一类具有重力势和阻尼项的非牛顿流体解的存在唯一性

邢慧芳, 赵园园, 孟 秋

(北华大学 数学与统计学院, 吉林 吉林 132013)

1 引言与主要结果

本文以一类具有阻尼与重力势的剪切变稀流体为研究对象, 研究强非线性体系解的存在唯一性.模型具有奇异性和强耦合性.此外, 方程组允许初始真空.

本文考虑一维有界区域具有重力势和阻尼项的可压缩非牛顿流体:

(1)

定义1若满足下列条件, 则称(ρ,u,Φ)为初边值问题(1)的解:

(ii) 对任意φ∈C([0,T];H1),φt∈L∞(0,T;L2), a.e.t∈(0,T), 有

(2)

则存在T*∈(0,+∞), 使得在ΩT*上存在满足定义1的唯一解(ρ,u,Φ).

2 预备知识

引理1[3]若f=0在∂Ω上,Ω为1有界开集,d(Ω)为Ω长度且则

|f′|L∞(Ω)≤d(Ω)|f″|L2(Ω).

引理2[2]设Ω为1有界区间, 1≤q≤p≤+∞, 则

(3)

于L2(Ω)强收敛.

证明:

因此对任意η>0存在N, 使得当i,j>N时,

于L2强收敛.

3 具有正密度解的存在性

考虑如下逼近系统:

设(ρk,uk,Φk)是其唯一光滑解.令

若不做说明, 则C仅依赖N0, 不失一般性, 令μ1=1.

3.1 一致估计

得|Φ0xx|L2≤C.

2) 估计|Φx|Lq(Ω).由式(1)可得

则

结合式(5)可得

则

(7)

因此

通过计算可得

令

由Sobolev嵌入定理和Young不等式可得

经过递推关系可得

(9)

由式(5)可得

由(ρ,u,Φ)为光滑解, 可得

因此

根据Jk的定义及上述估计, 总存在一个较小的时间0

成立.

3.2 近似解的收敛性

由式(10)可得

令

则

应用Gronwall不等式, 得

(15)

3.3 解的存在性

1)k→∞.先证(ρε,uε,Φε)是如下问题的解:

(16)

由于(ρk,uk,Φk)是式(4)～(6)的唯一光滑解, 因此, 当k→∞时,

C仅依赖Nφ, 其中Nφ=N0+|φx|L∞(0,T*;L∞)+|φt|L∞(0,T*;L2)+|φx|L∞(0,T*;L2)+|f|L∞(0,T*;L2).

令w(s)=(s2+μ2)(q-2)/2s, 则

2)ε→0.先证

(17)

4 定理1的证明

4.1 存在性

(18)

(19)

(20)

且(ρδ,uδ,Φδ)满足一致估计

4.2 唯一性

通过计算可得

进而

因此