三角的问题 方程的视角

2023-12-19 01:41鲁和平
中学数学杂志(高中版) 2023年6期

【摘  要】  高中三角函数,由于三角公式的大量削减,现在学生学起来反而倍感吃力.为了改变这一现状,可以跳出三角的苑囿,用方程的视角来重新审视三角问题,则会发现三角问题会变得简单而有趣.

【关键词】  三角问题;方程视角;妙解

高中三角函数兼具知识性与工具性,是非常重要的基础章节.由于课改的需要,有些繁琐的三角公式已被逐出课本.现在学生记忆负担减轻了,但解题时知识点之间的逻辑链接也变得缓慢了.如果我们改变思维视角,用方程的观点来看待三角函数,则会豁然开朗,问题也随之获解.

1  万能置换视角

万能置换最大的优点,就是能将正弦函数、余弦函数、正切函数用含同一个字母的不同代数式表达.这样就为构造方程提供了先机.例1  已知5sinx+1=5cosx,求cosx的值.

解析  设tanx2=t,则sinx=2t1+t2,cosx=1-t21+t2,故原方程即为:5·2t1+t2+1=5·1-t21+t2,化简得6t2+10t-4=0,解得t=13或t=-2,故cosx=1-t21+t2=45或cosx=-35.

2  韦达定理视角

根据韦达定理逆向构造一元二次方程,是学生的拿手好戏.而正弦余弦函数的平方关系起到了关键性的桥梁作用.

例2  已知sinθ+cosθ=15,θ∈(0,π),则tanθ的值是.

解析  将sinθ+cosθ=15两边同时平方得:1+2sinθcosθ=125,即sinθcosθ=-1225<0.由韦达定理知sinθ,cosθ是一元二次方程x2-15x-1225=0的两根,又因为θ∈(0,π),故cosθ<0<sinθ,则cosθ=-35,sinθ=45,故tanθ=sinθcosθ=-43.例3  是否存在锐角α,β,使等式α+2β=2π3,tanα2tanβ=2-3同时成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,请说明理由.

解析  由已知α+2β=2π3,得α2+β=π3,则tanα2+β=tanα2+tanβ1-tanα2tanβ=3.  ①

将tanα2tanβ=2-3,  ②

代入①式,得tanα2+tanβ=3-3.  ③

由②③知tanα2,tanβ是方程x2-(3-3)x+2-3=0的两个根,解之得x1=1,x2=2-3.因为α,β均为锐角,故tanα2≠1,即tanα2=2-3,tanβ=1.故β=π4,代入α+2β=2π3,得α=π6.故α=π6,β=π4.3  对偶配对视角

正弦、余弦函数对偶互配,可以衍生出方程组,再通过解方程组或恒等变形,就可以使问题得到圆满解决.

例4  求值:cos20°cos40°cos80°.

解析  由诱导公式得

cos20°cos40°cos80°=sin70°sin50°sin10°=sin10°sin50°sin70°.

设x=sin10°sin50°sin70°,y=cos10°cos50°cos70°,

则xy=18sin20°sin100°sin140°=18cos70°cos10°cos50°=18y,即xy=18y,故x=18.

例5  已知sinx+2cosy=2,求cosx+2siny的取值范围.

解析  设cosx+2siny=t.  ①

又sinx+2cosy=2.  ②

由①2+②2,得(cosx+2siny)2+(sinx+2cosy)2=4+t2.

即5+4sin(x+y)=t2+4,则t2=1+4sin(x+y)≤5,

故cosx+2siny的取值范围为[-5,5].

4  十字相乘视角

十字相乘法是解一元二次方程的灵丹妙药.在三角函数恒等式里,能用十字相乘法分解因式的代数式俯拾皆是.

例6  已知sin22α+sin2αcosα-cos2α=1,α∈0,π2,求sinα,tanα.

解析  因为cos2α=2cos2α-1,故原方程可化为sin22α+sin2αcosα-2cos2α=0,由十字相乘法得(sin2α-cosα)(sin2α+2cosα)=0.

