高职高专《高等数学》中的一个课程思政案例探讨

陈智豪

【摘要】在高职高专《高等数学》的教学过程中，重要任务是实现“立德树人、铸魂育人”.文章以《高等数学》中的“二重积分的定义”为例，在教学过程中设计了问题引导、实例分析、总结归纳等环节，将课程思政元素融入该知识点的教学中，旨在深化该课程的思政育人功能.

【关键词】高职高专；高等数学；课程思政

【基金项目】全国轻工职业教育教学指导委员会年度课题，高职高专《高等数学Ⅱ》课程思政的改革与实践，2021年12月立项（编号：QGHZW2021049）.

在印发《高等学校课程思政建设指导纲要》之后，教育部召开了高校课程思政建设工作调研推进会，全面推进课程思政建设.2021年5月，教育部面向普通本科教育、研究生教育、职业教育和继续教育推出一批课程思政示范课程、教学名师和团队、教学研究示范中心.在百家争鸣、百花齐放的各色成果逐渐形成之际，诸多“数学人”也始终不忘教育教学的初心，在前行的道路上不断思索与实践.

作为一门理科类的课程，如何挖掘《高等数学》的课程思政元素呢？事实上，理科类课程本身就是一部科学家不断追求真理的奋斗史，可以深刻地体现人对于“真善美”的追求.“真”就是真理，科学中不仅包括了学科知识，还蕴含了大量的客观真理；“善”就是优良，在历史的长河中优良的既有文化知识又有中华传统；“美”就是和谐，在直观感受中令人感觉到和谐的事物是具有美感的也是赏心悦目的.高职高专《高等数学》的课程思政教学改革源于课程的发展历史，追求和体现“真善美”.下面笔者以“二重积分的定义”为例，用“真善美”实现课程的思政育人功能.

一、教学设计

（一）背景知识

从一元函数到多元函数，积分学从定积分引申出重积分.其中，二重积分是和二元函数相对应的积分，三重积分对应的则是三元函数.它在形式上和定积分类似，在理论研究和实际应用方面都具有重要的价值.

二重积分的概念是学习重积分的基础，它是偏导数、全微分与曲线积分、曲面积分的桥梁，该知识点可为后续内容的学习与应用奠定重要的基石.

（二）教学目标

如图1所示，教学目标包括素养目标、知识目标和技能目标，其中素养目标体现了课程的思政育人功能.

（三）教学重、难点

教学重点：在深刻理解基本概念的前提下，认识其中的辩证唯物主义观点.

教学难点：重积分概念中蕴含的数学思想.

（四）教学方法

考虑到学生早就具备了一元函数中定积分的知识基础，教师在课堂上采用小组讨论法和讲授法，结合信息化技术和教学平台实施线上、线下混合式教学，同时全过程伴随课程思政元素徐徐展开.

（五）教学准备

教学不仅仅是课堂的45分钟，教师在课前要做许多前期准备.第一，教师要确定每节课的计划与安排：本节课的主要知识点是二重积分，包括引例和定义两个部分的内容.第二，教师要准备文字资料.除了参考配套的教材和教辅，教师还需要查阅相关文献，比如华东师大的《数学分析》、同济大学的《高等数学》、中国古代的《九章算术》等.第三，教师要根据学生情况进行教学设计.学生在每个阶段反馈给教师的学习情况都会有一些小变化.在设计阶段，教师需要对教案进行不断的调整，以取得更出彩的教学效果.教师要做信息搜集的有心人、知识传递的领跑人、思想引领的示范人.第四，教师要根据教学设计准备教具和布置预习任务.这里用到的教具有信息化的教学设施，比如电脑、投影仪、网络教学平台等.预习任务是按照一定的规则把全体学生分为多个小组，可以将同一个宿舍的分在一组，也可以由系统随机分配小组成员，又或者按照学号顺序分组等.总体来说需要根据学生情况，确保每个小组的“实力”相当.同时，通过网络学习平台发布预习任务单.第五，在学生完成预习任务单之后，教师要根据反馈再次调整教学设计，细化教学方案.实际上，在课程正式开始之前，教师需要不断调整教学设计.课程团队只有不断打磨和精雕细琢，才能使教学设计越来越贴合学情，思政教育的效果更加到位，知识传授更加精准.

（六）教学过程

1.问题引导

问题一：中国古代朴素的微积分思想体现在割圆术中，如何利用割圆术求曲边梯形的面积？

由开放型问题引入新知，通过小组合作探究的方式，回顾前面学过的定积分的概念，利用割圆术求解曲边梯形的面积.在合作探究的过程中，小组内需要查阅资料、集中讨论、动手实践，在深刻理解大化小、无限逼近的思想的基础上推演出曲边梯形的面积.

教师可以摘录古代著作原文，引导各个小组理解其中蕴含的数学原理，让学生在掌握割圆术的原理求曲边梯形面积的同时，惊叹于古人的数学智慧，产生强烈的民族自豪感，这就是求真.

问题二：怎样计算空间中不规则立体图形的体积？

用空间中平行于yOz面或zOx面的平面切割不规则立体，可以得到多个曲顶柱体，从而转化为计算曲顶柱体的体积.从而引出曲顶柱体的概念：设有一个立体，它的底是xOy面上的閉区域D，它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面，它的顶是曲面z=f（x，y），这里f（x，y）≥0且在D上连续，这种立体叫作曲顶柱体（如图2所示）.

由生活中常见的不规则立体的体积问题引出曲顶柱体体积的求解问题，找到全体学生共同的兴趣点，激发学生的学习热情，这就是求善.

