三类数学软件在中学物理教学中的应用及对比研究

王伶俐

上海市浦东复旦附中分校，上海 200120

教育部颁布的《教育信息化2.0 行动计划》［1］和《普通高中物理课程标准（2017 年版2020 年修订）》［2］，都明确了将现代信息技术融入到教育改革的重要性。当前，现代教育技术正不断渗透到物理教学中。然而，目前的研究大多集中于某个特定软件在特定教学问题上的应用［3-4］。随着研究的深入发展，可应用于物理教学的数学软件越来越多，相关案例也越来越繁杂。同时，尽管数学软件在物理教学中的研究日益深入，但从事这一领域研究的一线物理教师却很少。面对众多可供选择的数学软件，大多数尚未参与此类研究的一线物理教师可能由于不了解各个软件的特点而感到手足无措，难以作出正确的选择。根据应用于物理教学中的数学软件所具备的能力、面向的场景和使用的难易程度，可将其分为通用数据处理软件、面向基础教育者的动态数学软件和面向科研工作者的专业数学软件。

本文对这三类数学软件在中学物理教学中的应用现状和软件特点进行了对比分析，旨在帮助物理教师全面了解与物理教学相融合的数学软件，进而在此基础上选择适应教学内容的数学软件。

1 通用数据处理软件

Excel 和Origin 是两款在管理、统计财经、金融、教育等众多领域中得到广泛应用的数据处理软件，它们具有较强的数据分析和绘图功能，且都不需要编程，简单易学。其中，Excel 的操作更容易且应用更广泛。目前，国内将Excel 用于物理教学的研究中，按其实现的功能可以分为三类，如图1 所示。第一类是处理实验数据，在获得实验数据的前提下，绘制实验图像和拟合函数，得到可视化的实验结果及物理量的具体关系式。最后，把可视化结果应用在“测定电源电动势和内阻”“探究一定质量气体等温变化时压强与体积的关系”等实验中［5］。与传统的人工数据处理和人工作图法相比，借助Excel 软件的数据处理和作图效率更高且更准确。第二类是绘制函数图像，可应用于“等量同种或异种点电荷中垂线的电场分布［6］”“分压电路中滑动变阻器的选择［7］”“直流闭合电路输出功率的动态分析［8］”等物理问题中。通过理论分析，可以得到这些物理问题中物理量的关系式，但函数关系式比较复杂，超出了中学生的数学水平，无法直接画出函数图像。可采用描点法，先赋予自变量一系列的初始值，再利用Excel 的数据计算功能，生成小样本的结果，进而绘制函数图像。第三类是用“Excel VBA语言”编程实现动态模拟。例如，用此功能研究“简谐波的叠加［6］”和验证“匀变速直线运动的位移与时间的关系［9］”等。用“Excel VBA 语言”编程可实现超出Excel 本身菜单栏的拓展功能，但需要用户在熟练掌握Excel 的基础上，具备一定的编程能力。这方面的研究仍比较欠缺，有待广大教育工作者继续探索。

图1 Excel 在中学物理教学中的应用

Origin 是一款科学绘图、数据分析软件，其入门难易程度与Excel 相近，均不需要编程基础，对初学者非常友好。知网搜索表明，Origin 应用于物理教学的功能与Excel 的重合度较高。从实验数据作图、拟合数据和绘制函数图像三方面进行比较，结果如表1 所示。Excel 和Origin 均可方便、快捷地对实验数据作图。在拟合曲线方面，Excel 只有指数、线性、对数、多项式、幂等数种函数表达形式可选，而Origin 拟合时可自定义函数类型，灵活性更高、适用范围更广。在绘制函数图像方面，Excel 可利用描点法生成数据后再作图，而Origin 可直接利用函数功能作图，操作步骤更简单。同时，Origin 的作图功能更加强大，能绘制三维立体图，图表样式更多，模板更丰富，绘图更美观。美中不足的是，Origin 的操作难度相对Excel稍有上升，且为付费软件，使用成本也比Excel更高。

表1 Excel 和Origin 的功能比较

2 面向基础教育者的动态数学软件

几何画板和GeoGebra 都是面向基础教育者的动态数学软件，均可以实现数形结合和动态展示，表2 从开发时间、开发国家、最近更新时间、是否免费、软件运行环境等进行了比较。由对比结果可知，几何画板的开发时间虽然比GeoGebra早10 年，但近年来发展迟缓，已停止更新超十年。而GeoGebra 更新迭代的速度非常快，更新周期以天为计量单位。另外，GeoGebra 是免费的开源软件，可在iOS，Android，Windows，Mac，Chromebook，Linux 等多种系统中运行。几何画板是收费的商业软件，只支持在Windows 系统中使用。综上，GeoGebra 免费易得、运行环境丰富且功能持续更新，广受国内外物理教育工作者欢迎。

表2 几何画板和GeoGebra 的基本信息对比

截至2023 年2 月，在知网中分别对几何画板和GeoGebra 在中学物理中的应用进行文献检索，得到文献数量随年份的变化曲线（图2）。可以看出，2019 年至2022 年间，几何画板的相关文献每年在5 篇左右，相对平稳；而GeoGebra 的相关研究文献从6 篇增至27 篇，增速迅猛。这表明近年来国内越来越多的物理教育工作者关注到GeoGebra 软件，其对物理教学起着越来越大的辅助作用。