由α∈0,π2知:sin2α>0,cosα>0,故sin2α+2cosα>0,

故sin2α-cosα=0,则sinα=12,又α∈0,π2,则α=π6,所以tanα=33.

5  加减消元视角

加减消元法是解决方程组问题的基础方法.如果将这种思维迁移到三角函数里,就可以“柳暗花明,枯木逢春”.

例7  已知α,β满足tanαtanβ=713,若sin(α+β)=23,則sin(α-β)的值为.

解析  设sin(α-β)=x,即sinαcosβ-cosαsinβ=x.  ①

由sin(α+β)=23,得:sinαcosβ+cosαsinβ=23.  ②

解方程组①②,得sinαcosβ=13+x2.  ③

cosαsinβ=13-x2.  ④

由③÷④得tanαtanβ=13+x213-x2=713,解得x=-15,故sin(α-β)=-15.6  数形结合视角

数形结合是高中数学非常重要的思想方法.先以数论形,再因形构数,就可以“比翼双飞,相得益彰”.

例8  在△ABC中,已知AC=6,BC=8,

cos(A-B)=34,求sin(B-C)的值[1].解析  如圖1,在BC边上取点D,使BD=AD,则∠BAD=∠B.

cos∠DAC=cos(A-B)=34,设BD=AD=x,则DC=8-x.

在△ADC中,由余弦定理得(8-x)2=x2+62-2·6·x·34,

解得x=4.故BD=AD=DC=4.所以点A在以BC为直径的圆上,故∠BAC=90°,又cos(A-B)=34,

即cosC=34,所以sinB=34,则sin(B-C)=sin2B-π2=-cos2B=2sin2B-1=18.图1

7  求根公式视角

求根公式是解一元二次方程的万能公式.如果我们能适时构造一元二次方程,就可以水到渠成地利用求根公式求解.

例9  求值:cos36°.

解析  设α=18°,则2α=36°,3α=54°.因为2α+3α=90°,故2α=90°-3α.

sin2α=cos3α,sin2α=cos(2α+α),2sinαcosα=4cos3α-3cosα,即2sinα=4cos2α-3.

化简得4sin2α+2sinα-1=0,由求根公式得sinα=5-14(负根舍去).

由二倍角公式得cos36°=cos2α=1-2sin2α=1-25-142=5+14.8  判别式法视角

判别式是判断一元二次方程根的试金石.而判别式法又是一种通用而有效的解题办法,对于三角函数问题也大有用武之地.

例10  在△ABC中,求证:sinA2sinB2sinC2≤18 [2].

解析  sinA2sinB2=-12cosA+B2-cosA-B2=-12sinC2-cosA-B2,

故sinA2sinB2sinC2=-12sinC2-cosA-B2·sinC2.

设sinA2sinB2sinC2=-12sinC2-cosA-B2·sinC2=t.

则sinC22-cosA-B2sinC2+2t=0.

将上述方程视为以sinC2为未知数的一元二次方程,

则Δ=cos2A-B2-8t≥0,即t≤18cos2A-B2≤18·1=18.

故sinA2sinB2sinC2≤18.

由以上八个用方程的视角解三角题的例子可以看出,方程的积极参与,使三角问题的解决途径千姿百态.方程的“触角”已深入到三角的各个“毛孔”.关键在于我们是否能融会贯通,打通其“任督二脉”.在平时的教学中,教师要有意识地引导学生从不同的侧面看待数学问题,培养学生的发散性和创新性思维能力.

参考文献

[1]  林明成.冲刺双一流  高中数学培优讲义[M].成都:四川民族出版社,2023:37-38.

[2]  琚兴广.高中数学一题多解[M].武汉:湖北教育出版社,1995:37-39.

作者简介  鲁和平(1964—),男,湖北省天门市人,特级教师;主要从事高中数学解题方法与技巧研究;发表论文80余篇.