探源固四基,变式促提升——以2023年新高考Ⅰ,Ⅱ卷第17题为例

汪 洋

(广州市白云中学)

«普通高中数学课程标准(2017 年版2020 年修订)»明确指出,通过高中数学课程的学习,学生能进一步学习和发展“四基”,提高“四能”,在学习和应用数学的过程中发展六大数学学科核心素养.为更好地把握高考命题规律,提高备考效率,发展学生的“四基”和“四能”,下面笔者以2023年新高考Ⅰ,Ⅱ卷中的解三角形试题为例,对其探“源”觅“流”,从不同视角进行评析及变式分析,以便更好地制订复习备考策略.

1 真题呈现 探本溯源

1.1 考题呈现

例1 (2023 年新高考Ⅰ卷17)已知在△ABC中,A＋B＝3C,2sin(A－C)＝sinB.

(1)求sinA;

(2)设AB＝5,求AB边上的高.

分析 试题将考生熟悉的解三角形作为命题情境,考查了正弦定理、三角函数两角和差公式等基础知识,考查考生通过化归与转化思想对基础知识的应用.

思路 第(1)问根据三角形三个角的关系以及两角和差公式,通过运算即可求解.

第(2)问利用同角三角关系式及两角和的正弦公式求出角B的正弦值,再根据正弦定理求出AC,最后由等面积法即可求得高.

具体求解过程略.

例2 (2023年新高考Ⅱ卷17)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为,D为BC的中点,且AD＝1.

(2)若b2＋c2＝8,求b,c.

分析 试题将考生熟悉的解三角形作为命题情境,考查了正余弦定理、三角函数两角和差公式等基础知识,考查考生对三角形中边与角的运算求解能力和逻辑思维能力.

思路 对于第(1)问,可利用已给出的三角形面积求出a,利用余弦定理求出b,进而求出tanB;或作出BC边上的高,利用直角三角形求解作答.

对于第(2)问,求a的值有两种解法,一种是利用余弦定理建立方程组求解,另一种是利用向量运算律建立关系式求解.本题求出a的值后再利用三角形面积公式求出∠ADC即可作答.

图1

则DC＝2＝BD.在△ABD中,由余弦定理得

所以AB＝,故

在△ACD中,由余弦定理得

1.2 试题总结

在2023年的两套新高考卷中,解三角形都是解答题的第一题,题干简洁清晰,大部分学生对此题志在必得.求解本题容易入手且容易取得较高分数,激发了考生的自信心,有利于考生稳定心态,缓解紧张情绪.题目以余弦定理、中线性质、面积公式为基本知识点,以逻辑推理、数学运算、直观想象为基本技能素养,使学生感悟方程思想、数形结合思想等,积累处理平面图形问题的基本经验.两道题的图形较为简单,但新高考Ⅱ卷第17题第(2)问角的条件较为隐秘,对部分考生来说有一定的难度,从而有效地考查了考生的联想、分析、构图等能力,有利于选拔人才.

2 试题溯源

例3 (人教A 版数学必修二第53页习题6.4综合运用第12 题)如图2 所示,在△ABC中,已知AB＝2,AC＝5,∠BAC＝60°,BC,AC边上的两条中线AM,BN相交于点P,求∠MPN的余弦值.

图2

解法1 (余弦定理)审题发现点P是△ABC的重心,故点P是BN,AM的三等分点,可由余弦定理求出BP和AP的长度,进而求出∠MPN的余弦值(求解过程略).

3 变式探究

视角1 从三角形中线长公式切入

若改变题目的条件,给出中线长以及三角形两边,则可求出第三边.

变式1 如图3所示,记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,点D为BC的中点,且AD＝1.已知a＝4,c＝求b.若改变题目的条件,给出三角形的三边长,则可求出各边上的中线.

图3

变式2 如图4 所示,记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,D为BC的中点.已知求AD.

图4

若将本题拓展到空间图形中,则可有如下变式.

变式3 如图5 所示,将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成二面角A-BD-C, 形 成 四 面 体A-BCD,点E,F分别为线段BC,BD的中点,若二面角A-BD-C为60°,求AE.

图5

视角2 解三角形与平面向量结合

变式4 记△ABC的内角A,B,C对边分别为a,b,c,若___

(1)求角B的大小;

从表3中可以看出，无论是理科试卷还是文科试卷，难度和变异系数都具有明显的负相关，这就说明，难度偏高的试卷，变异系数也相对较高；难度偏低的试卷，变异系数也相对较低.试卷的标准差和变异系数没有显著相关性.

