人环境家禽之间禽流感传播模型的稳定性分析

田苗苗, 刘俊利

(西安工程大学 理学院, 陕西 西安 710048)

禽流感是由甲型流感病毒引起的一种以禽类为主要侵害对象的人畜共患传染病。2013年3月,中国东部首次发现H7N9亚型禽流感病毒,至2020年8月,禽流感已经出现了5次爆发,感染人数突破千人,致死率达35%以上,严重危害着人类的身体健康[1]。 相关报道显示,2013年4—6月我国发生的H7N9禽流感疫情对家禽行业造成超过600亿元的巨大经济损失,平均每天损失约10亿元[2],严重影响了经济的发展。 因此研究禽流感的传播极其重要。

许多学者建立了不同的数学模型来研究禽流感的传播。 为评估新型H7N9禽流感病毒的传播能力,文献[3]建立了人-家禽流感模型,模拟结果表明,为了防止禽流感在家禽中爆发而引起人群中疾病的爆发,需要对家禽进行仔细检测和实施持续干预策略。 文献[4]提出了一个数学模型,解释了禽流感从鸟到人的传播,分析表明,为了控制禽流感的传播,不仅要对感染禽流感的鸟采取灭绝措施,还必须对感染突变型禽流感的人采取隔离措施。 文献[5]考虑了媒体宣传对禽流感传播的影响,模型中使用了饱和治疗函数,研究结果表明,扑杀禽类、及时治疗病患和加入媒体报道,可以有效减少人类感染禽流感的概率。 文献[6-8]研究了政府干预对疫情的影响,结果表明,政府及时实施干预策略可以有效控制H7N9禽流感的爆发和传播。 文献[9]建立了一类人-禽H7N9禽流感模型,假设家禽之间,家禽和人之间具有不同的传染率,数值模拟结果表明,加强饲养场及禽类交易市场的卫生消毒力度以及增强人们的预防意识可以有效降低疾病的传播。 文献[10]考虑了禽流感病毒在人群中的潜伏期和对人接种,研究发现,接种疫苗之后,潜伏期的感染者和染病者的数量显著减少。 文献[11]提出了一个SI-V-SEIR禽流感传染病模型,考虑了禽流感在人、家禽和环境3者之间的传播,研究结果表明,降低环境中的病毒数量,降低禽类之间以及禽到人的接触率能够有效地减少染病人数。 文献[12]同样研究了一个SI-V-SEIR禽流感传染病模型,模型中加入了各种干预措施(包括扑杀、接种疫苗、筛查、消毒和降低接触率等),结果表明,综合使用这些干预措施,并将这些措施与实际情况相结合,是控制H7N9禽流感疫情的必要条件。

随着流感病毒的进化,一些通常在动物中传播的流感病毒有时会感染人类,人类感染的主要风险因素是直接或间接接触受感染的活的或死的动物以及受污染的环境[13]。 本文在文献[12]的基础上重新建立了一个SI-V-SIR模型,研究禽流感在家禽、人和环境3者之间传播的动力学行为。

1 模型的建立

家禽总数、人口总数和周围环境中的病毒载量分别用Np,Nh和V表示。 家禽分为2类:易感禽类Sp和染病禽类Ip;人口分为3类:易感者Sh,染病者Ih和恢复者Rh。 假设家禽的输入率为A,家禽的屠宰率为dp,人口输入率为B,人的自然死亡率为dh,家禽和人的因病死亡率分别为μp和μh,家禽之间的传染率为λp,染病的家禽对人的传染率为λh,环境中的病毒对家禽和人的传染率分别为βp和βh,染病家禽释放病毒的速率为r,设病毒的清除率为dv,染病者的恢复率为δ。 本文对家禽实施扑杀干预措施,扑杀可直接以αp的速度减少易感家禽和感染家禽的数量。 依据以上假设,建立如下模型:

(1)

系统(1)的初始条件为

Sp(0)≥0,Ip(0)≥0,V(0)≥0,Sh(0)≥0,Ih(0)≥0,Rh(0)≥0。

(2)

