例析求函数解析式的四种方法

■秦雷宇

函数的解析式是函数的三要素之一,求函数解析式的常用方法有:配凑法、待定系数法、方程组法和函数奇偶性法。下面举例分析求函数解析式的四种方法,供大家学习与参考。

方法一:配凑法

方法二:待定系数法

已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可先设函数的解析式,再确定其系数即得解析式。

方法三:方程组法

已知关于f(x)与或f(-x)的关系式,可根据已知条件,构造出另一个等式,通过解方程求出f(x)。

例3 若对任意的实数x,都有2f(x)-

方法四:函数的奇偶性法

已知函数f(x)的奇偶性及f(x)在某区间上的解析式,求该函数在整个定义域上的解析式的方法:求哪个区间上的解析式,x就设在那个区间上;把x的对称转化到已知区间上,代入已知区间上的解析式;利用f(x)的奇偶性,将f(-x)用-f(x)或f(x)表示,从而求出f(x)。

例4 若函数f(x)是R 上的奇函数,且当x>0 时,f(x)=x3+x2+1,则f(x)=____。

解:因为当x>0时,f(x)=x3+x2+1,所以当x<0 时,-x>0,则f(-x)=(-x)3+(-x)2+1=-x3+x2+1。

因为f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-(-x3+x2+1)=x3-x2-1。

又因为f(x)为R 上的奇函数,所以f(0)=0。