随机矩阵理论在高速路关键路径辨识中的应用

张 芳，王 菲，孙宝硕

1.辽宁工程技术大学 营销管理学院，辽宁 葫芦岛 125105

2.国网沈阳供电公司，沈阳 110000

随着经济的飞速发展和物流产业的不断扩大，我国对高速公路的需求日益增加。公路运输量是反映各个国家与地区间运输能力和经济实力的重要指标[1]，目前，我国高速公路网络呈现出结构复杂、路径多、站点广的特点，若交通网络产生故障无法通行，将造成一定的社会影响和经济损失。

在交通网络中，如果关键路径出现故障，很容易导致整个网络的瘫痪，造成恶劣的影响与损失。提升公路网络的运行可靠性和运输服务能力，已成为交通运输网络结构调整和改造的必然要求[2]。公路网中的关键路径对确保整个公路网的可靠运行至关重要，对关键路径的保护和监测能够提高整个网络的可靠性，部分早期建设公路不能满足目前生活生产的需求，通过关键路径的识别可以为公路网的扩建和重点维护提供参考建议，因此对关键路径进行合理有效的辨识对交通运输领域具有重要的研究价值。

现有的交通网络关键环节评估方法主要是基于交通拓扑结构和网络抗毁性等指标进行评估。基于拓扑结构的分析方法主要采用复杂网络理论识别网络中的关键环节。冯芬玲等[3]通过多项指标对高速公路的网络构建和运行现状进行研究，识别出关键节点并对失效后的变化作出判别，对于高速公路的安全运行和发展提供了参考。薛锋等[4]采用复杂网络理论对成都市地铁拓扑网络的特性进行分析，构建节点重要度评价指标体系并应用TOPSIS 综合评价方法对其进行排序，从而完成关键节点的识别。谌微微等[5]运用复杂网络理论对轨道交通网络的线网拓扑结构和节点重要度进行研究，建立基于二阶张量的轨道交通网络拓扑模型，并通过构建分析指标对模型中各网络节点的重要度进行评估，以重庆市为例识别出4个关键站点。张喜平等[6]基于目标节点与邻接节点及周围其他节点间的关联性，定义路段节点的引力场，动态反映关键路径上路段节点的拥堵程度，从场论的角度提出了一种适用于复杂网络路段关键性评估方法，提高了评估的准确性和精度。赵建东等[7]将各路段的车辆数据和地图进行匹配，并与线路介数等拓扑指标结合，辨识系统中的关键路段。

抗毁性指标反映了网络损毁后的工作性能，徐青刚等[8]提出了一种基于级联失效对加权铁路网的抗毁性研究，考虑了客流重分配时客流会考虑站点的邻接站点的剩余容量和该站点与邻接站点的连接权值。殷勇等[9]构建了铁路运输网络，确立了网络抗毁性模型指标，通过随机攻击和蓄意攻击模拟路段和节点失效提出了铁路网络的抗毁性分析流程，以成都铁路局普速铁路为例进行了网络抗毁性的分析，识别出重要路段与重要节点。王延庆[10]建立了一种复杂负载网络接连失效模型，定义了节点的正常、过载、失效运行状态，通过改变各节点的权值来模拟拓扑结构的变化，构造了基于“接连失效”的重要节点识别模型。张建旭等[11]通过分析路段失效时局部路网交通流的变化特性，进行路段薄弱性评估并辨识路网中的关键路径，并以重庆市路网为例进行关键路段识别。随着交通网络规模的扩大和运输量的不断上升，传统的基于拓扑结构的分析方法无法反映交通网络的流量特性，而基于模拟故障的抗毁性分析方法仅考虑部分路径的运输情况，难以分析整个系统的流量特性，故研究一种能够充分考虑整个交通网络流量特性的关键路径辨识方法具有重要研究价值。

随机矩阵理论是一种用于高维数据统计特性分析的大数据技术，能够从数据驱动的角度对复杂系统的运行特性进行分析，是用于大数据分析的良好统计学手段。目前，随机矩阵理论已运用于通信[12]、电力[13]以及金融[14]等诸多领域。

本文首次将随机矩阵理论引入到交通运输领域，首先通过模拟各路径发生故障后整个交通网络的运输量变化情况，生成该交通网络的运输量数据矩阵。在此基础上，采用随机矩阵理论中的单环定律和M-P定律提取运输量数据矩阵中的统计特性，定义关键路径评估指数，根据各路径发生故障后数据矩阵的谱偏移度，实现对路径异常影响程度的量化评估，从而辨识系统中的关键路径。最后通过在辽宁省主要高速公路网络中进行算例分析，验证了本文所提方法的有效性和准确性。

