空间机器人在轨双臂辅助航天器对接力/位置嵌套双层滑模阻抗控制

朱 安， 陈 力

（1. 江西理工大学 能源与机械工程学院，江西 南昌 330013；2. 福州大学 机械工程及自动化学院，福建 福州 350108）

1 引 言

太空中失效的航天器占用了有限的轨道资源，将影响各国后续的太空布局，另外航天器失效的主要原因是携带的燃料耗尽或某一部件被损坏，若能加注燃料或替换部件，它们仍能继续工作，将极大地节约太空探索成本［1-3］。因此，对空间机器人捕获航天器及辅助对接操作的研究受到了学者的广泛关注。双臂空间机器人由于具有更大的负载能力、更高的灵活性、可同时执行多任务，已成为此项研究的重点［4-7］。然而，双臂系统在捕获操作时存在闭环接触几何学、运动学约束［8］；在对接操作时需考虑双臂的协调操作问题［9］，且为了防止剧烈的接触、碰撞导致机器人的损坏，需同时对航天器对接装置的姿态及输出力进行精确控制［10］，故对双臂系统的研究相对困难。

针对双臂系统捕获操作的问题，Liu 等［11］利用Hertz 接触理论建立了空间机器人与航天器之间的接触力模型，并分析了捕获接触力对整个系统控制过程的影响。Wu 等［12］研究了空间机器人捕获快速翻滚目标的接触动力学建模和控制问题，并开发了一种通用的摩擦接触模型来描述末端执行器和目标之间的接触力，该模型可模拟复杂构型接触面间多点接触的间歇摩擦接触情况。Ge 等［13］开发了一种强制阻抗模型，其通过强制执行参考阻抗，使得碰撞过程中末端执行器可适配任何接触力。Murad［14］等综合考虑了接触的运动学、动力学、线动量与角动量约束，提出了一种面向统一控制的建模方法，对碰撞产生的相互作用力进行调节。通过上述成果可知，大多数研究人员对捕获操作研究的关注点在碰撞分析及接触力调节上。然而，由于捕获操作时航天器仍有一定的速度，使得碰撞过程中将在关节处产生较大的冲击力矩，若该力矩超过关节所能承受的极限值，可能造成关节的损坏。在机械臂关节处添加柔顺机构实现机械臂与外界环境发生碰撞保护关节是一种行之有效的方法［15-17］，因此本文在关节电机与机械臂之间添加了一种弹簧阻尼缓冲装置（Spring Damper Buffer Device， SDBD），其中弹簧用于冲击能量的缓冲，阻尼器则用于冲击能量的卸载及弹簧引起的柔性振动的抑制。

针对辅助对接操作的研究，为了保证航天器对接装置顺利的与载体对接，设计的控制器需同时实现对接装置的位姿与输出力的高精度控制，以减小对接装置与载体接触、碰撞时产生的冲击载荷。Hogan［18］提出的阻抗控制可通过调整阻抗参数建立末端位姿和接触力之间的动态关系，已被广泛的应用于机器人与外界环境的接触、碰撞问题分析［19-21］。因此，本文结合阻抗控制原理，对空间机器人辅助对接的力/力矩进行控制。在对接装置的位姿控制方面，考虑到滑模控制（Sliding Mode Control， SMC）结构简单、鲁棒性强，对各类系统的控制已趋于成熟，而空间机器人的控制对稳定性要求较高，因此拟设计一种SMC 用于位姿控制。然而，SMC 的滑模函数是一阶的，其需要通过高增益才能保证系统收敛到滑模面的速度和精度［22］，这将导致控制器输出力矩过大，且会带来严重的抖振问题。为此，Shtessel［23］通过超扭算法构建了一种二阶滑模控制（Second-order Sliding Mode Control， SSMC），然后通过自适应增益在一定程度上缓解了抖振问题。但该方案在系统参数存在误差时需要提高自适应系数才能保证控制精度［24-25］，过大的系数将导致抖振问题重新出现。基于此，本文提出一种鲁棒自适应双层滑模控制（Adaptive Dual Layer Sliding Mode Control， ADLSMC）策略，该策略引入了等效控制技术保证自适应增益的最小化，然后通过两个增益的自适应调节，可同时保证控制精度与抑制抖振。

