重组架构聚核心 说理溯源促交融

龚哲荣

［摘 要］对于交换律和结合律的教学内容，各版本教材都编排了多个课时，导致知识点相对分散，这在一定程度上阻碍了学生对运算律本质的理解。文章尝试对教学内容进行结构化重组，借助两组没有符号的式子教学运算律，使学生理解运算律的本质。

［关键词］运算律；整体；架构

［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2023）23-0072-03

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，通过实际问题和具体计算，引导学生用归纳的方法探索运算律、用字母表示运算律，感知运算律是确定算理和算法的重要依据，形成初步的代数思维。运算律的探索是学生在小学阶段第一次全程经历合情推理的数学活动，正确运用运算律是形成运算能力的关键，运算律与运算的意义、法则是并存的。

一、课前慎思

1.教材对比分析

现行五个版本的小学数学教材对运算律内容的编排有所不同（见表1）。

五个版本教材都把乘法分配律编排在最后面，加法、乘法交换律和加法、乘法结合律的編排顺序各不相同。

推理路径一般为“旧知引入→发现共性→举例验证→总结规律→具体应用”，在引入环节有解决问题和直接计算两种方式。此外，北师大版教材在总结规律之后，还特别新增了事例解释环节。

在沟通运算律与计算之间的联系上，北师大版教材和人教版教材都把结合律与验算、乘法分配律与乘法竖式联系起来。五个版本教材都没有涉及结合律的联系感知。

2.学生学情调查

为了准确把握教学起点，厘清教学顺序，笔者对本校三年级学生进行前测。前测情况如下。

（1）“解决问题”的前测情况如图1所示。

分析：学生在解题过程中偏向按数字出现的先后顺序进行列式。

（2）“计算对比”的前测情况如图2所示。

分析：超过75%的学生能够发现运用交换律、结合律进行计算的结果不变，近50%的学生对算式的特征有所发现。

二、课堂实践

通过教材对比分析，结合学生学情调查，笔者选择从具体计算入手，对四种运算律进行结构重组，采取整体教学，聚焦四种运算律的本质特征。

1.算式对比，聚焦差异

师：有两组没有运算符号的式子（如图3），请你仔细观察每组式子，你有什么发现？

生1：第1组的第一个式子，5在前，3在后；第二个式子，3在前，5在后，它们的位置交换了。

生2：第2组式子中，小括号位置变了。

师：小括号的位置变了，在运算的时候什么也会发生改变？

生3：运算顺序会发生改变。

师：这两组式子中什么没有变？

生4：每组数字都没变。

师：同学们真能干，发现了第1组式子两个数位置交换，第2组式子小括号位置变了。

【设计意图】针对交换律和结合律的“交换”和“结合”这一核心，笔者直接呈现两组最简单的只有数字的式子，消除符号干扰，让学生对比观察，发现式子的变化本质：每组数字都没变；第1组数的前后位置变了，第2组数的运算顺序变了。

2.猜测论证，探索规律

任务一：添符号

师：如果上面式子里的所有圈中只能填同一种运算符号，你觉得填哪种运算符号能使每组式子的运算结果相同？

生1：填“+”。第1组，5+3=8，3+5=8；第2组，（24+6）+2=32，24+（6+2）=32，结果都相等。

师：有谁填不一样的符号？

生2：我填的是“×”。第1组，5×3=15，3×5=15；第2组，（24×6）×2=288，24×（6×2）=288，结果也都相等。

师：填“-”或“÷”可以吗？

生3：3-5，是小数减大数，不够减。

生4：（24-6）-2=16，24-（6-2）=20。它们的结果不相等。

生5：（24÷6）÷2=2，24÷（6÷2）=8。它们的结果也不相等。

师：看来只有填“+”或“×”的时候，加数（乘数）交换位置或改变运算顺序，算出来的结果是不变的。

任务二：变数字

师：如果把这几个数变一变，刚才我们的发现还成立吗？请你试着照样子变一变。

学生尝试，交流反馈。

生1：7+8=8+7=15，7×8=8×7=56。（25+8）+3=25+（8+3）=36，（25×8）×3=25×（8×3）=600。

师：换成其他数可以吗？

生2：可以。

师：你觉得能换多少个数字？

生3：无数个。

师：看来不管数怎么变，这个规律都是成立的。像这种两个数交换位置，结果不变的规律叫交换律。加法时就是加法交换律，乘法时就是乘法交换律。像这样改变运算顺序但结果不变的规律叫结合律。加法的就是加法结合律，乘法的就是乘法结合律。