1 随机矩阵理论基本定理

随机矩阵理论是一种用于复杂系统运行特性分析的大数据技术，其采用统计学定理分析系统的谱分布特性，以反映系统的运行特性和可能存在的风险。

经验谱分布是指实际数据的谱分布情况，极限谱分布是指满足某种统计学规律的谱分布情况，二者是随机矩阵理论的重要概念，一般情况下极限谱是固有的函数，而经验谱则随矩阵中元素统计规律的变化而变化，当矩阵中元素满足相应分布特性时，经验谱特征值分布收敛于极限谱，经典的极限谱函数包括单环定律和M-P定律等。

1.1 单环定律

当N，T趋近于无穷且c=N/T∈(0,1]时，经过标准化处理后，Z′的经验谱将分布于一个圆环当中，其极限谱分布函数如式（1）所示：

单环定律的示意图如图1所示。

1.2 Marchenko-Pastur定律

M-P 定律用于分析高维协方差矩阵对应的特征值谱的分布特性。对于矩阵，其中各元素均符合独立同分布的条件，且期望μ(l′)=0，方差σ2(l′)小于正无穷。当N和T趋于无穷且c=N/T∈(0,1]时，矩阵L′对应的协方差矩阵的构建过程如式（2）所示：

当系统处于正常运行状态时，协方差矩阵S的经验谱收敛于M-P 定律的极限谱，其极限谱分布函数如式（3）所示：

M-P定律的示意图如图2所示。

1.3 线性特征值谱

由于矩阵的特征值具有不确定性，故采用线性特征值统计量（linear eigenvalue statistic，LES）表述数据矩阵特征值的分布规律，以矩阵L为例，它的线性特征值统计量可表示为：

其中，λi(i=1,2,…,n)为L的特征值，φ(·)为相应的测试函数。

平均谱半径（mean spectral radius，MSR）是用来描述特征值分布情况的线性特征值统计量，其计算公式如式（5）所示：

其中，kMSR为平均谱半径；λi为L的第i个特征值。kMSR表达了系统数据矩阵特征值分布情况，进而反映了物理系统的运行状态。

M-P 定律指出对于协方差矩阵中，其最大特征值（maximum eigenvalue，ME）对系统的异常变化最为敏感，故采用其与M-P定律极限谱上限的差值来表示协方差矩阵的谱分布特性，其计算公式如式（6）所示：

其中，kMED为协方差矩阵的最大特征值偏移度；kME为协方差矩阵的最大特征值；为M-P定律对应的极限谱分布上限。

2 关键路径辨识方法

2.1 辨识思路

本文主要研究公路交通网络中起到重要作用的关键路径，各运输路径的重要性取决于该路径的运输量和其在拓扑结构中的位置。

交通路径关键性是指路径产生堵塞或异常后对整个交通网络所造成的影响，交通网络中的关键路径发生堵塞后会导致整个交通网络的运输情况发生大幅变化，从数据驱动的角度进行分析，路径越为关键，其发生堵塞或异常时，各路径运输量变化幅度越大，该路径与整个交通网络间的数据相关性越强。

随机矩阵谱偏移度指标能够有效的反映高维数据的统计特性[15]，可用于分析数据相关性的大小[16]，进而映射为交通网络所受影响程度的大小。本文采用基于单环定律和M-P 定律的谱偏移度及其统计特性定义关键路径评估指标，其示意图如图3所示。

图3 关键路径评估示意图Fig.3 Diagram of key links evaluation

2.2 交通运输量数据模型构建与处理

设某交通网络由N条路径构成，选取各路径的交通量作为参考变量，则数据模型中共有N个参考变量。设该交通网络各路径在ti时段的路径交通量序列如式（7）所示：

其中，xm(ti)为路径m的交通运输量在时段ti的采样数值。

由上节内容可知，当交通网络中某条路径发生异常时，各路径的运输量都将发生改变，由于多条路径同时产生异常的概率极低，故本文只考虑单条路径发生异常。此外，由于路径发生异常是小概率事件，故通过制定路径异常时的交通网络运输量变化规则来模拟路径异常后各路径的运输量，具体规则如下：