2 动力学模型与碰撞分析

2.1 动力学模型

空间机器人与航天器系统如图1 所示。图中O0，Os，Oi(i=1，2，…，6)分别为载体质心、航天器质心与各关节铰中心；PL，PR分别为机械臂左、右末端执行器的捕获点；PL'，PR'分别为航天器左、右把手的被捕获点；B，B'分别为载体与航天器对接装置上的点。系统中的坐标系定义如下：XOY为系统随轨道平动的惯性参考坐标系；x0O0y0，xsOsys分别为固定在载体质心、航天器质心上的坐标系；xiOi yi为固定在关节铰中心的坐标系。系统中的符号定义如下：m0，I0，θ0分别为载体的质量、转动惯量与姿态角，mi，Li，Ii，θi分别为机械臂的质量、长度、转动惯量与转角，ms，Is，θs分别为航天器的质量、转动惯量与姿态角，θmi为关节电机转子转角，L0，Ls，LB'分别为O0到O1，Os到PL'，Os到B'的距离，ψ1，ψ2分别为O0O1，O0O4与x0轴的夹角。

图1 双臂空间机器人与航天器系统Fig.1 Dual-arm space robot and target spacecraft systems

为了防止机器人捕获航天器与辅助对接的过程中，因碰撞产生的巨大冲击载荷造成关节的损坏，在关节电机与机械臂之间添加一种SDBD，其结构如图2 所示。

图2 SDBD 的结构Fig.2 Structure of SDBD

SDBD 主要由弹簧（Spring）、阻尼器（Damper）、输入圆盘（Input disc）、负载轴（Load shaft）及挡块（Block）组成，其中输入圆盘与电机相连、负载轴与机械臂相连。碰撞时在关节处产生的冲击能量将由弹簧缓冲，随后被阻尼器卸载。但弹簧的加入会增加关节的柔性，导致机械臂在运动时发生柔性振动，不利于机械臂的稳定控制。因此将阻尼器嵌套在弹簧的内部，实现阻尼器与弹簧的同步运动以实时抑制柔性振动。SDBD 中弹簧的刚度为ki，阻尼器的阻尼系数为Dti，为了描述机械臂与电机端的阻力，将它们等效为由阻尼器产生，定义机械臂端与电机端的等效阻尼系数分别为DLi，Dmi。

参考文献［26］可得捕获操作前的空间机器人与航天器动力学模型为：

其中：Mr∈R9×9，Ms∈R3×3分别为机器人与航天器的惯量矩阵，Hrq̇r∈R9×1为科氏力、离心力列向量，DL∈R9×9为机械臂端增广的等效阻尼系数矩阵，Dmg∈R6×6为电机端等效阻尼系数矩阵，Dtg∈R6×6为阻尼器的阻尼系数矩阵，Ks∈R6×6为弹簧的刚度矩阵，Im∈R6×6为电机转子转动惯量矩阵；qr∈R9×1为载体位姿与机械臂关节角列向量，qm∈R6×1为电机转子转角列向量，qg∈R6×1为机械臂转角列向量，qs∈R3×1为航天器位姿列向量；τr=[τB，τ0，τg]T，τB∈R2×1，τ0分别为载体位置、姿态控制力矩，τg∈R6×1为机械臂控制力矩列向量，τm∈R6×1为电机输出力矩列向量；Jr∈R6×9，Js∈R6×3分别为捕获点与被捕获点的运动雅克比矩阵，FP，FP'∈R6×1分别为捕获点与被捕获点的作用力/力矩（碰撞前FP，FP'均为零向量，碰撞时FP+FP'=06×1）。

捕获后空间机器人与航天器锁紧固连形成闭链混合体系统，则在载体质心坐标系下，左链的捕获点与被捕获点满足如下速度约束：

对式（4）求导可得闭链系统的加速度为：

捕获后在惯性参考坐标系下，左链的捕获点与被捕获点满足速度约束：

由式（6）可通过左链速度表示航天器速度：

对式（7）求导可得航天器的加速度为：

将式（4）、式（5）、式（8）代入式（1）和式（2），且结合牛顿第三定律可得闭链混合体系统的动力学模型为：

捕获操作完成后，机械臂末端执行器与航天器把手锁紧，因此内力项对闭链混合体系统运动无影响。由于Hh，DLh的前两列元素均为零，且碰撞过程中系统处于无控状态，故式（9）可转换为完全能控形式的闭链混合体系统动力学模型：

2.2 碰撞分析

若忽略空间机器人捕获航天器过程中的微重力影响，则整个系统满足动量守恒。假设碰撞时间为Δt，由于Δt很短，在这一时段可认为系统的广义坐标未发生突变，仅有广义速度和广义加速度发生突变［7］。通常为了保护电机，碰撞过程中电机处于关机状态，则对式（1）和式（2）在Δt内积分可得：

