基于嵌套算法的反无人机集群防空部署∗

高春生 宋业新

（海军工程大学基础部 武汉 430000）

1 引言

随着无人机协同对地攻击系统的发展，反无人机集群防空系统的部署研究也日益受到广泛关注［1～2］。针对这一类问题，已经有学者提出了各种部署方法。颜培远等［3］利用信息熵以及动态博弈的思想建立了防空部署模型；万佳庆等［4］通过研究分析部署位置与杀伤区远界和杀伤区近界之间的关系，建立部署模型并进行仿真验证；钟伟杰等［5］将攻防双方的交战过程模拟融合成一个最优化问题，并提出防空部署模型和求解算法；文献［6～8］采用排队论模型，以防空武器总数量和防御成本为优化目标，对防空武器进行数量上的优化部署。上述研究，要么只讨论了单一类型的防空武器，要么只研究了防空武器的火力分配或者位置部署，对此，本文针对多类型防空武器协同反无人机集群问题，同时考虑不同类型防空武器位置部署与火力分配，建立了防空武器反无人机集群的多目标混合部署规划模型，并给出求解算法。

2 无人机集群目标特点

目前世界局部无人机战争普遍采用大型无人机作战，论文所讨论的无人机集群也主要以大型无人机为主，大型无人机具备较强的抗干扰能力，通常是利用传统防空武器对其进行拦截［9］。大型无人机具有滞空能力强，续航时间长，可以搭载多种先进武器装备等优点，其组成的无人机集群作战样式十分灵活多变，具有智能性，灵活性等特点。反无人机集群防空部署时应充分考虑其无人机集群的智能性。

3 反无人机集群防空武器部署模型

3.1 问题描述

防空武器反无人机集群作战一般分为防空防御与无人机进攻两方，分别记作AD（air defense）方与UAV（unmanned aerial vehicle）方。UAV 主要遂行摧毁AD 方的制空权任务，主要由各种类型的察打一体无人机搭载各种航空炸弹、空对地导弹等构成；AD主要遂行区域防空任务，主要由各种防空武器构成。当防空武器火控雷达瞄准锁定无人机时，无人机也会根据防空武器的火控雷达照射发射各类型反雷达导弹对防空武器进行反击。

AD方已经用侦查系统探测到UAV方有n架不同种类的无人机，而AD 方有t 种不同类型的防空武器和m个防空火力点备选位置，规定每个备选位置最多只能设置一类防空武器的一个，现在需要研究不同类型防空武器的位置部署与火力分配。

3.2 约束条件分析

记决策变量wij：

记决策变量xijk表示第i(i=1，2，3…m)个备选位置部署第j(j=1，2，3…t) 类防空武器攻击第k（k=1，2，3…n）架无人机的弹药消耗。

当无人机进入防空武器火控雷达照射范围（最佳射程）时，防空武器火控雷达锁定无人机开始攻击。

即，令dik是备选位置i与无人机k之间的距离，Rij是在备选位置i部署防空武器j的最佳射程，则当wij=1且Rij≥dik时，xijk≥0；当wij=0或Rij

由于作战资源的有限性和战场环境的复杂性，模型需满足如下条件：

1）每架无人机至少有一个防空火力点对其进行拦截。即：

2）每类防空武器总弹药量有限。即：

其中qj表示第j类防空武器总弹药库存量。

3）每个部署位置最多只能设置一类防空武器，即：

4）每种防空武器数量有限：即：

其中rj表示第j类武器的数量。

由xijk和wij的含义和约束条件可知，该模型适用于多个防空武器协同攻击同一无人机的情形。

3.3 目标函数分析

3.3.1 防空收益目标函数

防空收益可以用无人机的总体剩余价值来衡量，要使其最小化。记PUk为作战结束时无人机k存活概率，则有：

其中是第j类武器攻击第k架无人机的单发毁伤概率。

记为第k架无人机的价值，UAV 方的总体剩余价值为

3.3.2 防空武器损毁目标函数

AD 方依照火力分配利用火控雷达对UAV 方无人机进行锁定攻击时，无人机反雷达系统报警，并发射各种导弹对敌所有在其射程以内的防空武器进行反击。防空武器损毁目标函数可以用AD方所部署的防空武器损毁概率与其价值乘积之和来衡量，要使其最小化。记为作战结束时部署在i位置的j类防空武器的损毁概率，则有：

