有关基本不等式的常见题型

安徽省涡阳第一中学 李友转

1 直接应用类[1]

此类问题直接利用基本不等式求最值即可.注意“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可.

例1已知0

分析：满足“一正、二定、三相等”这三个条件,可以直接利用基本不等式求解.

解析：由00.

由基本不等式,可得

例2(2015年天津高考·文)已知a>0,b>0,ab=8,则当a的值为______时,log2a·log2(2b)取得最大值.

分析：本题结合对数知识考查基本不等式的应用,满足“一正、二定、三相等”这三个条件,直接利用基本不等式反解出参数的值.

又a>0,b>0,ab=8,所以a=4,b=2.

2 恒等变形类[2]

此类问题一般不能直接使用基本不等式,要从整体上把握式子的结构特征,对不满足使用基本不等式条件的式子通过“变形”来转换,但不论怎么变形,都需要根据条件转化成凑和为定值时求积最大,或凑积为定值求和最小.

2.1 拆项法

因为t>0,所以利用基本不等式可得

故所求最小值为-2.

2.2 凑项法

分析：题目要求和的最小值,就要配凑积为定值,所以要减去2,再加上2,保持原式不变,进而利用基本不等式求解.

由x>2,得x-2>0.

因此所求最小值为4.

分析：本题中函数解析式为一个分式,不利于求出最小值,所以可通过分离常数,凑出积为定值的式子,再利用基本不等式求解.

2.3 凑系数法

分析：要求积的最大值,就要配凑出和为定值的式子,再利用基本不等式求解.

因此,利用基本不等式可得

3 条件最值类

在求解含有两个变量的代数式的最值问题时,常通过变量替换或换“1”法[3]来构造基本不等式求解.

分析：利用换“1”法,出现积为定值的式子,进而利用基本不等式来求和的最小值.

解析：由a>0,b>0,a+b=1,可得

因此,利用基本不等式可得

例8若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是______.

解析：由x>0,y>0,x+3y=5xy,可得

所以,对所求式子进行整体代换,得

利用基本不等式,可得

故所求最小值为5.

A.2 B.3 C.4 D.5

分析：本题借助直线背景考查基本不等式的应用,简单利用换“1”法即可求解.

又a>0,b>0,所以

当且仅当a=b=2时,等号成立.

故所求最小值为4.

解决基本不等式的相关题型,首先要掌握利用基本不等式求最值时的前提,即:(1)非零的各数(或式)均为正;(2)和或积为定值;(3)等号能否成立.这三个条件缺一不可.

其次就是辨别所求式子的类型,根据已知条件用相应的方法解题即可.