高斯激光束在Fraunhofer圆孔衍射成像中的球差

夏雄平, 张 凯, 韦贵妹, 田恺婧

(桂林理工大学 物理与电子信息工程学院, 广西 桂林 541004)

光衍射成像技术广泛应用于通信、 生物医学和材料检测等领域[1-2]. 由于光在衍射过程中受介质、 元件尺寸和材料等因素影响, 因此产生各种像差, 其中球差是因为轴上单色同心光束经过光学系统后, 不同孔径光线相交光轴不同位置, 导致在成像面上形成了以高斯像点为中心的弥散斑, 从而成为影响成像清晰度和质量的重要因素[3-5].

光学衍射成像的理论基础为Huygens-Fresnel原理和Kirchoff衍射积分, 其成像分析可分为标量衍射和矢量衍射方法. 对大口径元件一般用标量衍射法[6-8], 当微光学元件的尺寸接近或小于光波长时, 采用矢量衍射法[9]. 像差研究方法包括几何方法[10]、 计算机模拟方法[11]和Zernike函数法[12-14]等. 由于Zernike多项式构建像差函数和光学检测中观测到的像差多项式形式一致, 因此Zernike多项式广泛应用于分析像差研究中: Wang等[15]利用Zernike多项式法提出了通过优化成像位置和增加相位补偿器, 可有效控制圆孔衍射波前畸变; Zhang等[16]基于Zernike多项式拟合的相位畸变方法, 提出了圆孔衍射波前畸变模型; Hsieh等[17]利用优化的Zernike函数, 提出了一种对像差分析和模式识别更有效的算法; Nemes-Czopf等[18]用参数建模和标量衍射在ZEMAX软件中模拟浮雕型衍射透镜.

对比一般Fraunhofer圆孔衍射中透镜紧贴圆孔的情形, 本文以广义Huygens-Fresnel衍射理论为基础, 采用标量衍射理论, 将通过Zernike多项式构建的像差函数应用到ZEMAX软件中, 并根据实验结果和利用Zernike多项式法分析实验出现的像差所对应的阶数, 实现激光衍射光斑通过Z8阶Zernike形变的像差透镜, 研究高斯激光束在圆孔与透镜距离较大时的Fraunhofer圆孔衍射成像中的球差, 并在此基础上提出有效控制球差的方法.

1 圆孔衍射成像机制

在圆孔衍射中, 从Huygens-Fresnel原理出发, 若点光源距离衍射屏足够远, 则其积分公式可写为

(1)

(2)

当采用极坐标时, 方程(2)可转换为

(3)

利用Bessel函数的积分式和递推性质, 可得x处的光强分布为

(4)

(5)

光强分布可进一步简化为

(6)

(7)

(8)

Zernike标准矢高表面类型可使用多达231个Zernike标准多项式定义表面矢量高, 其标准矢高表面描述的是表面变形. “Extrapolate”用来指定在计算时使用的最大Zernike多项式项表面矢量, 该数字用来加速射线追踪计算, 可忽略超过该数字的项. 表面矢高的形式为

(9)

其中M为系列中Zernike系数的数量,Ai为Zernike标准多项式上ith的系数,r为透镜单位的径向射线坐标,ρ为归一化的径向射线坐标,φ为角射线坐标.

2 实验与仿真模拟结果

在Fraunhofer圆孔衍射中, 采用波长为641 nm的激光作为点光源, 将点光源通过由双透镜构成的组合透镜L1对基模高斯光束进行准直, 准直后的高斯光束通过圆孔和圆孔后方透镜L2后, 在光屏上产生Fraunhofer圆孔衍射图像. 其中圆孔直径d=0.3 mm, 透镜L2焦距f=20 mm, 透镜L2与圆孔间距分别为C1=100 mm和C2=400 mm, 圆孔与衍射光屏距离为800 mm. 在实验开始前, 先理论模拟透镜L2紧贴圆孔时无像差影响下的结果, 如图1(A)所示, 再根据实验参量, 得到透镜L2与圆孔距离较大时的实验结果, 分别如图1(B)和(C)所示.

图1 无像差影响下的理论模拟结果(A)和Fraunhofer圆孔衍射实验结果(B),(C)Fig.1 Theoretical simulation result without aberration influence (A) and Fraunhofer circular aperture diffraction experimental results (B),(C)

由图1(A)可见, 理论模拟的衍射图像呈圆形, 条纹窄而清晰, 且分布范围较大. 由图1(B)和(C)可见, 当透镜L2与圆孔距离较大时, 除中心Airy斑和少数几个衍射环呈较好的圆形外, 其较高级数的衍射环连续性变差, 且在其垂直于轴向方向形成了较明显的弥散斑和垂轴球差, 其原因可能是透镜形状、 折射率和焦距以及圆孔和透镜的距离等因素导致产生球差. 图1(B)的衍射条纹分布较均匀且清晰度较高, 随着圆孔和透镜距离的增大, 图1(C)中条纹分布的均匀度和清晰度均明显降低, 因此, 透镜和衍射孔之间的距离对圆孔衍射影响较大.

