三维激光点云下的不规则三角网法土方计算及精度分析

高金彬,刘建岭,花向红,水浩奇

(1.武汉大学测绘学院,湖北 武汉 430079; 2.东营市勘察测绘院,山东 东营 257091)

1 计算土方量

在工程建设过程中,土方量计算是一项不可或缺的基础性工作。其计算精确与否不仅影响到施工方和建设方的经济利益分配,也关系着工程施工的质量和工期。常用的土方量计算方法有不规则三角网法、方格网法、断面法、等高线法、DTM法等,在测绘新技术不断发展的今天,不规则三角网法越来越受到广大测量人员的推崇。

在利用不规则三角网法计算土方量时,其精度受多种因素影响,国内外研究也取得了不错的进展。陶继峰等[1]就针对点位误差和高程误差对土方量精度的影响深入分析,得出了高程精度对土方计算结果影响比坐标精度影响要大很多的结论。朱剑飞等[2]就三角网法计算土方量的“破网”问题进行研究,提出创建一个虚拟的投影组合面并利用该平面进行土方量计算的新方法。王斌等[3]则提出了利用二次曲面进行数字高程模型(digital elevation model,DEM)内插,提高DEM模型精度和土方计算精度。Kerry等[4]在利用三维激光扫描技术(terrestrial laser scanning,TLS)的基础上基于有限元方法开发了一种算法来创建曲面通过最低的扫描点,以此构建原始地形的不规则三角网模型(triangulated irregular network,TIN)和完成项目的TIN,然后将两者进行对比计算。Hao等[5]则讨论了地形数据精度与土方计算精度之间的关系,并进一步研究了不同地形数据来源的计算方法。

为研究三角网平均边长和高程中误差对土方量计算精度的影响,更好地服务于实际工程中场地土方测算。本文将从不规则三角网法计算土方量原理出发,利用三维激光点云数据模拟真实地形,根据误差传播定律进行公式推导,构建土方量计算数学模型,并结合具体实验数据进行土方量精度影响因素详细分析。

2 不规则三角网法计算土方量精度模型

2.1 土方量计算的数学模型

计算土方的地形表面是复杂多变的,用来拟合地形表面的DEM表面既有连续的,也有不连续的;既有光滑的,也有不光滑的。在由许多个独立的小三角形组成的不规则格网中,当每一个独立三角网均可看作上表面为倾斜平面ABC(如图1所示),下表面为水平面或参考平面的三棱柱时,总土方量即可由有限个独立三棱柱体积累加而得到。独立三棱柱体土方量体积计算公式如式(1):

图1 倾斜平面三角形ABC

V=S(H均-H0)

(1)

式(1)中,S是三角形ABC面积,均为倾斜表面ABC上点的高程平均值,0即场地设计高程。并分别定义A、B、C三点高程为A、B、C。

当00,式(1)计算得到挖方量,填方量为0;

当均>max{A,B,C},全填,则均<0,式(1)计算得到填方量,挖方量为0;

当A<0

V=S1×(H0-H1)+S2×(H2-H0)+S3×(H3-H0)+S4×(H4-H0)

(2)

式(2)中,i为对应三角形高程均值(i=1,2,3,4),Si为对应三角形面积。考虑到A<0

当A

V=S1×(H0-H1)+S2×(H0-H2)+S3×(H0-H3)+S4×(H4-H0)

(3)

式(3)中,i为对应三角形高程均值(i=1,2,3,4),Si为对应三角形面积。考虑到A

填方量与挖方量绝对值之和就是总的填挖土方量。

2.2 土方量评价的精度模型

上文介绍了三种情况下土方量计算公式,式(2)和式(3)其本质上是一样的,而式(1)则是两者的特殊情况,因此只需对式(2)进行误差传播分析即可。

对(2)式进行微分,得到:

△V=S1△H1+S2△H2+S3△H3+S4△H4+△S1(H1-H0)+△S2(H2-H0)+△S3(H3-H0)+△S4(H4-H0)

(4)

对式(4)应用误差传播定律可得到:

(5)

当图2中的D、E两点沿直线逐渐向A点移动,并最终与A点重合甚至不在三角形内时,就变成了第一种情况。相应地,式(5)就变成为:

(6)

式(6)中mH为均中误差,ms为面积S中误差。

下面分别对mH和mS进行求解:

对倾斜平面三角形ABC内任意一点P,由重心插值计算其高程有:

Hp=uHA+vHB+wHC

(7)

式(6)中,u、v、w均为0到1的常数,且u+v+w=1。

则有:

(8)

(9)

将(5)式对u、v、w进行积分,即可得到三角形ABC内所有点的平均方差:

(10)

用平均方差来代替三角形ABC内任一点高程方差,可得:

(11)

为简化计算,将三角形ABC看作等边三角形,即AB=AC=BC=l,则有:

(12)

对(12)式应用误差传播定律,可得:

(13)

将式(8)、(11)、(13)代入式(6),得到土方量计算精度模型:

(14)

3 实验精度分析

为研究影响三维激光点云下的不规则三角网法土方计算精度因素,利用地面三维激光扫描仪扫描某场地的三维点云数据,通过构建DTM模拟真实地表得到该场地土方量真值。然后使用不规则三角网法计算土方量,利用控制变量法将三角网平均边长和高程中误差作为变量进行误差精度分析,分析土方量计算精度及其变化规律。

3.1 实验数据

本次实验场地位于武汉大学信息学部西门处,该场地原为武汉大学国家网络安全学院运动场,后因废弃变成了荒地,地表裸露,植被稀少。整个场地区域周长约 250 m,区域面积约 3 500 m2。最小高程为 -3.226 m,最大高程为 3.566 m。在该场地均匀设置20个站点采集场地点云数据,使用的设备为徕卡RTC360,具体场地采集情况如图4(a)、(b)所示。