其中是第k架无人机攻击部署在第i个位置的第j类武器的毁伤概率。记无人机k攻击半径为rk，则当wij=1且rk≥dik时，>0；当wij=0或rk

记为j类防空武器的价值，则AD方的防空武器损毁价值为

3.4 多目标防空武器部署模型

通过上述分析，可得防空武器反无人机群的多目标混合部署规划模型如下：

4 基于嵌套双粒子群免疫优化算法的模型求解

4.1 模型的单目标转化

由于W1，W2均应使其最小化，将两个目标进行加权求和，有

这里权重α，β（0 ≤α，β≤1，α+β=1）由战场指挥员衡量确定，于是上述双目标模型可转化为单目标求minW。

4.2 反无人机集群模型算法设计

模型算法设计为内外两层，外层算法负责选取最优防空阵地位置，内层算法负责选取每个阵地位置最适合部署的武器种类与火力分配方案。算法使得每一个防空阵地位置的选取方案都会对应一套最优的武器种类部署与火力分配方案。

免疫算法是模仿人体免疫系统的各种功能而设计的优化搜索算法［10］。它具有全局优化、鲁棒性好等优点，所以适合设计在算法外层用来选取防空阵地位置。粒子群算法由于具有精度高、收敛快等优点［11］，对于高维度的优化问题能比遗传算法更快收敛，所以适合设计在算法内层，当防空阵地位置选择后，进一步优化阵地位置上的武器种类与实际作战过程中的火力分配。

其算法的设计思路为：外层算法根据内层算法反馈的目标函数值优化选取防空阵地位置。内层算法根据外层算法所提供的防空阵地的位置选择，设计第一个粒子群搜索各阵地位置应部署的防空武器种类；并根据防空阵地的位置选择和部署的武器种类，设计第二个粒子群求最优的火力分配，计算对应的目标函数值并反馈给外层算法。

算法的具体求解步骤如下：

步骤一：初始化系统，设置内外层算法的最大迭代次数、种群规模大小、交叉概率、变异概率，将防空阵地位置选择方案作为外层算法抗体。

步骤二：生成外层免疫算法初始抗体群。

步骤三：外层免疫算法的抗体多样性评价。

利用内层双粒子群算法对此抗体的适应度进行评价，内层双粒子群算法设置粒子速度和位置的上下限并取整，防止其盲目搜索。

内层算法反馈的最优目标函数值作为外层此抗体的对应的适应度评价指标，并记录其对应的最优武器部署与火力分配方案。

外层算法对抗体的评价用抗体的期望繁殖率来表示，抗体的期望繁殖概率受抗原抗体之间的亲和力和抗体浓度两方面一起支配，此模型中目标函数D 的值越小，抗体适应度越好，抗体抗原之间的亲和力越高，抗体期望繁殖率也就越大；防空阵地位置选择方案越相似，即抗体之间相似度越高，也就是浓度越大，抗体期望繁殖率越小。

步骤四：外层免疫算法生成父代抗体群。

步骤五：外层免疫算法判断是不是符合条件，是则结束，不是则继续下一步。

步骤六：外层免疫算法结合父代抗体群生成新抗体群。

步骤七：继续执行步骤三。

5 仿真与分析

据悉UAV方10架攻击无人机组成的无人机集群（多类型无人机混合编队）突破了远程防空封锁线，无人机分别向AD 方保卫区域的不同任务目标前进。地面防空武器混合部署一般可以分为三种基本形式：环形部署、扇形部署、线性部署［12］。线性部署是比较常见的狙击式防空部署类型，线性部署时，应使相邻火力单元火力覆盖相互衔接，形成较大的拦截正面宽度，适用于无人机来袭方向多，正面宽的情况，其典型代表是上世纪冷战时期，西德边界的防空部署。

