物理强基测试中估算问题赏析

丁庆红 静 玮 付永敢

(1.北京教育学院石景山分院 2.北京市怀柔区教科研中心 3.北京市房山区教师进修学校)

纵观近些年的物理强基试题,出现了不少估算问题,这些问题往往以真实情境为素材,通过灵活开放的设问,综合考查学生建立物理模型、推理论证等方面的能力和素养.估算问题的特点是重“理”不重“数”,不追求数据的精确而强调方法的合理,经常要利用物理概念、规律和常识对物理量的数量级进行快速计算.解决估算问题的关键有三,一是要善于抓住主要因素,建立物理模型;二是要善于挖掘隐含条件;三是要适当选取数据,合理近似计算.如阿伏伽德罗常数可取NA＝6×1023mol-1,室温可取T＝300K,空气的摩尔质量取M＝2.9×10-2kg等.

1 估算人体平均密度

2 估算西伯利亚猛犸象的解冻时间

A.23天 B.273天

C.2300天 D.以上都不对

为简化计算,假设它们的平均密度相同,设为ρ;它们的比热容相同,设为c;它们的表面和球心的温差也相同,设为ΔT.则火鸡的质量,西伯利亚猛犸象的质量

根据热传导定律,传递的热量与温度梯度(温度差除以距离)、接触面积和时间成正比,可知在时间t1内,传递给火鸡的热量为.而解冻火鸡需要的热量,则

解得解冻火鸡需要的时间

同理,解冻西伯利亚猛犸象需要时间

把t1＝2 天,m＝5kg,M＝8t代入上式,解得t1≈273天.

3 估算常温常压下气体分子单位时间内的碰撞次数

A.1012B.109

C.106D.103

式中R＝8.31J·(mol·K)-1,称为普适气体恒量.最概然速率常在讨论气体分子速率分布等问题时使用,平均速率常在讨论气体分子碰撞、分子间距等问题时使用,而方均根速率常在讨论气体分子平均动能等问题时使用.在室温下,这三种速率都在每秒数百米左右.

设氮气的摩尔质量为M,则每个氮气分子的质量为.结合克拉珀龙方程,可得单位体积内的分子数

下面我们建立一个模型来求解单位时间内氮气分子的碰撞次数.设某个氮气分子以平均速率运动,取(由于是估算,也可以用上述另外两种速率来替代).氮分子的有效截面积为πr2,则单位时间内扫过的体积为,该体积内的气体分子将被氮分子碰撞,其分子数目就是氮分子碰撞的次数,即

可见,选项B正确.

【拓展】在上述模型下,如果对气体分子热运动的一些数据有了解,即可快速求解.如在室温下,上述气体分子的三种速率都在每秒数百米左右,与枪弹的速度差不多.在标准状态下,气体的分子数密度为n0＝1025m-3.我们取,则每秒氮气分子与其他空气分子碰撞次数

4 一个关于艾里斑问题的估算

A.12km B.9km

C.6km D.3km

当两物点在透镜焦平面上所形成的两个艾里斑中心的距离等于一个艾里斑的半径时,通常认为两个物点刚好能被人眼或光学仪器所分辨,这一条件称为瑞利判据.

如图1所示,车两灯间距l＝1.2 m,人眼睛的瞳孔直径D＝4.0mm,由于光的衍射,车灯会形成一个艾里斑,艾里斑的角半径为,即为人眼的最小分辨角.两车灯能否被分辨,取决于两灯对人眼的张角θ和人眼的最小分辨角θ0的关系,当θ≥θ0时能分辨.

图1

根据瑞利判据θ＝θ0,有关系式.解得

代入数据得d＝6km.故选项C正确.

5 估算小球做减速圆周运动的时间

A.2s B.5s

C.20s D.100s

图2

可见,小球做加速度越来越小的减速运动.由于加速度a与速度v的平方关联,对该方程进行精确求解是很困难的.

下面另辟蹊径,用半定量的方法来进行估算.当小球的速度v0＝10m·s-1时,其加速度最大为

当小球刚要停下来时,其加速度最小,为amin＝μg＝0.1m·s-2.如果小球保持amax＝0.2m·s-2不变,则其停下来的时间为.如果小球保持amin＝0.1m·s-2不变,则其停下来的时间为

由于小球做加速度减小的减速运动,故其停下来的时间接近100s.选项D 正确.

代入数据,解得t＝78.5s.

6 估算棒球的速度

A.7.0m·s-1

B.6.5m·s-1

C.5.7m·s-1

D.5.3m·s-1

考虑到实际,有三种可能情况.

一是弹性碰撞,即碰撞前后机械能守恒,这种情况下碰后球的速度最大.则,解得

二是完全非弹性碰撞,机械能损失最多,也就是碰撞后球的速度为v＝ωl,这种情况下球的速度最小,解得三是介于上述两种情况之间,球获得的速度也介于两种情况之间.故选项A、B、C、D 均正确.

7 子弹击中木板中部与边缘

图3

A.两木板质心上升高度相同

B.甲质心高

C.乙质心高

D.乙中木板将绕质心匀速转动

如图3-乙所示,设木板长度为l,忽略桌腿外侧木板的长度,以木板与左侧桌腿接触处为转动点,当子弹m击中板右端时,由角动量守恒得

再选择右端点为转动点,设木板左端所受支持力为F,由角动量定理得F·l·Δt＝I1ω,解得F·Δt＝Mlω.对子弹与木板组成的系统,由动量定理有

即hb＞ha,所以选项C正确.

【拓展】1)上述解法中,我们还可以利用题设条件,m≪M,则,显然图3-乙中木板上升的高度大.

2)作为选择题,还有更简洁的方法.假设子弹没有击穿木板,则子弹射入木板相当于完全非弹性碰撞.对木板和子弹组成的系统,题中两种情况子弹提供的冲量相同,但图3-乙中从一端击中时有桌腿额外提供的冲量,所以图3-乙中木板质心速度会更大.

8 一道关于子母球问题的估算

图4

A.地软时,h2≈h1

B.地软时,h2≫h1

C.地硬时,h2≈h1

D.地硬时,h2≈3h1

E.地硬时,h2≈9h1

若地软,则小球落地后不反弹,速度为0,题中h1＝0.大球落地虽也不反弹,但小球以速度v0＝和大球碰撞后,将以同样大小的速度反弹,则小球会上升到释放时的位置,则h2＝h≫h1.

从上面分析的问题背景来看,强基试题注重考查与学生生活实际的联系,如估算人体平均密度和估算解冻时间;注重考查科学理论和技术中的典型问题,如关于艾里斑问题的估算,引导学生关注光学仪器的分辨率;注重考查中学物理的经典问题,如子母球问题.强基试题旨在引导学生关注社会,关注技术与应用,联系生产生活实际,学会理性思考;通过真实复杂问题的解决,引导学生建立模型,利用物理概念、规律、常识和恰当方法,通过推理论证,得到可靠结论,发展核心素养.

(完)