分析 对于第(1)问,如图6所示,利用平面向量数量积的定义以及正弦定理化简得出cosB的值,结合角B的取值范围可求得角B的值.

图6

视角3 恒等式问题

变式5 如图7所示,已知△ABC内有一点P,满足∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝α.

图7

(1)证明:PBsin∠ABC＝ABsinα.

(2)若∠ABC＝90°,AB＝BC＝1,求PC.

此变式主要考查正弦定理、余弦定理,题目条件简洁、精炼,解题关键在于考生能挖掘隐藏的角度关系,很好地考查考生思维的全面性、灵活性.

4 从教与学的角度优化高考备考策略

4.1 从学习习惯和学习兴趣入手

在平时学习中,教师应引导学生注意课前预习、课堂提问、课后总结.在定期检测中,教师应引导学生做好习题反思与总结.解三角形在现实生活中有广泛的应用,在建筑学、航海学、天文学等领域发挥着作用,教师可创设丰富的问题情境,使学生感受解三角形的奇妙之处,从而激发学生的学习兴趣.学生应根据自己的学习情况,制订学习任务,及时调整学习计划和策略,有意识地定期“回头看”.

同时,教师应培养学生良好的阅读理解能力,对题目的理解程度会影响学生的解题速度.如在2023年新高考Ⅰ卷的条件“A＋B＝3C”中,学生能快速得出这个结论,并且挖掘出“A＋B＋C＝π”这个隐藏的条件,便可将条件“2sin(A－C)＝sinB”化为只有角A的式子,紧接着使用三角和差公式便能顺利求得结果.如果学生阅读理解能力不足,便随时有可能因为条件挖掘不到位而掉入陷阱中.教师在讲解例题时可向学生示范如何理解题目:首先,先粗读一遍题目,明确题目所求;其次,标出题目已有条件,将隐藏条件先列到题目旁边或者草稿纸上;最后没有解题思路或者思路遇到障碍时,应检查是否还有隐藏条件未挖掘到位.阅读理解能力的本质是对条件分析概括提取的能力,是数学经验的积累,可以通过有意识的训练得以提升.

4.2 高屋建瓴,用思维导图构建知识网络体系

在高三复习阶段,部分学生专注于“刷题”,而忽略了知识的本源,容易产生知其然而不知其所以然的问题,遇到新题型时总是不知从何下手.在复习基础知识时,教师应引导学生重新推导并证明公式,使学生经历定理产生的过程,促进学生逻辑推理、归纳概括、数学运算等能力的发展,感悟化归与转化、分类与整合、数形结合、特殊到一般等数学思想.例如,在证明正弦定理时,可从初中学习过的三角知识入手,先从直角三角形开始,再从锐角三角形、钝角三角形中构造直角三角形,将未知的问题转化为已知的问题,再引导学生结合向量自主证明余弦定理,感受知识的横向联系,促进思维发展.当学生有一定的基础时,教师可引导学生自行搭建思维导图,让学生在各种概念和定理之间能够建立联系,使学生在脑海中形成一个完整的知识网络体系.

4.3 挖掘教材,关注问题本质

在2023年新高考Ⅱ卷第17题中,平面向量基本定理与三角形求模的问题来源于人教A 版数学必修二的第26页例1,平行四边形邻边与对角线问题来源于人教A 版数学必修二的第21页例11.因此,在日常的教学中,教师应引导学生进行深入思考,注重不同的知识间的本质联系,提升学生的思维水平.

4.4 钻研试题,注重不同知识板块的相互联系,提升数学运算核心素养

根据已有的统计显示,基于“SOLO 分类理论”层次划分的方法,未来对于“三角与三角函数”关于数学运算的考查趋势维持关联结构水平,且有向拓展结构水平发展的趋势.结合教材题源以及往年的高考真题分析,解三角形除了考查正弦、余弦定理的应用,通常还会结合三角恒等变换、三角函数、平面向量、基本不等式等知识综合考查.新高考试题命制的趋势越来越倾向于考查能力,有一定数量的创新形式题,因此教师应专注于概念深入的教学,专注于发展学生的核心素养,以提高学生以不变应万变的能力.

(完)