在两部件接触面上采用定义出长为0.12 mm 的线段作为初始裂纹，再定义一部分长度作为裂纹扩展长度。

2）定义材料与截面属性 定义压电材料时，需要定义材料的弹性、压电及介电参数；截面选择实体、均质，同时需要定义材料截面方向。值得注意的是，由于实际材料与Abaqus 软件中设置材料的等参平面和极化方向不同，在软件中输入参数时需要对参数进行坐标转换

3）装配和接触属性 在装配时选择独立类型；定义接触时裂纹表面设置一般接触，上下表面分别设置为主接触面和从接触面，在不会分开的非裂纹面设置Tie接触，放置一般接触面过大导致裂纹扩展时出现单元扭曲；最后定义主从表面接触属性。

4）网格划分 为了提高裂纹尖端的计算精度，对裂纹尖端的网格进行加密处理，远离尖端的网格稀疏划分节省计算成本，模型网格划分如图5 所示。

图5 模型网格划分

5）载荷和边界条件 载荷可以分2步施加，在步骤1）中施加电压，步骤2）中施加机械载荷，机械载荷为计算模型的临界载荷。由于对称性，模型左端x方向位移固定为零。

6）定义Debond 方法关键字 Debond 方法通过关键字定义在Abaqus 中实现，主要分为定义初始状态和激活裂纹拓展2 部分。

①定义初始状态 定义初始状态（Initial Condition）用以识别裂纹绑定部分。通过可以定义接触从面（Slave Surface）、接触主面（Master Surface）、以及用来识别从面初始粘接节点的加点集合，在这些节点上为粘接接触，其他部分为常规接触面。定义后初始接触状态将被用于指定的节点集合，定义接触点的语句为

*INITIAL CONDITIONS，TYPE=CONTACT

upper-1.master，bottom-1.slave，bondnodes

其中upper-1.slave 和 bottom-1.master 为相互作用中设置的Slave 和Master 表面，Bondnodes 为选取的需要debond 的裂纹部分节点

②激活裂纹扩展 裂纹扩展的能力需要在分析步*Step 中被激活，通过定义后才会在定义好的方向上产生裂纹的扩展，此时需要定义接触粘接的面，关键字为

其中，关键字Critical Stress 为断裂准则，Distance为需要采集的应力与裂纹尖端的距离，1e6 为拉伸应力值，后面的2 个0 分别是2 个切应力。

模型建立好后提交计算，对于不同的工况分析，仅在载荷施加步骤改变载荷数值即可，其余步骤相同。计算完后Abaqus 的后处理界面提取出裂纹尖端节点力及节点载荷，然后结合虚拟裂纹闭合法得到机械应变能释放率。

2.3 数值结果分析

通过Abaqus 软件和虚拟裂纹闭合法得到机械应变能释放率与解析解相比较。首先研究仅作用力载荷作用的情况，当作用1 MPa 拉应力时，不同裂纹长度时的应力云图如图6 所示。

图6 裂纹扩展至不同长度时应力云图

由图6 可知，在裂纹扩展时裂纹尖端的应力值始终为最大值，这是由于裂纹尖端存在应力集中的情况，和实际结论相符合。通过Abaqus 软件对有限元模型进行模拟仿真，在后处理模块中提取对应的节点力和节点位移，将节点力与节点位移值代入式（33）中，得到力加载下数值模拟计算数值解与解析解对比结果如图7所示。

图7 应力σ=1 MPa 加载下机械应变能释放率数值解与解析解

由图7 可看出，在仅有应力加载下，机械应变能释放率随着裂纹扩展呈线性增加，裂纹长度越长机械应变能释放率越大，说明裂纹长度越长结构越容易发生裂纹扩展。数值模拟计算结果和解析解吻合很好，说明Abaqus 软件有限元仿结合虚拟裂纹闭合法求解压电材料断裂问题具有可行性。

为讨论压电材料裂纹在不同力加载情况下的扩展情况，分别在同一裂纹长度a=0.12 mm 下施加1 MPa、2 MPa、3 MPa、4 MPa、5 MPa 的应力，得到的数值解与解析解对比如图8 所示。

图8 不同力加载下机械应变能释放率数值解与解析解

从图8 中可以发现，数值解与解析解吻合程度依旧良好，机械应变能释放率随着施加应力的增加而变大，且随着力加载的变大，机械应变能释放率变大的速率在增加，说明应力越大，裂纹不仅越容易扩展，且抵抗扩展的能力在下降。

同样地，为分析压电材料裂纹在不同电加载情况下的扩展情况，分别在同一裂纹长度a=0.12 mm 同一力加载情况下施加E=10 000 V/m、50 000 V/m、100 000 V/m的正电场和E=-10 000 V/m、-50 000 V/m、-100 000 V/m 的负电场作用，得到结果如图9 和图10 所示。

图9 同一力载荷加载下机械应变能释放率与解析解

图10 不同电场加载下机械应变能释放率数值解与解析解

从图9 可以看出，当电场强度增加到E=-100 000 V/m 时，计算得到的机械应变能释放率变为负值，这是因为在强负电场作用下，裂纹上下表面互相挤压并没有出现开裂导致计算结果出现负值。

从图10 中可看出，同一裂纹长度、机械载荷不变时，正电场的增加导致机械应变能释放率增加，负电场强度的增加机械应变能释放率减小，且基本处于一个线性变化的趋势，说明正电场对裂纹的扩展起促进作用，负电场对裂纹的扩展起抑制作用。

3 结语

1）数值算例的数值解与解析解良好吻合说明了有限元模拟与虚拟裂纹闭合法结合应用到压电材料断裂问题分析的可行性。

2）机械应变能释放率随着外加力载荷的增加而增加，且变大的速率也随之增加，说明施加的应力越大，材料抵抗裂纹扩展的能力变得越弱。

3）当强负电场作用下时，机械应变能释放率会因为裂纹面互相挤压变成负值，一般电场下，正电场对裂纹扩展起促进作用，负电场则抑制裂纹的扩展。