击实试验的数据处理及对比分析

侯世昌，李洪帅，刘维岩

（河北省水利水电勘测设计研究院集团有限公司，天津 300220）

在水利工程建设施工中， 填筑土料经挖掘后，其原有结构已被破坏。王述红、宁宝宽等［6］认为：未经压实的填土松散、压缩性大、抗剪强度低、水稳性差等不利特点，不能作为土工构筑物或地基。因此，填筑土料的有效碾压是保证工程质量的重要环节。碾压后的土料可提高土体的抗剪强度，降低透水性和压缩性等［7］不利特性，从而满足设计要求的土体稳定和运行安全。土料的击实试验是采用标准化击实设备和标准方法［1］，测定土料的最大干密度和最优含水率，为填筑工程设计和现场碾压施工提供土料的压实性控制指标。因此，击实试验是土料填筑工程（如堤坝、路基、房基等）不可或缺的重要试验项目。

土料击实试验成果分析表明：土料的类型、击实功能等因素影响击实试验效果； 土料的击实效果与土的物理特性有一定相关关系，但具有局限性。冯建国［10］认为：击实试验获得的土料最大干密度和最优含水率的准确与否关系到实际工程中碾压填筑土料的质量控制。潘新欣［11］认为：尽管在同一区域内，在一定击实功能下， 土料的最大干密度和最优含水率与土料的液限、塑限具有良好的相关关系,但这些关系式只能在限定工程中或范围内借鉴, 还不具有通用性，不能代替实际的击实试验结果。

目前， 击实试验的数据处理一般采用作图法和土工试验数据处理软件。但在资料的整理过程中，对于图表的格式和自由编辑还存在一定不便。 如当在报告中插入击实试验曲线（干密度度与含水率关系曲线）时，作图法或土工试验数据处理软件生成的图形不一定满足要求。如果采用Excel 形成的图形和土工试验数据处理软件计算的最大干密度和最优含水率，可能图形与计算结果不一定相互匹配；如果采用Excel 形成的图形和在图上通过目力确定最大干密度和最优含水率，造成数据结果的精度不够。为解决这种问题,依据Excel 提供的强大图表和内置函数功能，结合实际工程项目的土试验数据，详细描述既在Excel 中绘制图形又与图形相一致的几种击实试验数据的处理方法及对比分析。

1 试验方法

试验依据GB/T 50123—2019 《土工试验方法标准》［1］规定的击实试验方法进行。采用轻型击实法，击实试验的单位体积击实功约592.2 kJ/m3。

干土质量按式（1）计算：

式中md为干土质量(g)；m0为风干土质量（或天然湿土质量）(g)；ω0为风干含水率（或天然含水率）（%）。

土样制备含水率所加水量按式（2）计算：

式中mw为土样所需加水质量(g)；ω' 为土样所要求的含水率(%)。

击实后各试样的含水率按式（3）计算：

式中ω 为击实后试样的实测含水率(%)；m湿为试样中所取的湿土质量(g)；m干为烘干后的干土质量(g)。

击实后各试样的湿密度按式（4）计算：

式 中ρ 为 击实后试样的湿密度(g/cm3)；m 为击实后试样的湿土质量 (g)；V 为击实筒体积(cm3)。

击实后各试样的干密度按式（5）计算：

式中ρd为击实后试样的干密度（g/cm3）。

击实后各试样的饱和含水率按式（6）计算：

式中ωsat为饱和含水率(%)；ρW为水的密度（g/cm3）；Gs 为土粒比重。

2 基本数据

2.1 土料的基本物理性质数据

土料取自某除险加固工程的筑堤填筑料， 其基本物理性质数据如表1。

表1 土料的基本物理性质数据

2.2 击实试验基本数据

击实试验的基本数据如表2。

表2 击实试验数据

3 结果数据

根据表1 中的试验数据，采用上述公式分别计算不同含水率情况下对应的干密度，同时为后续方便计算和分析, 用符号x 表示含水率（代替符号ω）， 用符号y 表示干密度（代替符号ρd）。其结果如表3。

表3 相同击实功能的情况下干密度与含水率对应值

4 数据处理

为满足Excel 软件绘图和拟合趋势线的要求，分别把计算结果的含水率数据定为x 值序列,相对应的干密度定为y 值序列，如表3。

在Excel 中建立与表2 中的数据相同的数据源。插入散点图如图1，在图中添加多项式趋势线。由于绘制的干密度与含水率关系曲线要求其均过实际测试点，因此采用拉格朗日差值多项式拟合趋势线，其阶数是拟合趋势线测试点数减一值。 按照土工试验方法标准［1］要求的基本测试点数，多项式的阶数取为4。在Excel 中趋势线选项为：显示公式和R2 值。

