求解三角形面积问题的方法

凌苏建

三角形面积问题的难度不大，通常要求根据已知的三角形边、角及其关系，求三角形的面积或最值.这类问题侧重于考查正余弦定理、勾股定理、三角函数的定义、三角形的面积公式的应用.下面结合一道例题，谈一谈求解三角形面积问题的方法.

例题：已知[ΔABC]的内角[A，B，C]的对应边分别为[a，b，c]，若[acosB=bcosA]，边[BC]上的中线AD=4，求[ΔABC]面积的最大值.

要求[ΔABC]面积的最大值，需先根据三角形的面积公式[S=12bcsinA]或[S=12][×]底[×]高，求得三角形[ΔABC]的面积表达式；再运用基本不等式或三角函数的性质求得[ΔABC]面积的最值.

一、利用正余弦定理

我们知道，正弦定理：[asinA=bsinB=csinC=2R].余弦定理：[a2=b2+c2-2bccosA]；[b2=a2+c2-2accosB;c2=a2+b2-2abcosC].要求三角形的面积或最值，需利用正余弦定理进行边角互化.一般地，若已知的边及其关系较多，往往需运用余弦定理将边化角；若已知的角及其关系较多，往往需运用正弦定理将角化边.也可同时运用正余弦定理建立关于边、角的方程（组），通过解方程（组），求得三角形的边、角及其关系式，从而求得三角形的面积或最值.

我们根据题意很难直接求得[ΔABC]的面积，于是运用割补法将[ΔABC]三角形分成6个全等的小三角形，将问题转化为求[SΔAGO]的最值，根据三角函数的有界性求得问题的答案.在割补图形时，往往要仔细研究图形的结构特征，对其进行合理的分割，且割补的方式不一样，运算的过程也会有所差异.

可见，解答三角形面积问题的方法很多，同学们需运用发散性思维，将问题与三角形的性质、正余弦定理、图形的面积公式、阿波罗尼斯圆的定义等关联起来，寻找最佳的解题方案.在解答三角形面积问题时，需注意一些隐含的条件，如（1）三角形的边长、面积均为正值；（2）三角形的内角为（0，180o），三个内角和为180o；（3）三角形的兩边之和大于第三边，两边之差小于第三边，否则会容易得出增解或错解.