厘清要点 突破难点

2023-10-03 14:55赵军
初中生世界·九年级 2023年9期
关键词:每辆代数式剖析

赵军

在学习本章内容时,同学们偶尔会遇到一些困惑。那么,我们该如何找准方法,突破难点,解除困惑,使自己的思维和能力得以提升呢?下面,我们一起来盘点本章的难点问题,并对这些典型问题进行剖析与归纳,希望对大家的学习有所帮助。

一、配方法和根与系数关系的灵活应用

(1)求证:无论k为何实数,方程总有两个不相等的实数根;

(2)若方程的两个实数根x1、x2满足x1-x2=3,求k的值。

【问题剖析】(1)首先表示出根的判别式b2-4ac=2k2+4k+9,然后运用配方法证明这个代数式大于0,即证明2k2+4k+9=2(k2+2k+1-1)+9=2(k+1)2+7大于0,因为(k+1)2≥0,所以2(k+1)2+7>0,问题得证。

【方法归纳】运用配方法的第一步是处理二次项系数,如果二次项系数不为1,则要提到括号外,然后在括号内完成配方。其关键是根据一次项系数配出“尾平方”,即配出的常数项是一次项系数一半的平方,所以难点是如何找出这个“常数项”。运用根与系数之间的关系时,要将条件向两根之和、两根之积转化,最终还要注意检验方程是否有实数根。

二、含字母系数的因式分解

例2 已知△ABC的两边AB、AC的长分别是关于x的方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根,第三边BC=5。当k为何值时,△ABC是直角三角形?

【问题剖析】仔细分析,常数项为k2+3k+2=(k+1)(k+2),故可运用“十字相乘”法进一步因式分解,即[x-(k+1)][x-(k+2)]=0,所以x1=k+1,x2=k+2。因为k+1<k+2,所以斜边可能是k+2或5。①当(k+1)2+52=(k+2)2时,k=11,此时k+1=12,k+2=13,符合题意;②当(k+1)2+(k+2)2=52时,k1=2,k2=-5,经检验:k=-5不符题意。所以k=11或2时,△ABC是直角三角形。

【方法归纳】本题中,我们视k为常量,以“我的眼中只有你(x)”进行拆分,观察能否运用“十字相乘”法进行因式分解,在用含k的代数式表示出方程的根之后,再依据条件列方程求k,同时要注意将所求结果代到题目中进行检验。

三、应用题中的“每……每”问题

例3 某公司8月份销售A品牌汽车,在一定范围内,每辆汽车的進价与销售量有如下关系:若当月仅售出1辆汽车,则该汽车的进价为27万元,每多售出1辆,所有售出的汽车每辆的进价均降低0.1万元。月底厂家根据销售量一次性返利给公司,销售10辆以内(含10辆),每辆返利0.5万元;销售10辆以上,每辆返利1万元。若每辆汽车的售价为28万元,该公司计划当月盈利12万元,则需要销售多少辆汽车?

【问题剖析】所谓“每……每”问题,即题目中的条件:“每多售出1辆,所有售出的汽车每辆的进价均降低0.1万元。”若设售出x辆汽车,则售出的汽车每辆进价为[27-0.1(x-1)]元,结合返利,分两种情况列方程。

①当x≤10时,[28-27+0.1(x-1)]x+0.5x=12,解得x1=6,x2=-20(舍去);

②当x>10时,[28-27+0.1(x-1)]x+x=12,解得x1=5,x2=-24(均不符题意,舍去)。

所以,当销售6辆汽车时,当月盈利12万元。

【方法归纳】解决“每……每”问题的关键有两点:一是理清进价与销量之间的关系,当销量为x辆时,如何用含x的代数式表示进价;二是如何计算利润。而在列出方程、解出方程后,我们还要注意检验方程的解是否符合实际意义。

事实证明,只要我们对疑难问题剖析深刻,理解到位,那么,“原本的问题”将不再成为问题,而会变成我们成长的阶梯。

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