关注动态立体几何问题

安 霞

(贵州省都匀第一中学)

1 正方体中的动态问题

例1 如图1 所示,已知正方体ABCDA1B1C1D1的外接球的表面积为12π,点P在该正方体的对角面BDD1B1内(包括边界),则下列说法错误的是( ).

图1

A.若B1P//平面A1C1D,则点P的轨迹长度为6

B.若BP⊥平面A1C1D,则点P的轨迹长度为2 3

C.若点P到平面A1B1C1D1的距离与到点B的距离相等,则点P的轨迹是椭圆的一部分

D.PA＋PA1的最小值为2 3

设正方体的外接球的半径为R,则根据题意知4πR2＝12π,解得R＝3.设正方体的棱长为a,则有,即,解得a＝2.

对于选项A,设AC∩BD＝O,连接B1O,则易知平面B1AC//平面A1C1D,所以B1O//平面A1C1D.又注意到点P在该正方体的对角面BDD1B1内(包括边界),若B1P//平面A1C1D,则点P的轨迹为线段B1O(除去端点B1).又△BB1O是直角三角形,所以,则点P的轨迹长度为6,故选项A 正确.

对于选项B,连接BD1,易知BD1⊥平面A1C1D,又点P在该正方体的对角面BDD1B1内(包括边界),所以点P的轨迹为线段BD1(除去端点B).又△BDD1是直角三角形,则,则点P的轨迹长度为2 3,故选项B正确.

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对于选项C,作PQ⊥B1D1,垂足为Q,则PQ⊥平面A1B1C1D1,所以点P到平面A1B1C1D1的距离就是线段PQ的长度,也就是点P到直线B1D1的距离.根据点P到平面A1B1C1D1的距离与到点B的距离相等,可知点P到直线B1D1的距离等于到点B的距离.根据抛物线的定义,可知点P的轨迹是抛物线的一部分,故选项C错误.

对于选项D,设A1C1∩B1D1＝O1,连接PO1,则A1C1⊥平面BDD1B1,且PO1⊂平面BDD1B1,所以A1C1⊥PO1.又点O1为线段A1C1的中点,所以PA1＝PC1,则PA＋PA1＝PA＋PC1≥AC1＝2 3,所以PA＋PA1的最小值为2 3,故选项D正确.

综上,选C.

本题以熟悉的正方体为载体,灵活设计动点,对解题能力要求较高.其中选项A 和B均考查了动点的轨迹长度,需要先明确动点的轨迹,再求解其长度;选项C的求解充分体现了转化思想与抛物线定义的综合运用;求解选项D 的关键是分析出PA1＝PC1,这样有利于灵活运用三角形三边关系探求目标最小值.

2 圆锥中的动态问题

例2 (多选题)如图2所示,已知圆锥PO中,PO为高,AB为底面圆的直径,圆锥的轴截面是面积为2的等腰直角三角形,C为母线PA的中点.点M为底面上的动点,且OM⊥AM,点O在直线PM上的射影为H.当点M运动时,下列说法正确的是( ).

图2

A.三棱锥M-ABC体积的最大值为

B.直线CH与PA不可能垂直

C.点H的轨迹长度为π

D.AH＋HO的值小于2

对于选项B,由PO为圆锥的高可知PO⊥AM,又OM⊥AM,PO∩OM＝O,所以AM⊥平面POM,故AM⊥OH.由点O在直线PM上的射影为H,可知OH⊥PM,又AM∩PM＝M,所 以OH⊥平 面PAM,所以OH⊥PA.因为点C是Rt△PAO斜边的中点,所以PA⊥CO.又OH∩CO＝O,所以PA⊥平面COH,则PA⊥CH,故选项B错误.

对于选项C,因为PA⊥平面COH,且经过点C与PA垂直的平面仅有一个,所以点H的轨迹一定在平面内.由OH⊥平面PAM,可知OH⊥CH,所以点H的轨迹是以CO为直径的圆(除去C,O两点),又,所以点H的轨迹长度为π×CO＝π,故选项C正确.

综上,选ACD.

本题以圆锥为背景,灵活设计动点问题,侧重考查空间想象能力、推理论证能力以及运算求解能力.在选项A 中,关键是求解点M到平面ABC的距离的最大值;选项B 侧重考查了线面垂直的判定和性质在解题中的灵活运用;判断选项C 的关键是准确分析点H的轨迹是什么图形;选项D 综合考查了立体几何与柯西不等式的综合运用,对能力的要求较高.

3 翻折过程中的动态问题

例3 如图3所示,在矩形ABCD中,AB＝3,AD＝3,现将△ACD沿直线AC向上翻折(如图4).在翻折过程中,当点D到点B的距离在内变化时,点D的运动轨迹形状为_________.

图3

图4

如图5所示,过点D作DF⊥AC,垂足为F,设DF的延长线与AB交于点G,过点B作AC的平行线与DG的延长线交于点E.将△ACD沿直线AC向上翻折,结合图6可知始终有AC⊥DF,AC⊥FE,又DF∩FE＝F,所以AC⊥平面DFE.又过点F与直线AC垂直的平面唯一存在,所以点D的轨迹必在平面内.注意到线段DF的长度保持不变,从而可知点D的轨迹是以F为圆心,且以为半径的一段圆弧.

图5

图6

解题的关键是通过巧作辅助线,充分利用翻折过程中的“不变性”,准确判断点D的运动轨迹.

关注动态立体几何问题可帮助我们熟悉此类问题的常见考查方式,明确常用解题方法,有利于进一步强化空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力以及立体几何与其他知识的综合运用能力.

(完)