（1）当某一条路径发生异常时，该路径的运输能力将受到影响，导致部分原本计划从该路径通过的车辆重新进行路线规划，从而使得整个交通网络的实时运输量发生突变。设异常路径正常运行时的运输量为x，当路径发生异常后其运输量降为αx，其余(1-α)x运输量为转移运输量，需重新进行路径规划，式中α为比例系数，其大小取决于异常的严重程度。

（2）对路径异常产生的转移运输量重新进行路径规划。根据车辆的起始地，将起始地相同的车辆归于同一类别，选择各类别在除去异常路径的交通网络中的距离最短路径为该类型在此异常状态下对应的新路径。

（3）根据新的路径规划得到交通网络发生异常后各路径的运输量。

（4）在本文研究中默认车辆仅在高速公路网络中通行，且当与顶点相连的路径发生异常时，认为路径两侧的车辆滞留。

设交通量测量的时间段总数为T，则由各时间段的交通运输量所构建的数据源矩阵如式（8）所示：

在数据源XU中，采用滑动时间窗口进行分析，选取N×TW的分离窗生成相应数据矩阵：

对该矩阵进行标准化处理，得到标准非Hermitian矩阵X′，如式（10）所示：

2.3 关键路径辨识指标

2.3.1 基于单环定律的识别指标

单环定律用于分析经过标准化处理的矩阵特征值的分布情况。由单环定理可知，当交通网络正常运行时，路径运输量矩阵的特征值将收敛于一个圆环内；当路径出现异常时，交通网络的运输量发生突变，矩阵的特征值脱离圆环，单环定律指出系统中出现的异常越为严重，矩阵特征值向圆心聚拢的幅度越大。

MSR 能够反映单环定律中特征值的聚集程度，当交通网络正常运行时，MSR 在稳定值附近随机波动[16]，当交通网络的路径产生异常时，MSR降低，当交通网络重新恢复到正常运行状态时，MSR 重新恢复至稳定值附近，故采用异常持续时间内MSR 的变化幅度代表该路径发生异常时对交通网络运输情况的影响程度，将其定义为指数f1，计算公式如式（11）所示：

其中，kMSR(t)为t时刻的平均谱半径；为平均谱半径的稳定值；t1为异常发生时间；t2为异常清除时间。指数f1反映了异常发生后，对整个交通网络所造成影响的大小。

2.3.2 基于M-P定律的故障破坏能力指数

M-P 定律用于分析协方差矩阵的特征值分布情况（以A矩阵为例，其协方差矩阵为），表示系统整体的数据波动。由M-P定律可知，当交通网络正常运行时，路径运输量矩阵的协方差矩阵特征值将收敛于极限谱；当交通网络出现异常时，协方差矩阵的最大特征值发生偏移，异常越严重，协方差矩阵最大特征值偏移程度越大。故采用协方差矩阵最大特征值偏移度在异常持续时间内的积分作为评价指数f2，其计算公式如式（12）所示：

其中，kMED(t)为协方差矩阵最大特征值偏移度。指数f2通过M-P 定律评估异常发生后对整个交通运输网络所造成的影响，f2越大，对运输网络的影响越大。

为了综合描述路径异常所造成的影响，本文定义关键路径评估指数Fd，其定义式如式（13）所示，Fd越大表示该路径与交通网络运输量间的关联性越大，即异常后对交通网络的影响越大。

该方法从数据驱动的角度进行关键路径辨识，既可以通过实时数据进行交通网络异常程度评估，也可通过模拟数据对各个路径的关键性进行评估。具体评估流程如下：

（1）采集路网中各路径的运输量数据构建基础数据库，采用2.2 节中的方法分别模拟路网中各路径发生异常前后一段时间内的运输量数据，构建关键路径辨识数据库。

（2）对运输量数据进行预处理，并生成用于关键路径评估的数据矩阵，作为随机矩阵理论分析的数据源。

（3）当路径出现异常时，整个路网中各路径的运输量数据均发生改变，分别采用随机矩阵理论中的单环定律和M-P 定律对各路径发生异常时数据评估矩阵的变化特性进行分析，并计算各路径所对应的关键路径评估指数，对路网的影响越大，运输量数据波动越剧烈，评估指数越大。