图4 三维激光扫描采集现场

将采集到的初始点云数据进行点云拼接、分割、去噪、降采样等处理,得到合适的点云数据。图5为含有噪声的点云数据,图5左侧存在着树木、建筑等非地面点云,将非地面点云剔除并过滤噪声后得到图6。图6点云数据质量较高,可用于下一步三角网构网计算。在CASS9.0软件中利用图6中点云数据构建三角网,并构建DTM拟为真实地形计算土方量,将该值作为场地土方量真值。

图5 处理前点云

图6 处理后点云

3.2 精度影响分析

为研究高程中误差和三角网平均边长对土方计算精度的具体影响,首先将高程中误差设置为常量,三角网平均边长作为变量,逐个计算边长为 1 m、1.5 m、2 m、2.5 m、3 m、3.5 m、4 m、4.5 m、5 m、5.5 m、6.0 m、6.5 m、7.0 m、7.5 m、8 m、8.5 m、9.0 m、9.5 m、10 m时土方计算相对误差;接着将三角网平均边长设置为常量,将高程中误差依次设置为 1 cm、2 cm、3 cm、4 cm、5 cm、7 cm、10 cm、15 cm、20 cm,计算相应土方相对误差。具体变化情况如表1所示。

表1 土方计算相对误差

选取表1中的高程中误差为 1 cm、3 cm、5 cm、7 cm、10 cm、15 cm、20 cm的七列数据,绘图得到图7。图7显示,随着三角网平均边长的增大,土方计算相对误差呈现出明显的上升趋势,图7曲线也表明三角网平均边长和土方相对误差两者之间存在着高度的正相关性。因此,在实际的土方计算过程中,需要严格控制三角网的网格边长大小。但考虑到边长的大小直接影响到工作量的大小,因此需要结合场地实际情况和精度要求选择最佳边长。例如在本次实验中,如表1所示,当高程中误差为 5 cm时,为保证土方计算相对误差在5%以内,应当控制三角网的平均边长不超过 6 m。同时为减少工作成本,可将三角网平均边长设置为 5 m。在实际工程测量中利用三维激光扫描仪进行地面点扫描采集数据时,就必须确保点位高程中误差控制在 5 cm以内,点云降采样过程中点云分辨率不得低于 5 m。

图7 土方计算相对误差随边长变化情况

针对高程中误差对土方计算相对误差的影响,利用采集得到的数据,以不同边长下高程中误差为 0 cm时为基准,计算高程中误差变化时相应的土方量计算相对误差,将计算所得结果绘制成图,得到如下图8。图8分别展示了平均边长为 1 m、3 m、5 m、7 m、9 m、10 m时随高程中误差变化土方量相对误差的相应变化趋势。如图8所示,高程中误差和土方计算相对误差两者间存在着一定的正相关关系,即当高程中误差增大时,土方相对误差大体上也会相应增大。但结合图7和图8,可以得出结论:相较于边长变化对土方计算相对误差产生的影响,高程中误差变化对土方相对误差的影响较小,效果不太显著。在本次土方测量中,当三角网平均边长为 5 m时,为保证土方计算相对误差在5%以内,从表1可以得知,只需将高程中误差控制在厘米级精度即可,也即点云数据采集过程中将高程精度控制在厘米级精度。

图8 土方计算相对误差随高程中误差变化情况

根据上述分析,在使用地面三维激光扫描仪采集点云数据并构建三角网计算土方量时,为确保计算结果的精度,不仅要保证在点云降采样过程中不能过采样,同时要确保点位的高程精度要在厘米级。影响点云采集精度因素众多,包括扫描距离、扫描点间距、地物类别、光斑大小、物体颜色和外界环境等因素。为提高点云采集精度,扫描过程中要做到提前踏勘并调查区域内影响扫描精度的因素、合理设置测站位置保证采集覆盖面、三维激光扫描仪应尽量靠近目标物以获取足够的点云数量、每一站扫描完毕及时检核并根据检核结果制定相应措施、根据工作量和外业天气合理安排外业扫描时间。

同时在实验过程中,设计高程同样对土方计算相对误差产生较大的影响,尤其是在全填全挖的场景下。假设某场地最低高程为h1,当设计高程低于h1时,该区域全为挖方,当挖的深度增加时,土方误差不会再增加,土方总量仍在增大,导致土方相对误差就会减小,全为填方的情况与之相同。因此,在讨论设计高程对土方量计算误差的影响时,应确保设计高程在场地最大高程和最小高程之间。

4 结 语

本文对不规则三角网计算土方量的精度模型进行了严密的公式推导,在推导过程中使用了重心插值的方法计算三角形平均高程,并利用误差传播定律构建精度数学模型。实验部分利用地面三维激光扫描仪采集的点云数据构建DEM模型模拟真实地表,计算土方量真值。然后分析三角网平均边长、点位高程中误差对土方量计算精度的影响。分析得出:三角网平均边长对土方计算精度影响显著,又同时关系到实际操作成本,所以应该综合成本和精度的共同影响,科学合理设置边长,在保证精度的同时尽可能降低成本。在此次实验中,为确保土方计算相对误差在5%以内,三角网边长不能超过 6 m。而点位高程中误差对土方量计算精度影响不明显,在实际工程测量中,可根据工程需求适当调整点位高程精度接受范围,使其满足土方量计算要求。一般情况下,将高程中误差控制在厘米级精度即可。