直线倒立摆线性自抗扰控制器的设计及仿真

于宗艳，韩连涛，王 丽

（1.黑龙江科技大学 电气与控制工程学院，哈尔滨 150022；2.哈尔滨电气科学技术有限公司，哈尔滨 150040）

倒立摆是一个典型的高阶次、不稳定、多变量、强耦合、非线性的欠驱动系统[1]。由于倒立摆的控制与空间飞行器和各类伺服平台的稳定控制有很大的相似性，因此，对倒立摆的研究又具有重要的实际意义。目前已有很多控制方法应用到了倒立摆的控制中[2-6]，如LQR 控制方法、模糊控制方法、预测控制方法、滑模控制方法等，均取得了较好的效果，但也存在一些问题，如需要获得系统的数学模型、控制精度不高、运算耗时量大及易出现抖振等。

自抗扰控制器（ADRC）其核心思想是将系统模型和外扰作用均当作对系统的扰动而自动估计并给予补偿，进而将对象变为一个简单的积分串联型系统，然后通过适当的状态误差反馈实现良好的控制品质[7-11]。ADRC 不依赖于系统的模型，具有算法简单、超调小、响应速度快、精度高、抗干扰能力强和鲁棒性强等特点。

本文针对直线一级倒立摆，采用自抗扰控制技术实现解耦控制的思路，设计了直线一级倒立摆的线性自抗扰控制器，实现了对倒立摆在参考位置的稳定控制。本文在线性扩张状态观测器的设计中利用了已知的系统模型信息，进一步提高了观测器对扰动的跟踪性能。仿真实验结果验证了本文设计的线性自抗扰控制器的有效性、强抗干扰性和鲁棒性。

1 线性自抗扰控制

实际中，大量的被控对象可简化为[12]

式中：w 为外扰。ADRC 的核心思想是使用适合的方法，通过对象的期望输出r、实际输出y 以及控制量u 对系统运行过程中的实时作用量a（t）=f（y，，…，y（n-1），w，u，t）进行估计并给予补偿，使系统变成积分串联型系统：

然后对其实现适当的状态误差反馈来达到控制的目的。

以形如系统（1）的二阶系统为例，为了实现ADRC的核心功能（估计、补偿、反馈控制），二阶ADRC 的结构如图1 所示，现将其各部分作用进行说明。

图1 ADRC 控制器的结构Fig.1 Frame of ADRC

（1）安排过渡过程装置。由给定值v0得到过渡过程v1及其微分信号v2。

（2）扩张状态观测器ESO。利用被控对象的输入、输出信号u 和y，将被控对象的状态信号z1，z2和施加在其上的总和扰动信号z3实时地估计出来。

（3）状态误差的非线性反馈律NF。其中，e1=v1-z1，e2=v2-z2称为系统的状态误差，而NF 的作用是由e1和e2生成控制律u0。

（4）利用u0和总和扰动的实时估计值z3的补偿来确定最终控制信号u。

式中：b0是与补偿强弱有关的可调参数。

线性自抗扰控制技术（LADRC）是在ADRC 基础上提出的[13-14]，从组成部分看，由上述的（2）、（3）和（4）部分组成；从数学形式看，LADRC 用线性配置替代ADRC 中的非线性配置；从控制角度看，LADRC通过ωc和ωo参数化方法，将所有的控制器和观测器的参数分别转化为ωc和ωo的函数，进而将困难、复杂的参数调整问题简单、直观化，同时也更贴近工程师所熟悉的控制语言，这里的ωc表示反馈控制系统的带宽，ωo表示观测器的带宽。

2 倒立摆的线性自抗扰控制器的设计

直线一级倒立摆系统是由小台车和倒立摆构成。控制量是伺服电机电枢电压，被控量是倒立摆的偏角及小台车位移，直线一级倒立摆示意图参见文献[15]。

倒立摆系统的数学模型[16]为

式中：φ 为摆相对于铅直方向的偏角；x 为小台车的位移；J 为摆的转动惯量；m 为摆的质量；L 为摆的质心距节点的距离；M 为小台车的质量；b 为小台车摩擦系数；g 为重力加速度。

记转动惯量为J=mL2/3，由式（4）可得：

通常的自抗扰控制技术处理的对象是SISO 系统，但是倒立摆系统的输出由摆的偏角和小台车位移组成，并且受控于同一伺服电机输出电压，同时摆的偏角和小台车位移之间还相互影响。可见倒立摆系统具有强烈的耦合性。

由于自抗扰控制技术具有内在的解耦功能[17]，本文采用自抗扰控制方法实现解耦控制的思路实现对倒立摆系统的稳定控制。为此，将系统方程（5）改写为

进一步记为

式中：f1和f2分别为偏角通道和位移通道的总扰动，包括内扰（系统不确定模型）和外扰。

基于式（8）把u 当作输入，把φ 当作输出，看成一个单输入单输出系统，并将u 和φ 作为偏角通道观测器的输入，用观测器的3 个输出设计偏角通道控制器，从而完成了u 为输入φ 为输出的单变量系统的自抗扰控制器设计。位移通道的自抗扰控制器设计思路同偏角通道。由于倒立摆系统为典型的欠驱动系统，所以将2 个通道的控制器输出之和作为对象的最终控制量u。倒立摆系统的方案如图2 所示。