（4）对各路径的关键路径评估指数进行比较，指数越大，说明该路径发生异常时对整个路网的影响越严重，其在交通网络中越重要。

3 算例验证

3.1 辽宁省高速网络

以2018年某日辽宁省高速网络主要路径的实际交通运输数据作为原始数据库，数据来源于高速公路运输量统计平台数据库，并采用2.2 节中方法对原始数据库进行处理，模拟不同路径发生异常后该高速公路网络的运输量数据矩阵，以进行算例验证。该网络中共有主要路径46 条，其结构图如图4 所示，各主要路径在该日的交通流量数据见表1。设交通流量的测量时间段为5 min，时间窗口的宽度为60，则可获得46×60维交通网络运输量数据矩阵，并在运输量数据矩阵中加入高斯白噪声矩阵模拟高速网络实际运输量数据。

表1 辽宁省主要高速路径日运输量Table 1 Daily traffic volume of major high-speed lines in Liaoning Province

图4 辽宁省高速公路拓扑图Fig.4 Liaoning province expressway topology map

3.1.1 路径异常识别

设置路径凌海—阜新在10时45分因车祸导致该路径无法通行，在11时15分事故被彻底清除，并设置如下两种工况。工况1：由于事故较轻，仍有少量车道可以通行，设α=0.5，事故路径一半的车流继续在原路径行驶，一半的车流选择次优路径。工况2：由于事故较为严重，该路径无法通行，设α=0，所有经过该路径的车辆重新选择次优路径。两种工况下，事故发生前后部分路径的交通流量情况如图5所示。

图5 交通流量示意图Fig.5 Diagram of traffic flow

路径稳定运行和两种异常工况下的单环定律特征值分布图如图6所示。

图6 不同工况下单环定律示意图Fig.6 Ring law diagram of different condition

从图6中可以看出当路径正常运行时，特征值均匀分布于圆环内，MSR位于内环和外环之间，当路径出现异常时，特征值向圆心靠拢，且相较于工况1，工况2 由于路径无法通车，异常更为严重，特征值向圆心靠拢的幅度更大，与实际情况相符，进一步说明了单环定律能够用于交通网络异常的识别与评估。两种工况下对应的MSR曲线如图7所示。

图7 不同工况下MSRFig.7 MSR of different condition

从图7中可以看出工况1和工况2路径对应的MSR曲线在10 时45 分迅速下降识别出路径出现异常，其中工况1的MSR曲线降至0.57左右，相较于工况1，工况2的MSR曲线降至0.45左右，变化幅度更大，与实际情况相符，从单环定律的角度实现了事故严重程度的量化评估。

路径稳定运行时和两种异常工况下的M-P 定律示意图如图8所示，其中工况0表示路径稳定运行。

图8 不同工况下M-P定律示意图Fig.8 M-P law diagram of different condition

从图8中可以看出当路径正常运行时，特征值收敛于极限谱，最大特征值无明显偏移，当路径出现异常时，最大特征值发生偏移，其中工况1 的最大特征值为17，相较于工况1，由于工况2异常更为严重，其最大特征值为23，偏离幅度更大，与实际情况相符，说明可采用M-P定律可对路径异常影响程度进行评估。两种工况下对应的MED曲线如图9所示。

图9 不同工况下MEDFig.9 MED of different condition

从图9中可以看出两种工况下，各路径运输量对应的MED 曲线在10 时45 分附近迅速上升识别出路径出现异常，且工况2 的最大特征值偏移幅度更大，与实际情况相符，实现了基于M-P定律分析结果的事故严重程度量化评估，从而进行关键路径识别。

3.1.2 关键路径辨识结果

以辽宁省高速网络为例，分别模拟各路径在10 时45分至11时15分发生事故，导致路径无法通行，比例系数α=0，并生成相应的关键路径评估数据矩阵。采用单环定律和M-P 定律进行综合分析，得到各路径对应的关键路径评估指标，其中排行前十的辨识结果如表2所示。

表2 关键路径辨识结果Table 2 Result of key links evaluation

从表2 中关键路径辨识结果和表1 可知，本文识别出的10条关键路径的日运输量之和为330 542辆，占整个网络46 条路径日运输量总和的63.79%，各关键路径日运输量的均值为33 054辆，是整个网络各路径日运输量均值的3 倍，其中路径10-11 关键路径评估指标为5.46，MSR为0.28，ME为34.28，是该网络中最关键的路径，该路径的日运输量为52 850 辆，远高于网络中其他路径，若该路径产生异常，将导致该交通网络中将近10%的车辆受到影响被迫调整路径规划，造成严重后果。