基于实验结果, 根据在极坐标形式下的Fraunhofer衍射公式中引入Zernike多项式所构建的圆孔衍射积分函数, 用ZEMAX软件仿真模拟对圆孔衍射中衍射成像的球差进行分析. 其中凸透镜曲率半径r=10.336, 镜片厚度2 mm, 镜片材质为常用玻璃材料BK7, 采用中心视场(0,0.01,0.02)观测, 其他参量与实验一致. 在模拟过程中, 通过引入Zernike表面形变, 根据实验出现的垂轴球差现象, 对应在Zernike多项式法研究像差在Z8时会产生球差与离焦现象, 因此在ZEMAX软件仿真模拟中, 采用的Zernike多项式为Z8阶, 得到光斑强度晕染图和视场点列图如图2所示. 由图2(A)和(B)可见, 衍射图像呈椭圆状, 产生了较明显的球差现象, 其原因可能与透镜、 激光或圆孔本身有关. 随着透镜与圆孔距离的增大, 其球差变得更明显, 表明透镜和圆孔距离对球差有直接影响. 由图2(C)和(D)可见: 在增大视场条件下, 球差现象变得更明显; 在相同视场条件下, 当增大透镜和圆孔距离时, 其球差也会变得更明显. 因此为有效调控球差, 需采取小角度视场和适当的透镜和圆孔间距.

图2 光斑强度晕染图(A),(B)和视场点列图(C),(D)Fig.2 Spot intensity blooming chart (A),(B) and spot diagram (C),(D)

针对实验和仿真模拟在衍射成像过程产生的球差, 根据ZEMAX软件特点, 通过添加评价函数优化镜片, 利用优化圆锥系数将球面透镜转换成非球面透镜, 优化后的曲率半径为18.836 mm, 此时有效焦距降低至19.999 7 mm, 圆锥系数为25.696, 透镜采用较高折射率的透镜材料(SF59)和小视场, 从而从整体上有效调控球差, 得到的仿真结果如图3所示. 对比系统未优化的结果(图2), 由图3可见, 在小视场条件下, 当采用优化的非球面透镜和较高折射率材料的透镜时, 一方面其衍射图像从椭圆变成圆形, 其中的球差现象几乎消失, 其衍射圆环的分布与理想条件下的理论模拟结果相符, 图像的清晰度和成像质量明显提升, 此时透镜和圆孔距离对成像质量的影响变弱; 另一方面, 当C=100 mm和C=400 mm时, 相比实验(图1)和系统未优化的结果(图2), 光斑分布变得更均匀, 光斑大小和性质受透镜和圆孔距离的影响减弱, 进而提升了成像质量.

图3 光斑强度晕染图(A),(B)和光斑强度局部放大线性图(C),(D)Fig.3 Spot intensity blooming chart (A),(B) and local magnification linear graph of spot intensity (C),(D)

为分析图像的解像力, 得到优化前后传递函数(MTF)随空间频率的变化关系, 空间频率的单位为线对每毫米(lp/mm), 结果如图4所示, 其中a和d为优化前的MTF曲线, b和c为优化后的MTF曲线, 虚线和实线分别表示子午和弧矢面的不同成像质量, 由于衍射极限的差异, 因此曲线b略低于曲线a, 但MTF曲线均接近Airy斑. 由边缘视场MTF曲线c和d可见, 优化后的MTF值明显优于未优化时的结果, 其解像力更强, 有利于降低衍射过程中球差和慧差的影响, 其成像质量更好.

图4 MTF定量对比曲线Fig.4 MTF quantitative comparison curves

综上, 本文将Zernike多项式法构建的像差函数应用到ZEMAX中, 并结合圆孔衍射实验结果, 对高斯型激光束在透镜和圆孔距离较大时的Fraunhofer圆孔衍射成像中的球差进行了研究. 首先, 通过实验分析了高斯型激光束在透镜与圆孔距离较大时的Fraunhofer圆孔衍射成像特点, 对衍射成像中出现的球差进行了分析; 其次, 利用ZEMAX仿真模拟对衍射成像中的球差进行了研究. 理论模拟和实验结果表明: 透镜及透镜和圆孔距离对产生球差影响较大, 当选择优化的非球面透镜、 较高折射率的透镜材料和小视场时, 可有效降低圆孔和透镜距离较大时产生的球差, 从而有效提升衍射成像质量, 该研究结果可为实际衍射光学系统的透镜设计和制造提供理论指导.