其中：t0为碰撞时刻，为碰撞冲量。

结合式（4）、式（7）和式（11）可解得碰撞冲击效应与冲击力分别为：

3 阻抗模型

捕获后空间机器人与航天器固连形成闭链混合体系统，因此辅助对接操作只需要考虑航天器对接装置在载体质心坐标系内的轨迹运动情况。将航天器对接装置B'点在载体质心坐标系上投影可得：

式中，θB'=θ1+θ2+θ3。

对式（14）求导可得B'点在载体质心坐标系下的相对运动学关系为：

阻抗控制可通过给定适当的阻抗参数来调节机械臂位姿和接触力之间的关系，由于空间机器人在辅助对接过程中需精确控制对接装置的位姿与输出力，因此将阻抗控制应用于辅助对接操作。根据文献［18］，机器人的阻抗关系可被描述为：

其中：Xe=X-Xd，Xd航天器为对接装置的期望位姿；分别为惯量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵；FB'∈R4×1，Fe∈R4×1分别为航天器对接装置的输出力/力矩、接触力/力矩。

由于对混合体系统镇定控制过程中不涉及接触、碰撞问题，故辅助对接中根据是否需要控制对接装置的输出力/力矩，可将阻抗控制可分为两个阶段：自由阶段和接触阶段。在自由阶段中，对接装置的接触力/力矩为零，此时Fe=FB'=04×1；在接触阶段中，对接装置前部受到环境力/力矩作用，其运动状态受到限制。基于以上分析，对接过程中阻抗关系可描述为：

4 控制器设计

4.1 动力学模型转换

由于辅助对接过程中控制的是航天器对接装置在载体坐标系下的位姿，为了方便后续控制器的设计，将关节空间的动力学方程转换到惯性空间。通过式（15）可得：

结合式（10）和式（18）可得惯性空间的动力学方程为：

考虑到空间机器人载体位姿调节将消耗燃料使载体质量不可知，且对航天器质量的估计难免存在误差，因此捕获后的混合体系统参数往往难以确定。为了精确的控制混合体系统，需将系统的不确定参数进行分离。一般的，机器人系统参数可被分解为：

将式（20）代入式（19）可得：

4.2 ADLSMC 控制器

本文旨在系统参数未知下，设计一种ADLSMC 控制器，实现辅助对接操作的高精度控制，即：

式中，tf为收敛时间。

基于式（23）的控制目标，设计如下形式的非线性滑模面：

式中，S1(t)=Ẋe+λXe，λ，β＞0。

对式（24）求导可得：

将式（22）代入式（25）可得：

基于以上分析，设计如下形式的超扭滑模策略：

若ω0已知，可根据文献［24］选取k1j=使得在有限时间内收敛。然而在此情况下k1与k2均为常数矩阵，为了保证滑模切换项能抵消不确定参数项η(t)的影响，需保持k2的元素均大于ω0，这意味着滑模的抖振将会被放大，不利于对接操作的高精度控制。因此，需寻找出一种更好的方法重新设计k1与k2的值。

在SMC 中系统一旦到达了滑模面就会发生等效控制［25］，即：η(t)。等效控制可使系统在滑模面上移动，但滑模增益必须大于不确定参数项的上界，由于系统在滑模面上移动是不连续与切换的，导致滑模的抖振难以被消除。为了解决该问题，引入一个新的变量：