本文所提方法识别出的关键路径主要为京哈高速和沈大高速中的路径，其中京哈高速是连接东北地区和华北地区的主要交通路径，而沈大高速直接连接东北两大核心城市沈阳和大连，可以看出上述关键路径在辽宁省内的交通运输中起着至关重要的作用，进一步验证了本文所提方法的有效性。

将本文方法的关键路径辨识结果和其他方法进行比较，结果如表3所示。

表3 关键路径辨识结果对比Table 3 Comparision of key links evaluation

从表3 中可以看出本文方法辨识出的关键路径与文献[7]和文献[11]中所提方法的辨识结果大体上一致，虽不完全相同，主要是由于不同方法的侧重点不同所导致，进一步说明了本文方法的辨识结果符合实际工况。而文献[9]只考虑了各路径在拓扑结构中的重要性，并未考虑各路径的实际运输量，辨识结果多为交通网络中的拓扑中心[17]，如辽宁省高速路径中的沈阳—南杂木和阜新—彰武，上述两条路径的交通运输量不足万家—锦州段的十分之一，对整个高速公路网的影响较小，不可替代性较弱。因此相较于传统的基于拓扑结构的分析方法，本文所提方法从数据驱动的角度进行分析，更能反映交通网络的实际运输情况。在实际运行中，可通过对关键路径进行扩建以及重点的监控和管理，以降低路径事故所造成的影响，增强交通网络对意外事故的抵抗能力。

3.2 城市路网案例

以2022年某日辽宁省某地区部分城市路网交通量数据作为原始数据，数据来源于交通局数据库。该城市路网中共有路径92 条，其结构图如图10 所示。其中节点6和节点33附近有大型商场，节点14、节点37和节点27 附近有市重点医院，路径7-12 间有多所学校，节点4位于火车站附近。

图10 城市路网拓扑图Fig.10 Urban road network topology map

采用与3.1 节相同的方法进行关键路径辨识，辨识结果如表4所示。

表4 城市路网关键路径辨识结果Table 4 Result of urban road network key links evaluation

从表4中可以得出，路径6-33为该城市路网中影响最大的关键路径，其评估指标为5.13，MSR 为0.29，ME为33.76，是该网络中最关键的路径，其日运输量约为该网络中所有路径平均运输量的3.7 倍，在该城市路网的辨识结果中路径6-27、13-33、13-32和路径6-33类似，位于城市路网的拓扑中心且靠近大型商场交通流量大；路径7-12的评估指标为4.56，MSR为0.34，ME为30.68，其日运输量约为该网络中所有路径平均运输量的3.1 倍，路径26-27、路径14-37 和路径7-12 类似，分别靠近学校和医院交通流量较大，同时3 条路径为区域拓扑中心；路径4-5 的评估指标为3.98，MSR 为0.36，ME 为27.42，其日运输量约为该网络中所有路径平均运输量的2.6倍，路径3-4 路径4-5 类似，靠近火车站和汽车站，交通流量大；路径19-50 是郊区进入市区的主要路径且交通流量较大。

综上可知，本文所提出的关键路径辨识方法除可运用于高速网络外，同样可准确运用于城区路网中关键路径的辨识，具有普适性。

4 结语

本文从数据驱动的角度出发，提出了一种基于随机矩阵理论的交通网络关键路径辨识方法。针对交通网络出现事故时各路径运输量数据统计特性的变化情况，实现了各路径重要程度的量化评估。通过算例结果，得到如下结论：

（1）所提方法仅需通过数据便可对交通网络的运行状态进行评估，具有普适性，为数据驱动技术在交通运输领域的应用提供了参考。

（2）采用随机矩阵理论为理论支撑，基于事故对交通网络运行的影响搭建了交通网络关键路径评估模型，并提出了关键路径评估指数及其计算方法，实现对交通事故影响程度的量化评估。

（3）基于关键路径评估指数，识别出交通网络中的关键路径，辨识结果显示关键路径为交通网络中拓扑结构重要且运输量较大的路径，对交通网络的扩建规划和运行监控具有重要的参考价值。

本文采用随机矩阵理论进行交通网络关键路径辨识，对于交通网络中关键节点的辨识仍有待进一步研究，此外该方法同样可运用于交通网络的实时异常定位等领域。