问题三：求解曲顶柱体体积的思路是怎样的？

第一步，分析问题，找到问题的难点在于曲顶该如何处理.第二步，指出解决问题难点的方法，用曲线网把D分割成若干个较小的闭区域，从而把一个曲顶柱体切分成若干个较小的曲顶柱体.第三步，对于每一个小的曲顶柱体，用平顶替代曲顶，并且使用动画展示该过程.当每个较小的曲顶柱体的底面面积都越来越小时，近似值的误差就会越来越小.第四步，通过小组合作与教师的指导，把曲顶柱体的体积计算方法和步骤总结出来.

借助于具体的几何问题及动画展示的直观性，学生能够主动探索其中的数学原理，从而自然而然地融入量变到质变的辩证唯物主义思想，这就是求美.

问题引入的最后要进行归纳和总结，得出结论———曲顶柱体的体积归结为一个特定的表达式，在形式上为函数与增量的乘积之和的极限.在此过程中，学生的归纳总结能力得到提高，团队合作的意识得到加强.

2.二重积分的定义

第一步：给出二重积分的定义.

定义比较冗长，结合关于曲顶柱体的实例进行讲解更加形象和直观.定义中的各种符号都是由一代代的数学家总结出来的，符号本身不但线条简洁，而且极具美感.这直接体现了数学中的符号美.

第二步：指出二重积分和定积分的区别与关联.

区别：（1）二重积分的被积函数是二元函数，比如f（x，y），而定积分的被积函数是一元函数，比如f（x）；（2）二重积分的积分变量是σ，定积分的积分变量是x；（3）二重积分的积分域是有界的平面闭区域D，定积分的积分域是闭区间[a，b].相同点是：（1）它们的步骤都是“分割———取近似———求和———取极限”；（2）它们在形式上看都是函数f与积分变量的增量的乘积之和的极限；（3）它们在结果上看都是确定的数值.

此处的区别、关联先由学生组内讨论，然后各小组抢答，最后教师用动态的图表呈现出全面、详细的结果.通过对两个知识点的区别与联系的分析，不仅可以由此及彼地实现知识的迁移与延伸，而且能够帮助学生逐步提高类比的能力.

从细节方面入手，帮助学生更精准地理解二重积分的定义，从而把握利用定义解决问题的方法，同时体现了数学人一丝不苟的工作态度与严谨务实的科学精神.不仅有言传，而且有身教.

第四步：对定义中的数学思想进行总结.定义分为以下四个步骤（如图3所示）：

这四个步骤反映了整体与部分的关系，质与量的互变规律.从整体和部分来说，大立体是一个整体，每个小立体是大立体的一个部分；全过程是一个整体，每个步骤是一个部分；积分学的知识体系是一个整体，每种积分是一个部分；全体学习者是一个整体，每名学生是一个部分.从质与量的互变规律来说，每个小立体的近似值是量变，大立体的近似值是质变；每个小立体的底面积都趋向于零是量变，取极限得到大立体体积的准确值是质变；对每一个知识点的学习与掌握是量变，对知识体系的学习与掌握是质变.

这一过程可让学生体会其中的数学思想，同时体现了课程的系统性、完整性以及延伸性，把本节课蕴含的哲学思想凝结在定义之中.定义中既有真，又有善，更有美.此外，教师展现出的对工作的一丝不苟的敬业精神，对学术的严谨务实的科研精神，对课堂的精益求精的进取精神，也在浸染着学生的心灵.

二、教学反思

“二重积分的定义”这一课是一节单纯教学概念的课，内容比较单一和枯燥.为了实现课程育人功能中的价值塑造、能力培养和知识传授，教师在导入部分设计了开放性的小组活动，在定义讲解部分通过解题实例一步步地给出概念，在细节处理上用严谨、缜密的数学语言进行表述.首先从古代朴素的微积分思想切入，如画卷徐徐展开，呈现出核心问题———曲顶柱体的体积.然后从特殊到一般，总结归纳出二重积分的定义.最后，补充并强调在定义中需要注意的一些细节问题.整个过程如行云流水一般，自然而流畅，教学环节一环紧扣一环，层层递进地升华了知识的深度、广度和难度，更为重要的是悄无声息地融入了课程思政的元素，实现了课程的思想政治育人功能.

人们所追求的真善美蕴含其中，古代朴素的数学思想、知识点本身的数学原理即是真，以小组合作为形式在教师指引之下追求真理、不断探索即是善，高度浓缩的数学符号、极具对称性和特征突出的表达式即是美.如果人人都追求真理，人人都一心向善，人人都有爱美之心，那么課程就达到了预期目标.在“真善美”的指引下学生对看似枯燥的数学知识燃起了热烈的探寻之火，这也推动了知识学习的内驱力.思政教育与知识传授，既相互成就了彼此，又融为一体.

总 结

教育家陶行知曾经说过，教师要将对教育事业的坚定信仰转化为双肩上的职责.作为新时代的职教人，教师不仅要口传心授，还要塑造学生的品质和人格.课程思政是将思政元素有机融入非思政课程，发挥其思想政治教育功能，促成思政教育与知识教育的有机统一的一种教育模式.课程思政模式下的教学改革与实践体现了以德育人的教育理念，是实现“三全育人”的重要途径.在基础课程，尤其是高职高专各个专业广泛开设的《高等数学》课程中挖掘和剖析课程思政元素，把握思想引领和价值导向的风向标，发挥课程团队的凝聚力，显得尤为迫切和重要.教学工作不是纸上谈兵，需要在设计和实践之间不断切换.教师如果把工作落到实处、切到细微，那么教学效果必定会越来越好.同时，这些也是高职高专数学教师应当不断探究的重大课题.

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