其中：0 ＜μ＜1ϑ＜1，ε＞0 为很小的正常数。K(t)的自适应率可被设计为：

其中：K(0)为正常数矩阵，k(t)的更新率为：

式中，ξ(t)的自适应率为：

其中：r(0)为正常数矩阵，r(t)的更新率为：

式中，γ为正常数。

4.3 稳定性分析

为保证控制器使系统稳定，需满足如下假设：

假设1：航天器对接装置的位姿X与速度可被精确测量。

假设2：式（21）中的参数不确定项f(t)有界，即：。

为方便后续的稳定性证明，引入引理1[22]：

引理1：

对于如下时变系统：

考虑系统（23），若存在一个连续函数V(z)：D→R，定义在邻域U⊆D内满足如下条件：

（1）f(z)在D⊆Rn内是正定函数；

（2）存在实数κ＞0，λ∈(0，1)使得：

则系统（23）将局部有限时间内收敛；若D=Rn且V(z)是无界的，则系统（23）将全局有限时间内收敛。

定理1：对于不确定系统（21），设计如式（28）～式（32）形式的ADLSMC 函数，可确保非线性滑模面（24）在有限时间内收敛，且收敛时间小于：

且若增益k1与k2满足：

证明：为了后续证明的方便，将式（29）分解为如下4 个子系统：

第1步：系统未到达滑模面时

当Kj(t)＜ω0时，由于，此时有：

结合式（32）和式（38）可知：

通过式（39）可知K(t)单调递增，因此随着时间的累积将有Kj(t)＞ω0。

当Kj(t)＞ω0时，可选取如下形式的Lyapunov 函数：

对式（40）求导可得：

由式（36）设计的k1与k2取值可知为正定矩阵，故̇(t)＜0，即系统将收敛。进一步可得：

通过式（40）可知：

结合式（40）与式（44）可得：

通过式（43）与式（45）可得：

式（46）结合引理1 可知系统将有限时间收敛，且收敛时间小于。

第2 步：当系统到达滑模面时

为了后续分析的方便，引入一个新的误差变量Δ(t)，其表达式为：

对式（47）求导且结合式（34）可得：

由于系统到达了滑模面，因此S2(t)=(t)=0，此时等效控制力矩Ueq(t)等于系统的不确定项η(t)。

对式（30）求导可得：

选取如下形式的Lyapunov 函数：

对式（50）求导可得：

由式（49）且结合0 ＜μ＜1ϑ＜1，≤ω1可知：

由式（48）可知：

将式（52）和式（53）代入式（51）可得：

基于以上分析，所提的ADLSMC 的控制率可被设计为：

4.4 结合阻抗模型的ADLSMC

为了同时控制对接装置的位姿与输出力，参考文献［27］设计的力/位伺服系统，本文设计了一种力加载随动控制系统，其控制框图如图3所示。

图3 力加载随动系统控制框图Fig.3 Control block diagram of force load servo system

图3 所示的控制系统可根据航天器对接装置输出力/力矩与末端接触力/力矩的误差，在线修正对接装置的位姿，并实现对输出力/力矩的跟踪。

5 仿真分析

5.1 SDBD 的抗冲击性能

采用图1 所示的空间机器人与航天器系统进行仿真分析。

空间机器人系统参数如下：m0=200 kg，mp=10 kg (p=1，2，4，5)，mq=5 kg (q=3，6)，Lp=2 m，Lq=1 m，dp=1 m，dq=0.5 m，I0=128 kg·m2，Ip=15 kg·m2，Iq=2 kg·m2，Imi=0.05 kg·m2，ksi=1 000 N rad，Dmi=28.65 N·s rad，Dti=1 146 N·s rad，DLi=28.65 N·s rad，ψ1=2.791 rad，ψ2=0.349 rad。

航天器系统参数如下：ms=50 kg，Ls=0.5 m，LB'=0.9 m，Is=8.5 kg·m2。

为了验证SDBD 在碰撞时的抗冲击性能，在惯性参考系下对50 组不同航天器速度进行碰撞分析，其中航天器x，y方向速度取值范围为0～0.05 m/s，旋转速度取值范围为0～8.6 （°）/s，且均采用蒙特卡洛模拟，结果如图4～图6 所示。

图4 未添加SDBD 最大冲击力矩Fig.4 Max impact torque without SDBD

通过图4～图5 可知，在所选取的速度中，航天器速度为［0.05 m/s，0.05 m/s，8.60 （°）/s］时关节受到的冲击力矩最大，且有、无添加SDBD的最大值分别为112.54 Nm，186.75 Nm；通过图6 可知，在所选取的速度中，SDBD 均能有效的降低关节受到的冲击力矩，且航天器速度为［0.006 6 m/s，0.009 7 m/s，2.25 （°）/s］时最大降低的百分比为46.78%。因此，基于以上分析可认为SDBD 能在碰撞时对关节起到较好的保护作用。

图5 添加SDBD 最大冲击力矩Fig.5 Max impact torque with SDBD

图6 最大冲击力矩降低百分比Fig.6 Percentage reduction in max impact torque

5.2 辅助对接操作

为了尽量减小辅助对接操作中的接触、碰撞给机器人关节带来的冲击力矩，载体对接装置通常内置有弹簧，只有当航天器对接装置输出力大于弹簧弹力时才可进行对接操作，因此设置的期望输出力应略大于弹簧的弹力。

假设空间机器人初始静止，其位姿为q=[10°，120°，-60°，-60°，60°，60°，60°]T。航天器相对空间机器人的初始速度为q̇s=[0.05 m/s， 0.05 m/s，10 (°)/s]T。为保护关节电机，假设碰撞1.5 s 后开始对接操作，通过式（12）计算的冲击效应，可得闭链混合体系统的位姿、速度分别为：q=［10.81°，114.45°，-58.56°，-57.32°，56.43°，58.44°，64，69°］T，q̇=［0.55 （°）/s，-0.38 （°）/s，-0.46 （°）/s，-0.42 （°）/s，-0.37 （°）/s，-0.40 （°）/s，-0.48 （°）/s］T。系统的控制器参数 为 ：K(0)=diag(30，30，30，30)，r(0)=diag(30，30，30，30)，λ=10，β=4，γ=6，μ=0.5，ϑ=1.9，ε=0.01，MB'=diag(50，50，50，50)，BB'=diag(50，50，50，50)，KB'=diag(300，300，300，300)。