图1 干密度y 与含水率x 关系曲线

为实现击实试验数据的自动化处理， 需利用Excel 中提供的强大函数功能把拟合多项式的各项系数先提取出来并放到指定的单元格内， 通过提取多项式的各项系数， 建立随基础数据变化而变化的计算公式，实现动态计算的目的。

以表2 中的基础数据为例， 首先采用函数INDEX 和LINEST 提取拟合多项式中各项的系数，格式如下：

设定拟合的多项式格式为：

提取多项式各项系数的函数式：

a1=INDEX（LINEST（已知y 值系列（干密度），已知x 值系列（含水率）^{1,2,3,4},TRUE,TRUE）,1,1）

a2=INDEX（LINEST（已知y 值系列（干密度），已知x 值系列（含水率）^{1,2,3,4},TRUE,TRUE）,1,2）

a3=INDEX（LINEST（已知y 值系列（干密度），已知x 值系列（含水率）^{1,2,3,4},TRUE,TRUE）,1,3）

a4=INDEX（LINEST（已知y 值系列（干密度），已知x 值系列（含水率）^{1,2,3,4},TRUE,TRUE）,1,4）

a5=INDEX（LINEST（已知y 值系列（干密度），已知x 值系列（含水率）^{1,2,3,4},TRUE,TRUE）,1,5）

这样， 通过提取多项式的各项系数后组成的多项式就可随基本数据变化而变化。 提取出的多项式各项系数如表4。

表4 提取出的多项式中各项系数

从图1 和表5 中可看出：对于同一组数据,表5中提取出的多项式中各项系数与图1 中多项式各项的系数一致，因此，采用提取多项式的各项系数后进行其计算结果是可靠的。

表5 采用多项式计算不同含水率情况下的干密度

另外，从图1 可看出：求解图1 中最优含水率和最大干密度就是求解干密度与含水率关系曲线在区间［12.3，20.3］内的极值问题。

令ψ(x)=f'(x)=0 （8）

即：ψ(x)=4a1x3+3a2x2+2a3x+a4=0，求最优含水率的值即为求函数ψ(x)=0 的根。

利用Excel 表格数据计算功能， 分别采用搜索法、迭代法、二分法和正割法求解函数ψ(x)=0 的根。

为防止出现非预期求解的结果， 绘制函数ψ(x)与含水率的关系曲线（曲线两头各延长一部分），如图2。从图2 可看出：在区间［12.3,20.3］内，函数ψ(x)=0 时只有1 个实根。

图2 ψ(x)值与含水率x 关系曲线

4.1 搜索法

为获得最大干密度和最优含水率， 采用图1 多项式对一定间隔数值的含水率进行干密度搜索计算。当计算干密度由逐渐增加变为逐渐减小时，其分界值即为最大干密度， 对应的含水率即为最优含水率。其结果如表5。

从表4 可得出：当含水率为15.6%时，干密度达最大值1.7530 g/cm3。对照图1 中的干密度与含水率关系曲线，其值合理。为获得最优含水率和最大干密度，本方法共进行30 次计算,根据图1 中曲线变化趋势选定计算起始值（如：15.0）和控制终了值（如：15.9），至少需进行10 次计算。

4.2 采用Newton 迭代法［3,8,9］求函数ψ(x)=0 的根

Newton 迭代法：设ψ(x)=0，ψ'(x)≠0，且ψ(x)在x 的领域N(x)内有连续的一阶导数，则Newton 迭代格式为：

为减少计算次数,加快计算收敛速度,取x0=16.30（试验测定含水率的最小值与最大值的平均值），采用Newton 迭代法迭代计算过程如表6。

表6 Newton 迭代法迭代求解最优含水率的过程

由表5 可知： 迭代计算收敛速度很快，x3=x4=x5=x6=x7，x2即为最终的迭代结果（x3=15.62353）。将x3值代入图1 中的多项式后得：y=0.000150x4-0.009363x3+0.209586x2-1.986151x+8.373072=1.75299，修约后其最优含水率15.6%，最大干密度1.7530 g/cm3。

4.3 采用二分法［2,8,9］求函数ψ(x)=0 的根

设：函数ψ(x)=0.00060x3-0.028089x2+0.419172x-1.986151 在［a1,b1］上连续，且ψ(a1)·ψ(b1)＜0（在此实例中：a1=12.3，b1=20.3）,方程ψ(x)=0 在区间(a1,b1)内仅有1 个实根。