假设μp≥0,模型(1)中其他参数都是正常数。

下面研究系统(1)在条件(2)下解的非负性和有界性,记

由定理1可知Ω为系统(1)的正向不变集。

定理1 系统(1)在条件(2)下的解(Sp,Ip,V,Sh,Ih,Rh)始终是非负有界的。

证明 首先证明解的非负性。 将系统(1)表示成向量形式,令

式中,F:R6→R6且F∈C(R6),则系统(1)变为

(4)

下面证明解的有界性。 家禽总数Np(t)和人口总数Nh(t)满足下面的微分方程:

2 基本再生数和稳定性分析

定理2 当R0<1时,无病平衡点E0是局部渐近稳定的;当R0>1时,E0不稳定。

证明 系统(1)在无病平衡点E0处的雅可比矩阵为

式中:

显然A2有3个负的特征值,A1有1个特征值为-(dp+αp),它的其余特征值满足方程

f(λ)=0,

(5)

式中

令

则

f(λ)=λ2+c1λ+c2=0。

(6)

定理3 当R0<1时,无病平衡点E0在Ω内是全局渐近稳定的。

(7)

考虑系统(7)的辅助系统

规模上，虽然大多宣称支持上万路摄像头的大型组网，但由于各家软件内部底层设计和存储转发转码等技术水平差异，还需要实际应用案例和运营状况的事实支撑。

(8)

(λ+dh+μh+δ)f(λ)=0,

(9)

下面证明地方病平衡点的稳定性。

定理4 当R0>1时,系统(1)存在地方病平衡点E*,且在Ω内是局部渐近稳定的。

式中:

Z3+a1Z2+a2Z+a3=0。

显然当R0>1时,ai>0,i=1、2、3,a1a2-a3>0,因此由Routh-Hurwitz判据知D1的所有特征值都具有负实部,从而JE*的所有特征值都具有负实部。 因此,当R0>1时,地方病平衡点E*是局部渐近稳定的。 定理得证。

下面讨论地方病平衡点的全局渐近稳定性。 在一般情况下,地方病平衡点的全局渐近稳定性不易证明,我们仅考虑当家禽的因病死亡率μp=0时的情况。

定理5 假设μp=0,若R0>1,则E*在Ω上是全局渐近稳定的。

(10)

对于系统(10),构造Dulac函数

容易算出

3 参数的敏感性分析

基本再生数是决定疾病是否流行的阈值。 为了检测它对各个参数的依赖性,本文使用PRCC(偏秩相关系数)方法对模型(1)中的参数进行敏感性分析,以确定各个参数对基本再生数的影响。ρPRCC的绝对值越大,表明参数对R0的影响越大,其中正值表示该参数的增加会导致R0的增加,负值表示该参数的增加会导致R0的减少。 本文选取8个参数A,λp,βp,dv,r,αp,dp以及μp进行敏感性分析。 参数值见表1。

表1 模型的参数值Table 1 Parameter values of the model

由图1可以看出,在这些参数中,A,λp,βp以及r对R0有正影响,αp,dp,dv以及μp对R0有负影响,且参数λp,βp,r和μp的ρPRCC的绝对值较大,即这4个参数对R0的影响较大。

图1 敏感性分析Fig.1 Sensitivity analysis

1) 定期对环境进行消杀,降低环境中禽流感病毒的存活率,减小环境中禽流感病毒对易感家禽的传染率;

2) 对感染家禽及时扑杀和隔离,使家禽和人群尽量避免接触感染家禽,降低染病家禽对易感家禽的传染率;

3) 疫情爆发前就对家禽接种疫苗,增强其免疫力,降低家禽感染禽流感的风险。

4 结 论

本文建立了一个禽流感在家禽,人和环境中相互传播的SI-V-SIR传染病模型,模型假设人与人之间不传染,分别考虑家禽与家禽、家禽与人、环境中的禽流感病毒对家禽及人的传播。 通过定义模型的基本再生数R0,分析了模型平衡点的存在性以及稳定性,并通过数值模拟对参数进行敏感性分析,研究了控制禽流感传播的有效措施。 结果表明,定期对环境进行消杀,扑杀感染家禽或适当的对家禽接种疫苗能够有效控制禽流感的传播。