为减小辅助对接过程中碰撞产生的冲击载荷，将该过程分为细分镇定控制、预加载、对接控制3 个阶段。文章通过与SMC 策略进行对比，以突出所设计ADLSMC 策略的优势，SMC 的滑模函数为：

式中，Λ=diag(8，8，8，8)。SMC 结合计算力矩法设计的控制力矩为：

式中，Kc=diag(0.5，0.5，0.5，0.5)。

镇定控制阶段（0～5 s）：关闭力/位姿阻抗控制，对混合体系统进行镇定控制，将载体姿态角与机械臂转角调整至期望状态：

预加载阶段（5～15 s）：5～10 s 为自由阶段，关闭阻抗控制仅进行位姿控制，调整航天器对接装置的位姿，使其正对载体对接装置；10～15 s 为接触阶段，开启力/位姿阻抗控制进行输出力的预加载，且将航天器对接装置移动到载体对接装置的正上方：

对接控制阶段（15～25 s）：开启力/位姿阻抗控制，航天器对接装置沿期望轨迹克服载体对接装置内的弹簧弹力完成辅助对接操作：

图7 为机器人载体姿态角轨迹，图8 和图9 为机器人各关节转角轨迹，由图7～图9 可知ADLSMC 的收敛速度快于SMC，且其控制精度远高于SMC。图10 为航天器对接装置姿态角轨迹，图11 为航天器对接装置位置轨迹，由图10 和图11 可知在ADLSMC 策略下对接装置的位姿实现了高精度控制，进一步结合图12 的航天器对接装置输出力可知，高精度控制可有效地降低辅助对接过程中产生的冲击载荷。由于ADLSMC策略实现了对抖振的抑制，因此航天器对接装置的输出力较SMC 策略更为稳定，这对辅助对接操作具有更重要的意义。图13 为机器人载体姿态控制力矩，图14～图15 为机器人关节角控制力矩，通过图13～图15 可知ADLSMC 策略的输出力矩较为平稳，可有效的降低对电机的性能要求，有利于控制算法的物理实现。（在实际的操作中，SMC 策略要达到仿真效果需让空间机器人的控制力矩如图13～图15 所示，但通常载体的动量轮与关节输出力矩难以达到如此高的切换频率）

图7 空间机器人载体姿态角轨迹Fig.7 Base attitude angle trajectory of space robot

图8 空间机器人左链关节角轨迹Fig.8 Left link joint angles trajectory of space robot

图9 空间机器人右链关节角轨迹Fig.9 Right link joint angles trajectory of space robot

图10 航天器对接装置姿态角轨迹Fig.10 Docking device attitude angle trajectory of spacecraft

图11 航天器对接装置位置轨迹Fig.11 Docking device position trajectory of spacecraft

图12 航天器对接装置输出力Fig.12 Docking device output force of spacecraft

图13 空间机器人载体姿态控制力矩Fig.13 Base attitude control torque of space robot

图14 空间机器人左链关节控制力矩Fig.14 Left link joint control torques of space robot

图15 空间机器人右链关节控制力矩Fig.15 Right link joint control torques of space robot

6 结 论

本文研究了双臂空间机器人捕获航天器及辅助对接操作；为了防止关节受冲击破坏，在关节处添加了SDBD；建立了闭链混合体系统动力学模型与机器人的阻抗模型；提出了一种ADLSMC 策略实现对接装置的力/位姿控制。通过仿真结果可看出，SDBD 可以实现冲击载荷的快速卸载，且最大可将冲击力矩减小46.78%；结合阻抗控制的ADLSMC 策略的力控制精度优于0.5 N，位姿控制精度优于10-3m，0.5o。

本文在捕获、对接过程中考虑的末端执行器为结构相对简单的抓手，使得机械臂的操控能力一般。但随着捕获、对接任务的复杂化，将灵巧手加入到机械臂末端以增加操控性能是必然的趋势，因此有必要对添加了灵巧手的捕获、对接操作进行研究。另外，本文考虑的双臂机器人为小臂系统，其负载能力与工作空间有限，因此利用大臂或组合臂增加双臂机器人的工作范围，使空间机器人能在更大范围、更复杂作业环境中完成捕获、对接操作也是未来的发展趋势。