第1 步分半计算（k=1）：将［a1,b1］分半，计算中点x1=1/2(a1+b1)及ψ(x1)，如果

则函数ψ(x)的根一定在区间［a1,x1］≡［a2,b2］内，否则其根一定在区间［x1,b1］≡［a2,b2］内（若ψ(x1)=0，则x1=x*）。于是得到长度缩小一半的含根区间［a2,b2］。

以［a2,b2］作为根x* 所在的缩小范围的新区间，重复上述做法。当x*≠x2=1/2(b2-a2)时，可求得a2＜x*＜b2，且b2-a2=1/22(b1-a1)

第k 步分半计算：重复上述过程，可求得ak＜x*＜bk，且bk-ak=1/2k(b1-a1)。

由此可知： 如果以ak 或bk 作为x* 的近似值，那么其误差小于1/2k(b1-a1)。

如果达到上述计算方法的精度，如：|xk-x*|＜10-7，那么需要计算的次数为：k＞(ln(b1-a1)-lnε)/ln2,即

计算步骤至少达27 次后（如：28 次），所计算方程ψ(x)=0 的近似根值才能满足要求精度。当计算步骤达28 次时，a28=15.6235311，b28=15.6235312， 于是15.6235311＜x*＜15.6235312。 即15.6235311 作为根的不足近似值，15.6235312 作为根的过剩近似值，其误差均小于10-7。

按照同样的含水率精度计算最大干密度，即x28=15.62353, 代入多项式y=0.000150x4-0.009363x3+0.209586x2-1.986151x+8.373072=1.75299 后，求得最大干密度为1.7530 g/cm3， 含水率修约后其值为15.6%。

4.4 采用正割（割线）法［2,4］求函数ψ(x)=0 的根

通过正割法求解方程ψ(x)=0.00060x3-0.028089x2+0.419172x-1.986151=0 在区间［12.3,20.3］内的根。其计算公式如式（12）。

设：x0=12.3，x1=20.3， 其值为实测含水率的最小值和最大值。 为防止出现不合理的计算结果， 保证ψ(x0)·ψ(x1)＜0,在确定x0和x1值时，最好取实测含水率的两个端点值。计算结果如表7。

表7 正割法求解最优含水率过程

从表7 可看出：x10=x11=x12，x10即 为 最终的正割法计算结果x10=15.6235311。按照同样的含水率精度计算最大干密度，即x10=15.62353,代入多项式y=0.000150x4-0.009363x3+0.209586x2-1.986151x+8.373072=1.75299， 求得最大干密度为1.7530g/cm3，含水率修约后其值为15.6%。

同时,从图2 可看出：当函数ψ(x)=0 时，在区间（-∞,+∞）内可能有多个根，符合计算结果要求的只能在区间（12.3,20.3）内，否则为无效结果。因此，在确定初值x0，x1时，如果不能保证ψ(x0)·ψ(x1)＜0，即使x0，x1均在区间（12.3,20.3）内也可得出错误结果。如：当x0=12.3，x1=13.0 时，ψ(x0)=0.0392640，ψ(x1)=0.0373816，ψ(x0)·ψ(x1)＞0，计算结果为x=10.0505085；当x0=20.3，x1=18.2 时，ψ(x0) = -0.0211313， ψ(x1) = -0.0357733，ψ(x0)·ψ(x1)＞0，计算结果为x=21.0331016。两种情况下均产生无效结果。 这两个无效解不是针对上述函数ψ(x)=0 情况的，而是针对实际击实试验数据情况的。如果实际击实试验测试的含水率存在数据x=10.0505085 或x=21.0331016（相近即可），或两者均存在，则图1 拟合的多项式和函数ψ(x)就不是上述结果了。

5 数据处理对比分析

几种计算方法的特点分析如表8。

表8 几种求解最优含水率方法的特点分析

从表8 可看出： 针对击实试验数据的处理，Newton 迭代法无论从计算精度还是从计算效率都是比较好的选项。

6 结语

（1） 通过Excel 插图和内置函数的强大功能，可实现击实试验数据多项式函数的自动拟合, 可实现多项式系数的自动提取，从而建立模板文件，实现插图和计算结果随原始数据的变化而自动更新。

（2）在求解最优含水率的方法中，Newton 迭代法在计算精度和计算效率方面均相对较好。

（3）为保证最优含水率和最大干密度的精度，在计算过程中两者均要保留一定的小数位数, 计算结束后进行修约。