任务三：用字母

师：这样的例子有无数个，那能不能统一用一个式子表示？

生1：可以用字母来代替数字，a+b=b+a。

师：按照这位同学的方法，其他式子可以怎么表示？

生2：a×b=b×a。

生3：（a+b）+c=a+（b+c）。

生4：（a×b）×c=a×（b×c）。

【设计意图】通过对没有运算符号的两组式子填入加、减、乘、除四种运算符号的尝试、验证，发现只有相加或相乘时结果不变。针对这一结论，通过“变数字”活动进行举例验证，从而体会规律的一般性。然后运用不完全归纳法总结运算律，并尝试用字母来表示运算律。整个教学环节让学生完整经历了一次合情推理的过程，积累活动经验，萌发推理意识。

3.事例解释，深化内涵

师：刚才我们用举例子的方法归纳总结加法、乘法的交换律和结合律，那它们为什么成立呢？你能结合例子（如图4），尝试解释算式的意义吗？

生1：5+3表示一支中性笔的价钱加上一块橡皮的价钱，一共是8元。3+5表示一块橡皮的价钱加上一支中性笔的价钱，也是8元。

生2： 不管是先算男生和女生跳绳人数，再加上女生踢毽子人数，还是先算女生跳绳和踢毽子人数，再加上男生人数，最后加起来结果都一样。

……

师：对比算式中的变化，实际只是改变了什么？

生3：只是改变了计算的先后顺序，最终的结果是不变的。

师：看来生活道理和数学中的运算律的道理是一样的。

【设计意图】借助学生熟悉的现实生活事例，解释不同运算顺序表示的含义，深化学生对运算律现实意义的理解，从而体会生活事理和数学算理的一致性。

4.应用拓展，内化提升

师：请用数字32编一道可以运用交换律和结合律进行简便计算的算式。

生1：32×50×2=32×（50×2）=32×100=3200。

生2：32+55+19+67+1+45+181=（32+67+1）+（55+45）+（19+181）=100+100+200=400。

师：为什么以上两位同学写的算式要么都是用“+”，要么都是用“×”？

生3：在加法和乘法中才能用这些运算律。

师：在连加、连乘的时候，可以用交换律和结合律进行简便运算。

【设计意图】通过“为什么都是加号和乘号”的问题，引导学生发现在连加、连乘的情况下，可以运用交换律和结合律进行简便计算，提升运算律运用的广度，发展学生的运算能力。

三、课后反思

1.四律内核互通，发展核心素养

加法交换律和结合律、乘法交换律和结合律，除了运算符号不同，其结构是相同的。交换律是两个数交换位置，结合律是借助小括号来改变运算顺序，而交换位置其实也是计算的先后顺序发生了改变。由此可见，交换律和结合律的本质就是改变运算顺序，这也是同时运用交换律和结合律延伸到多个数相加或相乘进行简便运算的原因。

在教学时逐层深入，从两、三个数的计算延展到多个数的计算，并聚焦于在连加或连乘的情况下，运用交换律和结合律进行简便计算，从而提升学生的运算能力和推理意识。

2.理律内错互融，架构整体思维

算理是算法的基础，算法是对算理的一种技能概括，运算律是算法的再次优化，又是算理意义理解和算法计算方法的支撑。三者相互依存，交错相融。

数学源自对现实世界的观察、思考和表达，数学最终用于解释现实世界的数量关系和客观规律。计算教学的核心是对算理的理解。小学阶段的规律探索都是运用合情推理，是一种不完全歸纳法。为此，及时借助生活事例、几何图形等多元表征有助于提升学生理解数学规律，发现数理和生活事理的一致性。

综上所述，教师遵循规律探索的基本路径，让学生经历“发现特例—举例验证—排除反例—归纳总结”的过程，在发现规律之后，借助身边的事例解释运算律，力求让学生发现数学与生活的相通性。引导学生感知运算律既是一种运算规律，又是算理的基础，更是后续学习的依据，从而体会算理、算法、运算律的一致性。

（责编 黄 露）