洞悉高考考题方向 加强试题融旧创新——对2022年全国数学新高考Ⅱ卷第22题的探析

重庆市九龙坡区教师进修学院 周建玲 重庆市育才中学 彭国富

新高考强调基础性、综合性、应用性和创新性,在试题之间、考点之间、学科之间相互关联,交织成网,对学生素质进行全面考查.通过对2022年全国数学新高考Ⅱ卷考题的分析发现,考题在呈现方式和设问方式上有所创新,打破了一些固有模式,以此考查学生解决问题的应变能力和创新能力.如何引导学生建立起必备知识与关键能力、学科素养、核心价值之间的紧密联系,这需要教师高屋建瓴,善抓典型例习题、考题中的核心知识与方法并进行融旧创新的改编,以培养学生在新情境下积极主动地探索新方法解决问题的创新能力.下面将重点以例1的第(3)问为例,逆向论述一些常规解题与试题融旧创新的实践研究.

1 试题呈现与简要分析

例1(2022年全国数学新高考Ⅱ卷第22题)

已知函数f(x)=xeax-ex.

(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;

(2)当x>0时,f(x)<-1,求实数a的取值范围;

(3)设n∈N*,证明:

分析：第(1)问求导,令导函数大(小)于0较易解决;第(2)问是恒成立问题,可分离参数.由f(0)=-1,猜想它是一个端点效应问题,可试着分类讨论.第(2)问的具体解答过程如下.

解析：(2)求导,得f′(x)=eax(1+ax-ex-ax)(x>0).

令φ(x)=1+ax-ex-ax,则φ′(x)=a+(a-1)·ex-ax,可得φ′(0)=2a-1.

当a≥1时,φ′(x)>0,则φ(x)在(0,+∞)上单调递增,φ(x)>φ(0)=0,即f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(x)>f(0)=-1,不满足题意.

关于第(2)问的解法探究,常见的还有几种,本文中不一一呈现.下面重点探究例1的第(3)问.师生普遍感到第(3)问很难,并且参考答案也有些突兀、难以理解.

2 破难寻质

例1的第(3)问巧妙地将函数、导数、数列、不等式结合在一起,体现了新高考以必备知识为基础,强调各个知识点之间相互关联,同时也突出了问题呈现方式的新颖性.在对第(3)问的破题过程中,笔者联想到了平时教学研究中的两个经验.

2.1 联想一

首先联想到了下面例2的第(2)问:

例2(2019年东北四校联考)若函数f(x)=ex-ax-1(a>0)在x=0处取极值.

(1)求a的值,并判断该极值是函数的最大值还是最小值;

2.2 联想二

2020年人教A版新教材选择性必修第二册习题5.3的第12题:

利用函数的单调性,证明下列不等式,并通过函数图象直观验证:

(1)ex>1+x(x≠0);(2)lnx0).

由此题的(1)(2)可推出以下基本模型.在教学中,也可引导学生画如图1所示的函数图象,帮助学生更好地理解基本模型[1]:

图1

①ex>1+x(x≠0);

②lnx0);

③lnx0,x≠1);

④ln(x+1)

于是,可得到例2(2)的解题思路:

3 源质破难

有了以上的解题与探究经验,下面再来看例1的第(3)问:

设n∈N*,证明:

图2

①

令n=1,2,3,……,n,将所得的n个不等式累加,得

对于上述证法,考虑到F(x)含有根号,求导太复杂,因此可以先换元,直接将根号去掉.

②

4 总结反思

综观例1第(3)问的解题思路,虽然形式新颖,但万变不离其宗.在高考复习阶段,教学中不仅要讲清楚题目本身及其变式训练,还要引导学生“揭示问题本质”,通过“本质”去编题、命题,打破机械刷题、机械套路.为了不让学生盲目地刷题,教师要通过对试题的核心知识与方法的融旧创新,时时引导学生主动思考问题,在“生”中寻“熟”,灵活运用各种知识与思想方法.真正通过数学教育,帮助学生形成理性思维、科学精神,促进其个人智力发展,发挥数学学科不可替代的作用.