图2 倒立摆自抗扰控制器结构图Fig.2 Structure diagram of LADRC for pendulum

LESO1 是摆的偏角通道的观测器，LESO2 是小台车位移通道的观测器；z11，z12为摆的偏角及其微分信号的估计值，z13为对偏角通道的总扰动的实时估计，z21，z22为小台车位移及其微分的估计值，z23为对小台车位移通道的总扰动的实时估计；LTD 为对小台车位移设定值设计的线性跟踪微分器；v0为输入的小台车位移设定值，v1为对v0安排的过渡过程也即小台车位移设定值的跟踪值，v2为v0的近似微分值；由于摆的偏角设定值为零度，所以忽略其TD设计；LF1 和LF2 分别为偏角和位移通道状态误差的线性反馈律，均采用PD 控制律；b01和b02近似为系统稳定时控制输入的放大系数的近似值，由于倒立摆系统只有一个控制输入u，因此，b01必然等于b02。另外，为了提高位移通道总扰动的估计效果，进而实现对小台车位移的稳定控制，本文在位移通道的观测器设计中利用了位移通道总扰动的导数信息即h，这样位移通道的观测器LESO2 的输入在控制量u 和位移量x 基础上又增加了一个h。

3 仿真结果

采用的直线一级倒立摆系统的参数为M=1.32 kg；m=0.109 kg；b=0.1 N/m/s；g=9.8 m/s2；L=0.25 m。

根据文献[13]给出的参数化步骤确定的倒立摆线性自抗扰控制器的各参数设置为r=16；b01=b02=-1.8；ωo1=30；ωo2=80；ωc1=40；ωc2=7；kp1=；kd1=10ωc1；kp2=；kd2=16ωc2。

下文对以下3 种情形分别进行仿真，以实现对倒立摆线性自抗扰控制器的有效性、抗扰性和鲁棒性等性能的验证。

图3 不加干扰时摆的偏角、小台车位移响应和控制量变化曲线Fig.3 Response of the pendulum angle cart position and the control viable without disturbance

从图3 可以看出，当摆杆具有一定的偏角时，自抗扰控制器能够实现对摆杆的稳定控制。在t=25 s给出位移参考指令后，摆的偏角的调节时间为ts=4 s，稳态误差为零且超调量很小；小台车位移经过4 s左右进入稳态，稳态误差为零，超调量小且振荡次数少。说明自抗扰控制器能够实现在给定位置上倒立摆的稳定控制，且响应速度快，超调小，控制准确。

从控制量变化曲线可以看出控制倒立摆由具有一定的偏角到平衡位置所施加的控制信号的能量较大，控制倒立摆由平衡状态到给定位置的稳定状态所需的控制信号能量并不大。

（2）在t=45 s 时对倒立摆施以幅度为2、持续时间为0.1 s 的脉冲转矩扰动，其他条件不变进行仿真。摆的偏角、小台车位移响应和控制量变化曲线如图4 所示。摆的偏角通道和小台车位移通道的LESO 对总扰动的跟踪性能如图5 所示。

图4 加扰动时摆的偏角、小台车位移响应和控制量变化曲线Fig.4 Response of the pendulum angle cart position and the control viable by adding disturbance

图5 摆的偏角通道和小台车位移通道的总扰动及其估计值Fig.5 Total disturbance and its estimation for pendulum angle and cart position channels

从图4 可以看出，摆杆只需2 s 就能回到平衡状态，而小车位移经过5 s 就能进入稳态，且最终能稳定在参考位置，说明自抗扰控制器具有良好的抗干扰能力。另外，从控制量变化曲线可以看出为克服扰动所施加的控制信号的能量并不大。

从图5 可以看出摆的偏角通道和小台车位移通道的LESO 能够对总扰动进行很好的估计，进而补偿总扰动，最终实现对倒立摆在给定位置上的稳定控制，说明LESO 具有很好的总扰动跟踪性能。

从图5 还可以看出位移通道的总扰动估计效果好于摆的偏角通道。这是因为本文在位移通道的观测器设计中利用了位移通道总扰动的导数信息，这也说明如果完全知道或部分知道对象模型信息，可以利用并取得更好的跟踪效果。

（3）下面来研究当被控对象发生变化或者系统参数不准确时，自抗扰控制器的控制效果。仿真实验中改变倒立摆系统的以下3 个参数，即m=0.159，L=0.5，b=0.2，其他参数不变。自抗扰控制参数保持不变，仿真情形同（1）。摆的偏角、小台车位移响应和控制量变化曲线如图6 所示。

图6 对象参数改变时摆的偏角、小台车位移响应和控制量变化曲线Fig.6 Response of the pendulum angle cart position and the control viable by changing parameters

从图6 可以看出，在保持自抗扰控制器参数不变的条件下，改变倒立摆系统的多个参数后，仍能取得很好的控制效果，说明自抗扰控制器对系统参数具有良好的适应性及具有强鲁棒性。

4 结语

对倒立摆这种高阶、不稳定、多变量、强耦合、非线性的欠驱动系统，本文利用自抗扰控制器具有的良好的总扰动跟踪能力、强鲁棒性，采用自抗扰控制方法实现解耦控制的思路，设计了直线一级倒立摆的线性自抗扰控制器，实现了对倒立摆在给定位置的稳定控制。

为了提高控制器的控制效果在设计扩张状态观测器时利用了系统已知的模型信息，仿真结果验证了本文设计的线性自抗扰控制器的有效性，并且进一步验证了线性自抗扰控制器具有的优良的抗干扰能力和强鲁棒性。但理论分析及其在更高阶倒立摆系统上的应用有待下一步研究。