以线性部署为例，假设交战的防空区域是一个矩形带状区域，已知无人机来袭方向由北向南，交战防空区域以南为AD 方所要保卫的区域，预警雷达照射反馈获取了UAV 无人机的空中位置，从防空武器线性部署配置地带的10 个备选阵地位置中选取至多4 个阵地位置，使防空阵地火力覆盖在东西方向的投影相互衔接形成新的防空封锁线，防空火力覆盖重叠区域协同对无人机进行防空打击，并部署最合适的防空武器并确定其弹药库存量与防空任务。

10 架攻击无人机中，编号1-3 搭载I 型空对地导弹，编号4-6 搭载II 型空对地导弹，编号7-10 搭载III 型空对地导弹，三种攻击无人机分别记为UAV1、UAV2、UAV3。

AD 方预备配置两种防空武器，一种为防空导弹I，另一种为防空导弹II，两种防空武器分别记为AD1、AD2，两个防空武器的性能、弹药库存及武器数量如表1所示。

各防空武器对无人机毁伤概率及无人机价值和攻击半径如表2所示。

各无人机对防空武器反击毁伤概率及防空武器价值如表3所示。

表3 各无人机对防空武器反击毁伤概率及防空武器价值

防空武器备选位置和侦查到的无人机位置坐标如表4所示。

表4 防空武器备选位置和无人机位置

防空武器备选位置和侦查到的无人机位置俯视图如图1所示。

图1 防空示意图

5.1 算法参数的比较分析

内层嵌套粒子群虽然收敛速度快，精度高，但是由于内层算法优化的是一个离散型高维度问题，收敛的结果容易陷入局部最优，所以粒子群的种群规模需要具体问题具体对待，对于复杂问题需要设置更多的粒子，来增大它的搜索范围，也需要探究更好的内层迭代次数，提高最终运算结果的精度。

为了验证内层粒子群种群规模与迭代次数不同对算法可靠性的影响，取α=0.5，β=0.5，固定外层免疫优化算法迭代次数50，种群规模10。

算例1固定内层迭代次数50，分别比较内层粒子群算法种群规模（sizepop）为2，3，4，5 时，最终算法的收敛情况，如图2。

图2 内层算法种群规模比较图

从比较图显然可以看出，内层粒子群种群规模越大越好。如果种群规模过小，搜索范围过小，内层粒子群可能会出现迭代之后陷入了局部最优解的情况，最终会使反馈给外层免疫算法的适应度过大，从而使嵌套算法适应度曲线在收敛之后出现了一些波动。如果内层算法种群规模过大，搜索范围过大，内层粒子群搜索到的最优解之后也不会有太大变化，最终适应度曲线也不会发生太大变化，反而会影响计算效率，浪费计算时间。在比较图中表现为随着内层粒子群种群规模的不断扩大，最终嵌套双粒子群的免疫优化算法收敛曲线逐渐稳定。

算例2 固定内层种群规模5，分别比较内层粒子群算法迭代次数（maxgen）为2，3，4，5 时，最终算法的收敛情况，如图3。

图3 内层算法迭代次数比较图

从比较图显然可以看出，内层粒子群迭代次数越多越好。如果内层算法迭代次数过少，种群进化的次数过少，内层粒子群可能会出现迭代之后依然没有搜索到最优解的情况，最终会使反馈给外层免疫算法的适应度过大，从而使嵌套算法适应度曲线在收敛之后出现了一些波动。如果内层算法迭代次数过多，种群进化的次数过多，内层粒子群搜索到的最优解之后也不会有太大变化，最终适应度曲线也不会发生太大变化，反而会影响计算效率，浪费计算时间。在比较图中表现为随着内层粒子群迭代次数的不断增多，最终嵌套双粒子群的免疫优化算法收敛曲线逐渐稳定。

