运动问题中动能定理的妙用

赵 飞

(甘肃省玉门市第一中学)

运动问题是高中物理学习中绕不开的研究内容,在高考中分值所占比例很高.在处理运动问题时,有四大基本方法,即牛顿运动定律、动能定理、动量定理和机械能守恒定律.本文对动能定理在运动问题中的应用进行总结剖析,以提高学生对动能定理的理解和应用能力.

1 动能定理在直线运动问题中的应用

解决直线运动问题是动能定理的基本应用,在解题时需要注意的是确定研究对象的初、末状态,准确分析运动过程中研究对象的受力情况和位移情况.

例1如图1所示,一根弹力与伸长量成正比关系的弹性轻绳左端固定在墙壁A点处,右端穿过固定在B点且光滑的圆环后连接一个质量为m的小球(可视为质点),当小球在B点时弹性细绳处于自然伸直状态,绳间无张力.将小球穿过一个竖直固定的细杆,在C点固定时(点A、B、C处于同一条水平直线上)弹性细绳的张力为mg.将小球从C点由静止释放,它在达到D点时恰好静止.若小球与竖直细杆的动摩擦因数为0.2,CD＝h,重力加速度为g,弹性细绳在整个过程中都处在其弹性限度内.

图1

(1)求小球在从C点运动到D点过程中摩擦力做的功;

(2)若小球质量变为2m,其他条件均不变,求其到达D点时的速度大小.

分析确定小球为研究对象,对其进行受力分析,其在从C点运动到D点过程中,弹性细绳的弹力随着绳长变化而不断改变.这是一个变力做功问题,因此可以考虑使用动能定理求解.

解(1)设B、C两点间的距离为L,根据胡克定律有mg＝kL.设BD与竖直方向的夹角为α,根据几何知识和胡克定律,小球在D点时细绳弹力

对小球在D点时进行受力分析如图2所示,可知其在水平方向上受力平衡,有

图2

故小球在从C点运动到D点过程中摩擦力大小为

在这个过程中摩擦力做功为

(2)在质量为m和2m两种情况下,对小球从C点运动到D点过程中应用动能定理,分别列式得

联立三式可解得

【小结与拓展】解答本题要注意两点:一是明确小球在D点水平方向受力平衡;二是在小球质量变化前后,摩擦力做功不变.

通过上例可以看出,利用动能定理求直线运动中的变力做功问题比较便捷,尤其是在不涉及时间的时候动能定理是首选.在解题时还需注意:研究对象涉及的物理量所选参考系必须统一;研究对象所受力无须同时作用在物体上;各力所做功的代数和等于总功.

2 动能定理在曲线运动问题中的应用

应用动能定理求解曲线运动问题的核心思路是“运动分析＋受力分析”.运动分析是确定研究对象的运动状态,并最终确定初、末状态的动能;受力分析是确定研究对象所受力的性质及各个力的做功情况,即最终确定各个力做的是正功还是负功.这两个“分析”是并行的,互为补充的,都是为最终应用动能定理列式服务的.

例2如图3所示,在竖直平面内有一个由金属细杆制成的轨道OABC,其中OA段为一抛物线形状,所在抛物线的方程为,且该段金属轨道粗糙;ABC段为半径R＝1 m 的圆的一部分,该段轨道光滑,圆心O1与端点O等高,B点是轨道最低点,C点是轨道最高点.现在以端点O为原点、水平和竖直方向为横纵坐标轴建立平面直角坐标系.已知轨道的抛物线段与x轴在O点处相切,A点处两部分轨道平滑连接,A点的横坐标为2.4 m,∠AO1B＝37°.现有一个中心开孔、质量m＝0.1 kg的小球套在轨道上,小球以5 m•s－1的速度从O点水平向右抛出,过A点时的速度为6 m•s－1,已 知sin 37°＝0.6,cos 37°＝0.8,g取10 m•s－2.

图3

(1)求小球经过B点时对轨道的压力.

(2)求小球通过OA段过程克服摩擦力所做的功.

(3)小球能否到达C点?

分析第(1)问可利用动能定理求出小球经过B点时的速度,然后利用圆周运动知识和牛顿第二定律列式;第(2)问依然要使用动能定理,前提是先求出A点的纵坐标,这样才能知道重力势能的变化量;第(3)问要注意小球是套在轨道上的,属于圆周运动中的“杆模型”,因此需要先用动能定理求出过C点时速度,然后与临界速度比较.

解(1)设小球经过B点时的速度为vB,在小球从A点运动到B点过程中,根据动能定理有

小球过点B时做圆周运动,可得

联立以上两式可得

由牛顿第三定律可知,小球经过B点时对轨道的压力为5 N,方向竖直向下.

(2)将A点的横坐标代入抛物线方程,可得

在小球由O点运动到A点的过程中,根据动能定理有

代入题给数据,解得小球在通过OA段过程中克服摩擦力所做的功

(3)小球要从B点运动到C点,克服重力所做的功

小球在B点的动能

因为EkB＝W′,所以可知小球到达C点时速度恰好为0,因为小球是套在轨道上的,轨道对其有支撑力作用,所以小球是可以到达C点的.

【小结与拓展】本题的分析思路非常有层次感,只需按照运动的时间顺序正确对小球进行受力分析和运动过程分析,将动力学角度和能量角度进行结合,得到答案.像本例题这类不要求分析细节的曲线运动问题,一般都优先考虑使用动能定理进行分析求解.

应用动能定理求解曲线运动问题是高考中的常见考查方式,在具体解题时,需要注意不同力的做功特点,比如重力做功与路径无关,摩擦力做功与路径有关,等等.另外,还需要特别注意动能定理的标量性质,不能在某个方向上套用动能定理列式,重点还是要分清楚研究对象的初、末状态.

以上是对动能定理在运动问题中常见应用的总结分析.除此之外,高考中还常出现将图像问题与动能定理结合的考查方式,大家不妨尝试总结归纳一下,必会对解题有所帮助.

(完)