探索变式训练在数学课堂教学中的应用

文/中山市东凤中学 周镜辉

一、试题分析和反思

广东省中山市2020-2021 学年八年级数学下学期期末水平测试卷压轴题（第25 题），题目灵活多变，知识点综合，有深度，对于考察训练学生对所学知识的综合应用能力，以及培养学生分析能力和发散思维很有帮助。题目如下：

如图，已知点A的坐标为（-6，8），以OA 为边构造菱形OABC，使点C 恰好落在x轴上，连接AC 交y 轴于M，AB 交y轴于点N。

（1）求直线AC 的解析式；

（2）点Q 为AB 的中点，点P 为线段AC 上一动点，△PQB 周长最小时，求点P 的坐标并求出△PQB周长的最小值。

题目只有菱形和点A 的坐标这两个条件，很多同学无从下手。从我们学校情况来看，能灵活应用八年级上册将军饮马问题（最短路径问题）的知识解答本题的同学比较少。将军饮马问题出现在人教版八年级上册第十三章末的课题学习之问题1，是学生在学习了垂直平分线和轴对称变换后各知识的综合应用。在教学中教师往往不够重视，没有挖掘它在图形变换中的价值，进行充分的变式训练。学生没有真正理解好其内在的图形及数量关系。所以过一段时间后，遇到较综合的问题时，便不能触类旁通，因此变得束手无策。

二、变式训练开拓解题思路

在将军饮马问题（最短路径问题）的教学过程中，教师在讲解完问题1（人教版八年级上册第85 页）时，即便是作图也不要只局限于对称轴为水平直线的作图。

（1）对称轴位置的改变（不是水平线）的作图（如下图）

（2）与刚学过的等腰和等边三角形相结合

练习1：如图，已知E 是等边三角形ABC 的AB 边上一定点，AD⊥BC 于点D，①请在AD 上找一点N，使得EN+BN 有最小值；②若BC=8，点E 恰好是AB 的中点，求△BEN 周长的最小值。

（3）与矩形或正方形相结合

练习2：如图，正方形ABCD 的AB 边上有一点E，如何在AC 上找到一点F，使得点F到点E，B 的距离的和最短？

（4）与圆或扇形相结合

练习3：如图，在扇形BOC 中，∠BOC=60°，OD 平分∠BOC 交B（C 于点D，点E 为半径OB 上一动点，若OB=2，则阴影部分周长的最小值是____。

三、设计变式训练时常用的形式

（一）一题多问

做完例题后直接在原题后再添加新问题，变题目的1 问为2 问、3问……

如上面的练习2：在讲解完本题时可以直接在题后再添加新问题：

1.已知正方形ABCD 的边长为5，点E 是线段AB 的三等分点，求点F 到点E，B 的距离和的最小值；

2.求第2 问中△BEF 周长的最小值。

通过这样的练习，加强学生对知识的融会贯通和灵活运用，循序渐进，层层深入，不断深化知识。

（二）变换题目的题设与结论

通过对比练习，加深学生对十字相乘法的基本原理的认识。并且对整式的乘法和因式分解这两个知识间的内在联系和区别理解得更准确，培养学生综合和归纳的能力。

（三）一题多变

通过改变题目中的条件或结论，训练学生的发散思维，从易到难层层递进，学生不但容易理解和掌握，还记忆深刻，开拓了解题思路，培养了探索意识。

（四）一题多解

数学很多题目往往都不止一种解法，教师在讲解或展示完一种解法时可以多问问同学们还有没有其他方法，学生们的解题思路往往比老师还丰富，老师要有意识地培养学生的这种发散思维和创新意识，不要局限于某种“标准解法”。

（五）一解多题

即用相同的知识点，相同或相似的解题方法和步骤解答不同的练习题。如上文中将军饮马问题（最短路径问题）教学过程中，所设计的几道变式训练题。一解多题在初三的专题学习中应用非常广泛。当然，教学中在学生做完练习后，教师还要及时引领学生总结，归纳方法，总结解题规律，真正做到融会贯通。