图2 几何画板和GeoGebra 发文总趋势图

通过文献梳理，对GeoGebra 在中学物理中的主要应用实例进行了分类统计，结果如表3 所示。表中的“绘图功能”包括两部分，一是指获得物理量的理论解后，利用GeoGebra 绘制图像；二是已知物理问题中一些物理量的几何关系，通过GeoGebra 的几何功能绘制示意图［10］。由于某些物理问题涉及物理量在一段时间内的变化，故会出现动态过程图像。在一些文献中，动态图像的绘制被称为“动态模拟”［11］。在这里，自变量为时间的函数的绘制也包含在“绘图功能”中。“数值模拟功能”是指在物理建模后、求出解析解之前，使用计算机求解方程近似的数值解，来模拟实际物理场景。“实验数据处理功能”是指根据实验数据绘制图像，进行曲线拟合的功能。

表3 GeoGebra 在中学物理中主要应用实例统计

对三类功能相关的文献进行数据统计，如图3 所示。在中学物理中，GeoGebra 主要应用于运动学、力学、光学、电磁学和热学，最主要的功能体现在绘制图像方面，占91.3%。在绘制图像方面，主要用于三种物理情境，一是已获得物理量理论解，但解析式较为复杂，如电源输出功率与外电阻的关系［12］；二是物理问题涉及三维空间，利用GeoGebra 的3D 视图可以得到清晰明了的可视化结果，如振动和波的叠加、光的干涉、电场线与等势面的描绘和理想气体的三维图像等［13］；三是通过GeoGebra的几何功能绘制示意图，如动态平衡分析、天体运行的轨迹和带电粒子在电磁场中的运动等。

关于GeoGebra 在中学物理中的“数值模拟功能”和“实验数据处理功能”的实例较少。2020年，云南师范大学金惠吉等利用欧拉法模拟了示波器中带电粒子的运动［14］。后来，又有学者模拟了运动学中较为复杂的运动，如弹簧摆［15］、天体运行［16］等。

3 面向科研工作者的专业数学软件

Maple，Mathematica，Matlab 和Mathcad 是面向科研工作者的四大专业数学软件。梳理国内的相关文献，发现这四大软件应用于大学物理领域的研究远多于应用于中学物理。其中，应用于中学物理研究的发文趋势如图4 所示。可以看出，Matlab 的发文数量明显多于其他三款软件。

图4 Maple，Mathematica，Matlab 和Mathcad 软件的发文总趋势图

Matlab 在中学物理中的应用实例统计如表4 所示，与表3 对比后发现，它与GeoGebra 的主要应用实例有较多重合。值得注意的是，2013 年蔡亮利用Matlab 定量研究了机车的恒定功率启动问题［17］，在数值模拟方面比GeoGebra 的首次模拟要早。在实验数据处理方面，Matlab 在中学物理中的应用很少，但在大学物理中较多。例如，弗兰克－赫兹实验［18］、刚体转动惯量实验［19］和霍尔效应实验数据处理［20］等。除绘图、数值模拟和实验数据处理三种功能外，Matlab 还可用于符号运算，具体实例有滑块运动、小球碰撞、透镜成像和等效电阻等。

表4 Matlab 在中学物理中主要应用实例统计

4 三类软件的对比

三类软件的功能，由强至弱依次为专业数学软件、动态数学软件和一般数据处理软件；可操作性由难至易也是上述排序。下面，从绘图、数值模拟、实验数据处理和符号计算功能方面，对三类软件进行对比，结果如表5 所示。

表5 三类软件的功能对比

5 总 结

分析了三类数学软件的特点及其在中学物理教学中的应用现状，对数学软件在中学物理教学中的应用给出如下建议：

（1）在中学物理教学中，优先采用Excel 和Origin 等通用数据处理软件来处理实验数据。中学物理实验数据样本小且变量的关系较为简单，Excel 和Origin 等一般数据处理软件可以满足绝大部分需求。

（2）在中学物理教学中，优先采用如GeoGebra的动态数学软件进行绘图（包括函数图像和示意图）。中学物理中的物理量的函数关系大多为初等函数，可以通过GeoGebra 输入相应的指令直接生成图像，比Excel 和Matlab 的操作更为方便。而且，GeoGebra 可根据几何关系直接作图，明显优于Excel 和Matlab。

（3）在物理竞赛和大学先导课等拓展类课程中，物理模型往往涉及偏微分方程等复杂的数学方程，可利用Matlab 的数值计算功能得到近似解，帮助学生理解真实的物理过程。

（4）可利用专业数学软件的符号计算功能求解物理方程，获得理论解析解。一方面，可利用理论解进行对比演算。另一方面，能将学生从繁琐的数学运算中解放出来，将重心放到物理建模过程上。

（5）可考虑将专业数学软件的数值模拟和符号计算等功能与GeoGebra 的绘图功能结合起来，充分发挥这两款软件的优势。