2022年新高考Ⅰ卷第21题解法探究及教学启示

邓入文 罗毅

[摘  要] 文章探究2022年新高考Ⅰ卷第21题的四种解法，挖掘题目的知识背景，剖析高考热点，探索解法蕴含的数学思想，寻求其对解析几何教学以及学生数学学科核心素养发展的价值.

[关键词] 新高考;解法探究;教学启示

教学启示

以上是笔者独立探究、合作交流得到的四种解法，供广大读者参考. 然而，笔者认为仅仅获得一个高考题目的多种解法是不够的，更应通过解题方法探究题目对高考备考、课堂教学甚至对学生数学能力发展的意义和价值. 所以，笔者通过对上文四种解法的再研究，结合新课标的要求以及新高考试题的特点，得到如下启示.

1. 解析几何的试题研究要关注知识背景、把握高考热点

解析几何中的很多问题本身具有深刻的几何背景，在方程的处理过程中，又产生了具有多元多项式体系背景的方程形态.

在本题中，点A，P，Q均在双曲线上，△PAQ是双曲线C的内接三角形，其两边AP，AQ所在直线的斜率之和为定值0，得到另一条边PQ所在直线的斜率为定值-1. 这一结论源于圆锥曲线的一个性质：

过圆锥曲线上一定点P任作两条动弦PA，PB. 当这两弦的斜率之积、斜率之和或者倾斜角之和三者中有一个为定值时，动弦AB所在直线过定点或有定向[1].

2020年新高考Ⅰ卷第22题，2021年普通高校招生全国统一考试适应性测试（即八省联考）第7题，分别以椭圆和抛物线为载体对上述结论进行了考查.

在本题第（1）问的解法三中，可以看到了一个方程=·，它体现的又是一个性质：

在双曲线E的内接△ABC中，若直线AB与AC的斜率之和为0，则E在点A处的切线斜率与直线BC斜率之和也为0[2].

可见，高考命题人对圆锥曲线试题的命制，往往会以圆锥曲线的某些研究结论为基础，借助不同的图形为载体来实施. 因此，在教学中，特别是在复习备考的教学中，教师不仅要研究高考试题的解法，更应把握高考命题的热点和趋势，挖掘试题的知识背景，抓住问题的“根”.

2. 解析几何的思维引领要渗透学科思想、发展学科素养

在解决解析几何问题的基本过程中，重要环节是“用代数语言把几何问题转化成为代数问题;根据对几何问题（图形）的分析，探索解决问题的思路;运用代数方法得到结论;给出代数结论合理的几何解释，解决几何问题”[3]. 函数与方程方法是解决解析几何问题的基本代数工具，函数与方程思想是基本的数学思想，其中函数思想是“利用运动变化的观点分析具体问题中变量间的关系，并通过函数的形式表示出来，加以研究，从而使问题获解”[4]的数学思想，方程思想是“从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为方程，然后通过研究方程使问题获解”[4]的数学思想.

在前面的解法探究中，第（1）问的解法二就蕴含了函数思想：建立直线PQ的斜率与直线AP的斜率的函数关系，通过对其表达式的运算探究，得到直线PQ的斜率为定值-1. 第（2）问的解法二则蕴含了方程思想：当tan∠PAQ=2时，△PAQ的形状和大小唯一确定（这里还蕴含了数形结合思想），要探求△PAQ的面积，只需将tan∠PAQ=2转化为与△PAQ面积相关的条件即可. 解法一中的P，Q的坐标，解法二中的直线AP的斜率，解法四中的参数λ和m，其实都是所建立的方程中的变量，求解这些变量的值，是求解△PAQ面积的最关键的环节.

可以看到，逻辑推理与数学运算两个数学学科核心素养在解析几何问题的求解过程中发挥着显著作用. 逻辑推理体现在：需要在问题设问情境中捕捉图形的“动”与“静”，从而建构函数或方程，将几何信息转化为代数表達. 数学运算作为演绎推理的一种形式，其贯穿解题始终. 所以解析几何问题是发展学生逻辑推理与数学运算素养的有效土壤.

3. 解析几何的解法指导要遵循通性通法，适度形成技巧

通性通法是在学科素养导向下产生的、在学科思想引领下的解决问题的一般方法. 通过作图，直观感知图形情境中的“动态”与“静态”，“变化”与“不变”;通过建构变量与变量之间的关系，形成函数;通过建构方程获解，实现求值，都是求解解析几何问题的一般方法. 强化通性通法，有利于学生形成底层思维、夯实思维基础，有利于学生寻找解决问题的入门口，层层递进，推动问题的解决.解法一和解法二都是基于通性通法的解题路径.

然而，通性通法解题也有其弊端，在综合问题情境中，它可能产生较大的思维量和运算量，降低解题效率. 所以，对于学有余力的学生，有必要适度培养其解决问题的技巧，这有利于学生解题能力的提升. 第（1）问的解法三采用结构处理技巧，通过平移变换，削除方程中的常数项，简化了方程，使问题易于获解;解法四通过巧妙构造曲线系方程和函数计算·，也显著降低了运算难度.

结语

高考对高中教学具有强烈的导向作用，研究高考试题是高中教师的基本工作之一. 不仅要研究高考试题的各种解法，还应深入挖掘它的知识背景、考查方向、学科思想、学科素养等，从解法探索上升到考法研究、教法优化以及学法指导，让试题发挥其多维度的教育教学价值，真正发展学生的理性思维.

参考文献：

[1] 李昌. 圆锥曲线动弦的“保值性”[J]. 中学数学，2012（03）：9.

[2] 罗毅，曾文军. 仿射圆锥曲线中一对直线斜率积（商）不变性探究[J]. 数学教学通讯，2022（06）：87-88.

[3] 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[4] 教育部考试中心. 2019年普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明·理科[M]. 北京：高等教育出版社，2018.