综合考虑分析，为了使嵌套双粒子群的免疫优化算法收敛结果更加的稳定，而且运算量又较少，所以设计的内层粒子群算法参数迭代次数至少为5，种群规模至少为5。

5.2 算法性能的比较分析

为了进一步说明此算法的性能，我们将嵌套随机采样免疫优化算法与嵌套双粒子群免疫优化算法作比较。α=0.5，β=0.5 且外层算法参数相同时，内层随机采样25 种武器种类与火力分配的组合策略并计算最小适应度值，保证其与内层迭代次数5，种群规模5 的嵌套双粒子群免疫优化算法有相同的对目标函数计算量。算法性能比较如图4。

图4 算法性能比较图

从图中可以看出嵌套双粒子群的免疫优化算法收敛速度更快，收敛精度更高，更近最优解，得到的最终方案更优良。

为了进一步比较算法运算耗时性能，在外层算法参数不变和相同运算配置情况下，取α=0.5，β=0.5 时，内层随机分别嵌套采样25、50、100 种武器种类与火力分配的组合策略并计算适应度值（分别为算例一、二、三），保证其与内层嵌套双粒子群算法有相同的对目标函数计算量。

相同运算配置下，可见嵌套双粒子群的免疫优化算法计算效率更高，用时更少。综上所述，嵌套双粒子群的免疫优化算法性能更加优越。

5.3 仿真结果与分析

当AD 方十分重视防空安全，忽视自身防空损毁时，取α=0.9，β=0.1，防空位置的选取以及防空区域的划分俯视图如图5所示。

图5 防空部署示意图

仿真结果显示当选取编号为1、7、9、10 的备选位置分别部署AD2、AD1、AD1、AD2 防空武器时，最小目标函数D 值为1.8303，其中W1=1.1671，W2=7.7996，防空1 号部署位置分别向编号2、6、7、9、10 无人机发射2、3、2、2、2 枚防空导弹II，防空7号部署位置分别向编号5、8无人机发射4、3枚防空导弹I，防空9 号部署位置向编号3 无人机发射4 枚防空导弹I，防空10 号部署位置向编号1、3、4 无人机发射4、2、3枚防空导弹II。

其中防空9 号部署位置与防空10 号部署位置部署的不同防空武器协同向编号3 无人机防空防御。防空火力点位置的选取受防空武器价值影响较小，受无人机价值影响较大，收敛结果显示仿真收敛良好。

当AD方既重视防空安全，也考虑防空损毁时，取α=0.5，β=0.5，防空位置的选取以及防空区域的划分俯视图如图6所示。

图6 防空部署示意图

仿真结果显示当选取编号为1、5、8、10 的备选位置分别部署AD2、AD2、AD1、AD1 防空武器时，最小目标函数D 值为4.5649，其中W1=1.3304，W2=7.7994，防空1 号部署位置分别向编号2、6、7、9、10 无人机发射2、2、2、2、2 枚防空导弹II，防空5号部署位置分别向编号1、5、8无人机发射4、4、2枚防空导弹II，防空8 号部署位置向编号3 无人机发射4 枚防空导弹I，防空10 号部署位置向编号4 无人机发射2 枚防空导弹I，防空火力点位置的选取受防空武器价值影响较大，受无人机价值影响较大，收敛结果显示仿真收敛良好。

综上所述，AD方越重视防空安全，无人机集群剩余价值越小，防空武器损毁价值也会相应的逐渐变大，仿真结果符合实际需求。

6 结语

本文针对多类型防空武器反无人机集群问题，同时考虑不同类型防空武器位置部署与火力分配，以防空攻击收益和防空武器损毁为优化目标，建立了防空武器反无人机群的多目标混合部署规划模型，并设计一种嵌套双粒子群的免疫优化算法对模型进行求解，仿真例子说明了模型和算法的有效性。由于战场环境的复杂性与时效性，反无人机集群防空部署的动态决策问题，以及随着无人机集群规模增大模型求解算法的改进等仍需要做进一步研究。